فيديو: اشتقاق مقلوب الدوال المثلثية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيفية إيجاد مشتقات الدوال المثلثية مع التركيز على مشتقات دوال ظل التمام والقاطع وقاطع التمام.

٢١:٣٣

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الدرس، سوف نتعلم كيفية إيجاد مشتقة الدوال المثلثية مع التركيز على دوال ظل التمام والقاطع وقاطع التمام. سوف نبدأ بتلخيص القواعد التي نحتاج إليها لإيجاد هذه المشتقات قبل استكمال الاشتقاق، ثم نوضح كيف يمكن لهذه المشتقات القياسية أن تساعدنا على إيجاد مشتقات دوال أكثر تعقيدًا.

لنبدأ بتلخيص مشتقات الدوال المثلثية وهي دوال الجيب وجيب التمام والظل. مشتقة جا ﺃﺱ هي ﺃ جتا ﺃﺱ. ومشتقة جتا ﺃﺱ هي سالب ﺃ جا ﺃﺱ. ومشتقة ظا ﺃﺱ هي ﺃ قا تربيع ﺃﺱ. سنحتاج أيضًا إلى استخدام قاعدة حاصل الضرب. وتنص على أنه إذا كان لدينا دالتان قابلتان للاشتقاق، ﻉ وﻕ مثلًا، فإن مشتقة حاصل ضربهما، أي ﻉ في ﻕ، تساوي ﻉ في ﺩﻕ على ﺩﺱ زائد ﻕ في ﺩﻉ على ﺩﺱ. وبالمثل، سوف نستخدم قاعدة خارج القسمة. وهذه المرة، فإننا نوجد مشتقة خارج قسمة دالتين قابلتين للاشتقاق، وهما ﻉ وﻕ، من خلال إيجاد قيمة ﻕ في ﺩﻉ على ﺩﺱ ناقص ﻉ في ﺩﻕ على ﺩﺱ الكل على ﻕ تربيع. وسنشير إلى كل من هاتين القاعدتين على مدار الفيديو. لنتناول الآن المثال الأول.

إذا كان ﺹ يساوي سالب اثنين قا اثنين ﺱ، فأوجد معدل تغير ﺹ عندما ﺱ يساوي ١١‏𝜋‏ على ستة.

تذكر أنه عند إيجاد معدل تغير شيء ما، فإن ما يعنينا فعليًا هو المشتقة. إذن سنوجد مشتقة ﺹ بالنسبة إلى ﺱ ونوجد قيمتها عند النقطة التي يكون عندها ﺱ يساوي ١١‏𝜋‏ على ستة. كيف يمكننا اشتقاق هذه الدالة؟ نبدأ باستخدام تعريف دالة القاطع. نعلم أن قا ﺱ يساوي واحدًا على جتا ﺱ. يمكننا كتابة ﺹ على أنه يساوي سالب اثنين على جتا اثنين ﺱ. ثم لدينا أمران يمكننا القيام بهما. فيمكننا إعادة كتابة ذلك على الصورة سالب اثنين في جتا اثنين ﺱ أس سالب واحد وتطبيق قاعدة السلسلة. أو بما أن ذلك مكتوب على صورة كسر، يمكننا تطبيق قاعدة خارج القسمة. تذكر أن هذه تنص على أنه إذا كان ﻉ وﻕ دالتين قابلتين للاشتقاق، فإن مشتقة خارج القسمة هي ﻕ في ﺩﻉ على ﺩﺱ ناقص ﻉ في ﺩﻕ على ﺩﺱ الكل على ﻕ تربيع. بسط الكسر هنا هو سالب اثنين. إذن، نفترض أن ﻉ يساوي سالب اثنين. ومن ثم، ﻕ يساوي جتا اثنين ﺱ.

