فيديو السؤال: تحديد أي من قائمة المتجهات ليـس متجه وحدة الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

كل ما يلي متجهات وحدة عدا (فراغ). الخيار (أ) المتجه ٠٫٦، سالب ٠٫٨، أم الخيار (ب) المتجه واحد، سالب واحد، أم الخيار (ج) المتجه واحد، صفر، أم الخيار (د) المتجه صفر، واحد.

في هذا السؤال، لدينا قائمة بها أربعة متجهات. وعلينا تحديد أي من هذه المتجهات الأربعة ليس متجه وحدة. للإجابة عن هذا السؤال، دعونا نبدأ بتذكر ما نعنيه بمتجه الوحدة. إننا نطلق على أي متجه معياره واحد متجه وحدة. لذا، علينا تحديد أي من هذه المتجهات الأربعة معياره لا يساوي واحدًا. توجد بضعة طرق للقيام بذلك.

إحدى هذه الطرق هي رسم المتجهات الأربعة جميعها في مخطط توضيحي، من نقطة الأصل. ومن ثم، سنجد أن المتجه الذي معياره يساوي واحدًا سينتهي على دائرة الوحدة. إذن، علينا فقط إيجاد متجه لا ينتهي على دائرة الوحدة. وهذا سيكون مفيدًا، وسيعطينا الإجابة الصحيحة.

لكن هناك طريقة أخرى. يمكننا استخدام الصيغة التالية: معيار المتجه ﺃ، ﺏ يساوي الجذر التربيعي لـ ﺃ تربيع زائد ﺏ تربيع. وتجدر الإشارة هنا إلى أن هذا يماثل تمامًا قولنا إن معيار المتجه هو طوله المرسوم بيانيًّا؛ إذ إن هذه الصيغة ليست سوى تطبيق لنظرية فيثاغورس على مثلث قائم الزاوية عرضه هو مقياس ﺃ، وارتفاعه هو مقياس ﺏ. سنستخدم هذه الصيغة لإيجاد معيار جميع المتجهات الأربعة المعطاة لنا في السؤال.

دعونا نبدأ بالمتجه في الخيار (أ). علينا إيجاد معيار المتجه ٠٫٦، سالب ٠٫٨. لإيجاد معيار هذا المتجه، علينا أخذ الجذر التربيعي لمجموع مربعي مركبتيه. هذا يعطينا الجذر التربيعي لـ ٠٦ تربيع زائد سالب ٠٫٨ تربيع. وإذا حسبنا ذلك، فسنحصل على الجذر التربيعي لواحد، وهو ما يساوي واحدًا. إذن، المتجه في الخيار (أ) هو متجه وحدة.

دعونا نكرر الأمر نفسه مع المتجه في الخيار (ب). إننا نريد إيجاد معيار المتجه واحد، سالب واحد. لإيجاد معيار هذا المتجه، علينا إيجاد الجذر التربيعي لمجموع مربعي مركبتيه. هذا يعطينا الجذر التربيعي لواحد تربيع زائد سالب واحد الكل تربيع. ويمكننا حساب ذلك؛ فهو يساوي الجذر التربيعي لاثنين. وبما أن ناتج هذا لا يساوي واحدًا، فهذا المتجه ليس متجه وحدة. وبذلك، نكون قد أوضحنا أن المتجه في الخيار (ب) ليس متجه وحدة.

يمكننا التوقف هنا، لكن دعونا نتحقق أيضًا من معياري المتجهين الآخرين. وبدلًا من فعل ذلك باستخدام الصيغة التي لدينا، سنفعل ذلك باستخدام الرسم. تذكر أنه يمكننا تمثيل المتجهات بيانيًّا بحيث تكون المركبة الأولى هي المركبة الأفقية للمتجه، وتكون المركبة الثانية هي المركبة الرأسية للمتجه. حسنًا، بالنسبة للمتجه في الخيار (أ)، ستكون له المركبة الأفقية ٠٫٦ والمركبة الرأسية سالب ٠٫٨. ومن ثم، يمكننا تمثيل المتجه في الخيار (أ) على الشكل البياني كما هو موضح.

تجدر الإشارة هنا إلى أننا لا نحتاج إلى أن يبدأ المتجه من نقطة الأصل. ومع ذلك، هذا يعطينا خاصية مفيدة. معيار المتجه هو المسافة التي يقع عليها المتجه بدءًا من نقطة الأصل. بعبارة أخرى، بما أن هذا المتجه يقع على دائرة الوحدة التي مركزها نقطة الأصل، يمكننا ملاحظة أن معياره يساوي واحدًا.

يمكننا بعد ذلك فعل الشيء نفسه مع المتجهات في الخيارات (ب) و(ج) و(د). دعونا نطبق ذلك على المتجه في الخيار (ج). المركبة الأفقية لهذا المتجه تساوي واحدًا، والمركبة الرأسية تساوي صفرًا. لذا، يمكننا رسم هذا المتجه في الشكل لدينا بدءًا من نقطة الأصل. ويمكننا ملاحظة أن معيار هذا المتجه أو طول المتجه بيانيًّا يساوي واحدًا.

سوف نكرر الأمر نفسه مع المتجه في الخيار (د). مركبته الأفقية تساوي صفرًا، ومركبته الرأسية تساوي واحدًا. ويمكننا أيضًا رسم هذا المتجه في الشكل لدينا. إنه يبدأ من نقطة الأصل، ويتجه إلى النقطة صفر، واحد. ويمكننا أيضًا ملاحظة أن معيار هذا المتجه يساوي واحدًا. ولكي نطبق هذه العملية على جميع المتجهات، دعونا نرسم المتجه في الخيار (ب) في الشكل لدينا. مركبته الأفقية تساوي واحدًا، ومركبته الرأسية تساوي سالب واحد. وإذا رسمنا هذا المتجه من نقطة الأصل، يمكننا ملاحظة أن معياره أكبر من واحد.

وبذلك، نكون قد تمكنا من توضيح أن من بين المتجهات الأربعة المعطاة، كان المتجه في الخيار (ب) فقط - وهو واحد، سالب واحد - ليس متجه وحدة.