فيديو السؤال: حساب معامل الانحدار لنموذج انحدار المربعات الصغرى بمعلومية ملخصات إحصائية الرياضيات

في مجموعة البيانات المعطاة: ∑ ﺱ = ٤٧، ∑ ﺹ = ٤٥٫٧٥، ∑ ﺱ^٢ = ٣٢٩، ∑ ﺹ^٢ = ٣٨٩٫٣١٢٥، ∑ ﺱﺹ = ٣١٠٫٢٥، ﻥ = ٨. احسب قيمة معامل الانحدار ﺏ في نموذج انحدار المربعات الصغرى ﺹ = ﺃ + ﺏﺱ. قرب إجابتك لأقرب ثلاث منازل عشرية.

٠٥:١٥

‏نسخة الفيديو النصية

في مجموعة البيانات المعطاة: المجموع لـ ﺱ يساوي ٤٧، والمجموع لـ ﺹ يساوي ٤٥٫٧٥، والمجموع لـ ﺱ تربيع يساوي ٣٢٩، والمجموع لـ ﺹ تربيع يساوي ٣٨٩٫٣١٢٥، والمجموع لـ ﺱﺹ يساوي ٣١٠٫٢٥، وﻥ يساوي ثمانية. احسب قيمة معامل الانحدار ﺏ في نموذج انحدار المربعات الصغرى ﺹ يساوي ﺃ زائد ﺏﺱ. قرب إجابتك لأقرب ثلاث منازل عشرية.

دعونا نبدأ بتذكير أنفسنا بشأن نموذج انحدار المربعات الصغرى هذا؛ وهو ﺹ يساوي ﺃ زائد ﺏﺱ. يعطينا هذا النموذج معادلة الخط المستقيم الذي يمثل أفضل مطابقة لشكل انتشار مجموعة بيانات ﺱ، ﺹ. وقد اختيرت قيمتا ﺃ وﺏ لتقليل مجموع مربعات البواقي إلى أدنى حد. هذه هي الفروق الرأسية بين قيمة ﺹ لكل نقطة وقيمة ﺹ التي سنحصل عليها إذا استخدمنا النموذج للتوقع.

ثمة صيغ قياسية يمكننا استخدامها لحساب قيمتي ﺃ وﺏ. لدينا أولًا ﺏ يساوي ﻍﺱﺹ على ﻍﺱﺱ، حيث يمكن الحصول على قيمتي ﻍﺱﺹ وﻍﺱﺱ كما هو موضح بالأسفل. أما ﺃ، فعلى الرغم من أنه لم يطلب منا إيجاد قيمته، فهو يساوي ﺹ بار، وهو الوسط الحسابي لقيم ﺹ، ناقص ﺏ في ﺱ بار؛ وهو الوسط الحسابي لقيم ﺱ. يمكننا ملاحظة أنه إذا قارنا نموذج انحدار المربعات الصغرى الذي لدينا بالمعادلة العامة للخط المستقيم، فسنجد أن القيمة ﺏ تمثل ميل هذا الخط المستقيم، والقيمة ﺃ تمثل الجزء المقطوع من المحور ﺹ إذا كان من المناسب رسم امتداد هذا الخط.

حسنًا، لم يذكر في المعطيات البيانات الخام، لكننا علمنا منها الملخصات الإحصائية لمجموعة البيانات هذه. وهذه الملخصات كافية لحساب قيمتي ﻍﺱﺹ وﻍﺱﺱ، وبالتبعية حساب قيمة ﺏ. بالنسبة إلى ﻍﺱﺹ، سنستخدم المجموع لـ ﺱﺹ، وهو ٣١٠٫٢٥. وسنستخدم المجموع لـ ﺱ الذي يساوي ٤٧، والمجموع لـ ﺹ الذي يساوي ٤٥٫٧٥، وقيمة ﻥ، أي عدد أزواج البيانات، والتي تساوي ثمانية. وبذلك، نجد أن ﻍﺱﺹ يساوي ٣١٠٫٢٥ ناقص ٤٧ في ٤٥٫٧٥ على ثمانية. وهذا يساوي ٤١٫٤٦٨٧٥ بالضبط.

والآن قبل أن نحسب قيمة ﻍﺱﺱ، علينا أن نوضح الفرق بين هذين الترميزين. المجموع لـ ﺱ تربيع يعني أننا نقوم بتربيع كل قيمة من قيم ﺱ، ثم إيجاد مجموع هذه القيم معًا. بينما المجموع لـ ﺱ الكل تربيع يعني إيجاد مجموع قيم ﺱ أولًا ثم تربيع هذا المجموع. وهذا الأمر له أهمية كبيرة إذا كنا بصدد حساب هذه الملخصات بأنفسنا بمعلومية البيانات الخام. إذن لحساب ذلك، نحتاج المجموع لـ ﺱ تربيع، وهو ٣٢٩. وبعد ذلك نقوم بتربيع المجموع لـ ﺱ، أي تربيع ٤٧، ثم قسمته على ﻥ الذي يساوي ثمانية. بحساب قيمة هذا باستخدام الآلة الحاسبة، نحصل على ٥٢٫٨٧٥ بالضبط.

لإيجاد قيمة معامل الانحدار، نقسم قيمة ﻍﺱﺹ على قيمة ﻍﺱﺱ. وهذا يعطينا عددًا عشريًّا يساوي ٠٫٧٨٤٢٧ وهكذا مع توالي الأرقام. ولأنه طلب منا تقريب الإجابة لأقرب ثلاث منازل عشرية، فعند تقريب هذه القيمة، نحصل على ٠٫٧٨٤. حسنًا، وفقًا لتفسير هذه القيمة، تذكر أن ﺏ هو ميل خط انحدار نموذج المربعات الصغرى. إذن، القيمة ٠٫٧٨٤ تعني أن الخط المستقيم له ميل موجب. ولكل زيادة مقدارها وحدة واحدة في قيمة المتغير ﺱ، يتوقع النموذج زيادة مقدارها ٠٫٧٨٤ وحدة في قيمة المتغير ﺹ. لم يطلب منا إيجاد قيمة ﺃ في هذا السؤال. لكن إذا كنا بحاجة إلى حساب ذلك، فيمكننا استخدام قيمة ﺏ التي أوجدناها مع قيمتي ﺱ بار وﺹ بار، اللتين يمكن إيجادهما بقسمة المجموع لـ ﺱ والمجموع لـ ﺹ على ﻥ.

وبذلك، نكون قد حسبنا معامل الانحدار ﺏ في نموذج انحدار المربعات الصغرى ﺹ يساوي ﺃ زائد ﺏﺱ، لنجد أن قيمة ﺏ تساوي ٠٫٧٨٤ لأقرب ثلاث منازل عشرية.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.