لاستخدام قاعدة خارج القسمة، سيتعين علينا إيجاد مشتقة كل منهما. مشتقة الثابت تساوي صفرًا. إذن ﺩﻉ على ﺩﺱ يساوي صفرًا. وعندئذ، نذكر صورة قياسية لمشتقة جتا ﺃﺱ. نلاحظ أن ﺩﻕ على ﺩﺱ يساوي سالب اثنين جا اثنين ﺱ. يمكننا التعويض بكل ما نعرفه في صيغة قاعدة خارج القسمة. ونجد أن ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي جتا اثنين ﺱ في صفر ناقص سالب اثنين في سالب اثنين جا اثنين ﺱ الكل على جتا اثنين ﺱ تربيع. ويبسط هذا إلى سالب أربعة جا اثنين ﺱ على جتا تربيع اثنين ﺱ. يمكننا فصل ذلك قليلًا وكتابته على الصورة سالب أربعة جا اثنين ﺱ على جتا اثنين ﺱ في واحد على جتا اثنين ﺱ. ثم نسترجع المتطابقة جا ﺱ على جتا ﺱ يساوي ظا ﺱ. وبذلك، نجد أننا حصلنا على الصورة العامة لمشتقة دالة القاطع.

ولكن، تذكر أننا نريد إيجاد معدل تغير ﺹ عندما ﺱ يساوي ١١‏𝜋‏ على ستة. إذن، سنعوض عن ﺱ بـ ١١‏𝜋‏ على ستة في تعبير المشتقة. وفي الواقع، من الأفضل أن يترك التعبير كما هو هنا بدلالة جا وجتا. نعوض عن ﺱ بـ ١١‏𝜋‏ على ستة. ونحصل على سالب أربعة جا اثنين في ١١‏𝜋‏ على ستة على جتا تربيع اثنين في ١١‏𝜋‏ على ستة، ما يساوي ثمانية جذر ثلاثة. إذن، معدل تغير ﺹ عندما ﺱ يساوي ١١‏𝜋‏ على ستة هو ثمانية جذر ثلاثة.

أوضح هذا المثال صورة عامة. إذ نجد أن مشتقة قا ﺃﺱ تساوي ﺃ قا ﺃﺱ في ظا ﺃﺱ. وسنجري الآن عملية مشابهة تساعدنا في إيجاد مشتقة دالة ظل التمام.

أوجد ﺩﺹ على ﺩﺱ إذا كان ﺹ يساوي سالب ثلاثة جتا أربعة ﺱ زائد ثلاثة ظتا أربعة ﺱ.

لإيجاد مشتقة ﺹ بالنسبة إلى ﺱ، يمكننا اشتقاق سالب ثلاثة جتا أربعة ﺱ وثلاثة ظتا أربعة ﺱ كل على حدة. نعلم أن مشتقة جتا ﺃﺱ تساوي سالب ﺃ جا ﺃﺱ. ومن ثم، نجد أن مشتقة سالب ثلاثة جتا أربعة ﺱ هي سالب ثلاثة في سالب أربعة جا أربعة ﺱ، ما يساوي ببساطة ١٢ جا أربعة ﺱ. لكن ماذا عن مشتقة ثلاثة ظتا أربعة ﺱ؟ ‏‏ظتا ﺱ يساوي واحدًا على ظا ﺱ. وظا ﺱ يساوي جا ﺱ على جتا ﺱ. من ثم، يمكننا القول إن ظتا أربعة ﺱ يساوي واحدًا على ظا أربعة ﺱ أو واحدًا على جا أربعة ﺱ على جتا أربعة ﺱ. وبذلك، نحصل على ثلاثة ظتا أربعة ﺱ يساوي ثلاثة على جا أربعة ﺱ على جتا أربعة ﺱ، وهو ما يمكن كتابته على الصورة ثلاثة جتا أربعة ﺱ على جا أربعة ﺱ.

في الواقع، علينا اشتقاق ثلاثة جتا أربعة ﺱ على جا أربعة ﺱ بالنسبة إلى ﺱ. وسنستخدم قاعدة خارج القسمة لاشتقاق ذلك. نفترض أن ﻉ يساوي ثلاثة جتا أربعة ﺱ. وﻕ يساوي جا أربعة ﺱ. نعلم أن مشتقة جتا أربعة ﺱ تساوي سالب أربعة جا أربعة ﺱ. إذن ﺩﻉ على ﺩﺱ يساوي سالب ١٢ جا أربعة ﺱ. يمكننا أيضًا استخدام الصورة العامة لمشتقة دالة الجيب. وبذلك، نحصل على ﺩﻕ على ﺩﺱ يساوي أربعة جتا أربعة ﺱ. يمكننا الآن التعويض بكل ما لدينا عن الدالة في المشتقة. ومن ثم، نحصل على جا أربعة ﺱ في سالب ١٢ جا أربعة ﺱ ناقص ثلاثة جتا أربعة ﺱ في أربعة جتا أربعة ﺱ على جا تربيع أربعة ﺱ. هذا يبسط إلى سالب ١٢ جا تربيع أربعة ﺱ ناقص ١٢ جتا تربيع أربعة ﺱ على جا تربيع أربعة ﺱ.

لكن، إذا أخذنا سالب ١٢ عاملًا مشتركًا، فإننا نجد أن بسط هذا الكسر سيصبح سالب ١٢ في جا تربيع أربعة ﺱ زائد جتا تربيع أربعة ﺱ. يمكننا استخدام المتطابقة جتا تربيع ﺱ زائد جا تربيع ﺱ يساوي واحدًا لنجد أن مشتقة ثلاثة ظتا أربعة ﺱ تساوي سالب ١٢ على جا تربيع أربعة ﺱ. ثمة أكثر من متطابقة يمكننا استخدامها. نعلم أن واحدًا على جا ﺱ يساوي قتا ﺱ. ويمكننا كتابة سالب ١٢ على جا تربيع أربعة ﺱ على الصورة سالب ١٢ قتا تربيع أربعة ﺱ. وﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي مجموع الناتجين. إذن هذا يساوي ١٢ جا أربعة ﺱ ناقص ١٢ قتا تربيع أربعة ﺱ.

في هذا المثال، أوضحنا نتيجة يمكن تعميمها. لاحظنا أن مشتقة ثلاثة ظتا أربعة ﺱ هي سالب ١٢ قتا تربيع أربعة ﺱ. وبالطريقة نفسها، يمكننا تعميم نتيجة مشتقة ظتا ﺃﺱ. وهي سالب ﺃ قتا تربيع ﺃﺱ. في المثال التالي، سنرى كيفية إيجاد مشتقة دالة قاطع التمام قبل توضيح كيف يمكن لهذه الصور العامة أن تساعدنا في إيجاد مشتقات دوال أكثر تعقيدًا.

إذا كان ﺹ يساوي سالب ١٣ قتا في ‏𝜋‏ زائد خمسة ﺱ، فأوجد ﺩﺹ على ﺩﺱ.

لإيجاد مشتقة دالة قاطع التمام، سنبدأ باسترجاع تعريفها. نعلم أن قتا ﺱ يساوي واحدًا على جا ﺱ. وهذا يعني أن ثمة عدة طرق يمكننا من خلالها إيجاد مشتقة ﺹ. فيمكننا استخدام متطابقة مجموع الدوال المثلثية. ويمكننا اشتقاق قتا خمسة ﺱ ثم التفكير في التحويل الهندسي الذي يحول قتا خمسة ﺱ إلى سالب ١٣ قتا 𝜋 زائد خمسة ﺱ. أو يمكننا، بدلًا من ذلك، استخدام قاعدة السلسلة. وتنص على أنه إذا كانت ﺹ دالة في ﻉ وكانت ﻉ نفسها دالة في ﺱ، فإن مشتقة ﺹ بالنسبة إلى ﺱ تساوي ﺩﺹ على ﺩﻉ في ﺩﻉ على ﺩﺱ. سنفترض أن ﺹ يساوي سالب ١٣ على جا ﻉ، حيث ﻉ يساوي 𝜋 زائد خمسة ﺱ. وﺩﻉ على ﺩﺱ يساوي خمسة. لكننا سنستخدم قاعدة خارج القسمة لإيجاد ﺩﺹ على ﺩﻉ.

نحن هنا بصدد اشتقاق ﺹ بالنسبة إلى ﻉ. ومن ثم، سأعرف قاعدة خارج القسمة باستخدام الدالتين ﺭ وﻝ بدلالة ﻉ. ونجد أن مشتقة ﺭ على ﻝ بالنسبة إلى ﻉ تساوي ﻝ في ﺩﺭ على ﺩﻉ ناقص ﺭ في ﺩﻝ على ﺩﻉ على ﻝ تربيع. هذا يعني أننا في هذه المسألة نفترض أن ﺭ يساوي سالب ١٣ وﻝ يساوي جا ﻉ. مشتقة ﺭ بالنسبة إلى ﻉ تساوي صفرًا. ونعلم أن مشتقة جا ﻉ بالنسبة إلى ﻉ تساوي جتا ﻉ. إذن، مشتقة ﺹ بالنسبة إلى ﻉ تساوي جا ﻉ في صفر ناقص سالب ١٣ في جتا ﻉ على جا تربيع ﻉ، وهو ما يبسط إلى ١٣ جتا ﻉ على جا تربيع ﻉ. سنكتب هذا على الصورة ١٣ جتا ﻉ على جا ﻉ في واحد على جا ﻉ. وهذا يعني أنه يمكن كتابة ﺩﺹ على ﺩﻉ بطريقة أخرى وهي ١٣ ظتا ﻉ قتا ﻉ.

لنعوض بكل ما لدينا من معطيات في صيغة قاعدة السلسلة. لدينا ١٣ ظتا ﻉ قتا ﻉ في خمسة أو ٦٥ ظتا ﻉ قتا ﻉ. نعوض عن ﻉ بـ 𝜋 زائد خمسة ﺱ. ونحصل على ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي ٦٥ ظتا 𝜋 زائد خمسة ﺱ في قتا 𝜋 زائد خمسة ﺱ.

نستنتج من الأمثلة التي تناولناها حتى الآن النتائج التالية عن مشتقات مقلوب الدوال المثلثية: دوال ظل التمام والقاطع وقاطع التمام. من المفيد أن تحفظ هذه الدوال عن ظهر قلب. ولكن، ينبغي أيضًا أن تكون على دراية باشتقاقها ومستعدًا لتطبيقه إذا لزم الأمر. سنرى الآن كيف يمكن أن تساعدنا هذه النتائج في إيجاد مشتقات دوال أكثر تعقيدًا.

إذا كان ﺹ يساوي ﺱ زائد ثلاثة في تسعة ﺱ زائد قتا ﺱ، فأوجد ﺩﺹ على ﺩﺱ.

لدينا دالة تعبر عن حاصل ضرب دالتين. ومن ثم، سنستخدم قاعدة حاصل الضرب لإيجاد قيمة ﺩﺹ على ﺩﺱ. تنص هذه القاعدة على أن مشتقة حاصل ضرب دالتين قابلتين للاشتقاق ﻉ وﻕ تساوي ﻉ في ﺩﻕ على ﺩﺱ زائد ﻕ في ﺩﻉ على ﺩﺱ. ومن ثم، نفترض أن ﻉ يساوي ﺱ زائد ثلاثة وﻕ يساوي تسعة ﺱ زائد قتا ﺱ. مشتقة ﺱ زائد ثلاثة تساوي واحدًا. ولكن ماذا عن ﺩﻕ على ﺩﺱ؟ نعلم أن مشتقة تسعة ﺱ تساوي تسعة. ومشتقة قتا ﺱ تساوي سالب قتا ﺱ ظتا ﺱ. إذن، ﺩﻕ على ﺩﺱ يساوي تسعة ناقص قتا ﺱ ظتا ﺱ. لنعوض بما لدينا في صيغة قاعدة حاصل الضرب. نجد أن ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي ﺱ زائد ثلاثة في تسعة ناقص قتا ﺱ ظتا ﺱ زائد تسعة ﺱ زائد قتا ﺱ في واحد. نوزع الأقواس ثم نجمع الحدود المتشابهة. وبذلك، نجد أن ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي ١٨ﺱ ناقص ﺱ زائد ثلاثة في قتا ﺱ ظتا ﺱ زائد قتا ﺱ زائد ٢٧.

إذا كان ﺹ يساوي سالب تسعة ظا ثمانية ﺱ قا ثمانية ﺱ، فأوجد ﺩﺹ على ﺩﺱ.

لدينا هنا دالة هي نفسها عبارة عن حاصل ضرب دالتين قابلتين للاشتقاق. إذن سنستخدم قاعدة حاصل الضرب. تنص هذه القاعدة على أن مشتقة حاصل ضرب دالتين قابلتين للاشتقاق ﻉ وﻕ يساوي ﻉ في ﺩﻕ على ﺩﺱ زائد ﻕ في ﺩﻉ على ﺩﺱ. ومن ثم، نفترض أن ﻉ يساوي سالب تسعة ظا ثمانية ﺱ وﻕ يساوي قا ثمانية ﺱ. ثم نذكر أن الصورة العامة لمشتقة ظا ﺃﺱ هي ﺃ قا تربيع ﺃﺱ. هذا يعني أن مشتقة سالب تسعة ظا ثمانية ﺱ تساوي سالب تسعة في ثمانية قا تربيع ثمانية ﺱ، ما يساوي سالب ٧٢ قا تربيع ثمانية ﺱ.

تذكر الصورة العامة لمشتقة قا ﺃﺱ. وهي ﺃ قا ﺃﺱ في ظا ﺃﺱ، ما يعني أن ﺩﻕ على ﺩﺱ يساوي ثمانية قا ثمانية ﺱ في ظا ثمانية ﺱ. يمكننا الآن التعويض بكل ما لدينا في صيغة قاعدة حاصل الضرب. وهذا يساوي ﻉ في ﺩﻕ على ﺩﺱ زائد ﻕ في ﺩﻉ على ﺩﺱ، ما يساوي سالب ٧٢ ظا تربيع ثمانية ﺱ قا ثمانية ﺱ ناقص ٧٢ قا تكعيب ثمانية ﺱ.

سنتناول مثالًا آخر يوضح استخدام نتائج مشتقات مقلوب الدوال المثلثية.

إذا كان ﺹ يساوي سبعة ظتا خمسة ﺱ زائد ثلاثة قتا ستة ﺱ أس سالب واحد، فأوجد ﺩﺹ على ﺩﺱ.

في هذا المثال، لدينا دالة مقلوب. يمكننا كتابة ذلك على صورة كسر وتطبيق قاعدة خارج القسمة. ولكن، يمكننا بدلًا من ذلك أن نستخدم قاعدة السلسلة. لنر كيف يمكننا استخدام قاعدة السلسلة. تنص هذه القاعدة على أنه إذا كانت ﺹ دالة في ﻉ وكانت ﻉ نفسها دالة في ﺱ، فإن مشتقة ﺹ بالنسبة إلى ﺱ تساوي ﺩﺹ على ﺩﻉ في ﺩﻉ على ﺩﺱ. سنفترض أن ﻉ يساوي سبعة ظتا خمسة ﺱ زائد ثلاثة قتا ستة ﺱ. هذا يعني أن ﺹ يساوي ﻉ أس سالب واحد. مشتقة ﺹ بالنسبة إلى ﻉ مباشرة إلى حد ما. وهي تساوي سالب واحد في ﻉ أس سالب اثنين. نتذكر أن مشتقة ظتا ﺃﺱ وهي سالب ﺃ قتا تربيع ﺃﺱ، ومشتقة قتا ﺃﺱ وهي سالب ﺃ قتا ﺃﺱ ظتا ﺃﺱ. ومن ثم، نجد أن ﺩﻉ على ﺩﺱ يساوي سالب ٣٥ قتا تربيع خمسة ﺱ ناقص ١٨ قتا ستة ﺱ ظتا ستة ﺱ.

مشتقة ﺹ بالنسبة إلى ﺱ هي حاصل ضرب هاتين المشتقتين. ونذكر هنا أنه يمكننا كتابة سالب ﻉ أس سالب اثنين على الصورة واحد على سالب ﻉ تربيع. ثم نقسم البسط والمقام على سالب واحد ونعوض عن ﻉ بسبعة ظتا خمسة ﺱ زائد ثلاثة قتا ستة ﺱ. وبذلك، نحصل على ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي ٣٥ قتا تربيع خمسة ﺱ زائد ١٨ قتا ستة ﺱ ظتا ستة ﺱ على سبعة ظتا خمسة ﺱ زائد ثلاثة قتا ستة ﺱ الكل تربيع.

في هذا الفيديو، عرفنا أنه يمكننا استخدام قاعدة خارج القسمة لإيجاد مشتقات مقلوب الدوال المثلثية ظتا ﺱ وقا ﺱ وقتا ﺱ. كما عرفنا أن مشتقة ظتا ﺃﺱ زائد ﺏ تساوي سالب ﺃ قتا تربيع ﺃﺱ زائد ﺏ. وتعلمنا أن مشتقة قا ﺃﺱ زائد ﺏ هي ﺃ قا ﺃﺱ زائد ﺏ في ظا ﺃﺱ زائد ﺏ. ومشتقة قتا ﺃﺱ زائد ﺏ هي سالب ﺃ قتا ﺃﺱ زائد ﺏ في ظتا ﺃﺱ زائد ﺏ. ورأينا كيف يمكننا استخدام هذه الصور القياسية إلى جانب قواعد الاشتقاق لإيجاد مشتقات عدد كبير من الدوال.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.