نسخة الفيديو النصية
اعتبر أن المصفوفة ﺃ تساوي واحدًا، اثنين، ثلاثة، وصفر، واحد، أربعة، وصفر، صفر، واحد. أوجد معكوسها علمًا بأن صيغة المصفوفة هي واحد، ﻡ، ﻥ، وصفر، واحد، ﻝ، وصفر، صفر، واحد، حيث ﻡ وﻥ وﻝ أعداد عليك إيجادها.
حسنًا، أول ما يمكننا ملاحظته بشأن المصفوفة ﺃ هو أنها مصفوفة مثلثية عليا. ونعرف ذلك لأننا ننظر إلى العناصر الموجودة في الطرف الأيمن من المعادلة، وهي الأصفار الثلاثة. وبذلك تشكل العناصر غير الصفرية مثلثًا في الطرف الأيسر العلوي. وما نعرفه عن المصفوفة المثلثية العليا هو أن معكوس المصفوفة المذكورة سيكون أيضًا مصفوفة مثلثية عليا. وإذا نظرنا إلى شكل المعكوس، فسنجد أن هذا هو الواقع؛ لأن، مرة أخرى، العناصر الثلاثة في الجزء السفلي الأيمن عبارة عن أصفار.
ما نلاحظه أيضًا عندما نريد إيجاد المعكوس هو أن العديد من الخطوات التي نكملها عادة ستكون أسهل بكثير بسبب هذه المصفوفة بالتحديد. لكننا سنلقي نظرة على ذلك بينما نواصل الحل. لذا، أولًا، إذا أردنا إيجاد المعكوس، فإن الخطوة الأولى هي إيجاد مصفوفة المحددات الصغرى. ثم في الخطوة الثانية، نوجد مصفوفة العوامل المرافقة. بعد ذلك في الخطوة الثالثة نوجد المصفوفة المرافقة المعروفة أيضًا بالمصفوفة الملحقة. وأخيرًا، في الخطوة الرابعة علينا الضرب في واحد على محدد المصفوفة الأصلية. حسنًا، عظيم. فلنطبق كل خطوة من هذه الخطوات. وكما ذكرنا من قبل، ما سنتمكن من فعله هو جعل الأمر أبسط كثيرًا لأننا نتعامل مع مصفوفة مثلثية عليا.
إذن، الآن ستكون مصفوفة المحددات الصغرى هي المصفوفة التي لدينا هنا. وبعد أن نذكر أنفسنا بكيفية إيجاد مصفوفة المحددات الصغرى، دعونا نلق نظرة على العنصر الأول. حسنًا، ما لدينا في المصفوفة الأصلية هو أن العنصر الأول الذي لدينا هو واحد. بعد ذلك ما علينا فعله هو حذف كل القيم أو العناصر الموجودة في نفس عمود وصفه. ومن ثم ما يتبقى لدينا هو المصفوفة الفرعية من الرتبة اثنين في اثنين: واحد، أربعة، صفر، واحد. وهذه هي مصفوفة المحدد الصغرى. ومن ثم فإن مصفوفة المحدد الصغرى هي محدد هذه المصفوفة ذات الرتبة اثنين في اثنين.
حسنًا، ما يمكننا فعله سريعًا هو أن نذكر أنفسنا بكيفية إيجاد قيمة محدد مصفوفة رتبتها اثنان في اثنين. إذا كان محدد المصفوفة التي رتبتها اثنان في اثنين لدينا هو ﺃ، ﺏ، ﺟ، ﺩ، فإن قيمته تساوي ﺃﺩ ناقص ﺏﺟ. لذا ما سنفعله هو الضرب التبادلي ثم الطرح. حسنًا، في الخطوة التالية ما سنفعله عادة هو إيجاد كل قيمة من القيم، أي محدد كل مصفوفة صغرى. ومع ذلك يمكننا التعويض مباشرة بثلاث قيم؛ وذلك لأننا نعلم أننا نتعامل مع مصفوفة مثلثية عليا. هذه القيم الثلاث هي صفر، وصفر، وصفر، وتقع في الطرف العلوي الأيسر من المصفوفة. ويمكننا فعل ذلك لأنه حتى من دون الحاجة إلى إيجاد محددات المصفوفات الصغرى، أولًا، يمكننا أن نلاحظ أن كلا القطرين في محددي المصفوفتين الصغريين بهما صفر. والصفر مضروبًا في أي شيء يساوي صفرًا. لذا ستكون النتائج صفرًا.
وجدير بالملاحظة أيضًا أنه عند النظر إلى مصفوفة المحددات الصغرى لمصفوفة مثلثية عليا، نجد دائمًا هذه الأصفار الثلاثة في هذه المواضع، التي هي عكس موضعها في المصفوفة نفسها. وإذا أردنا إضافة العنصر الأول، فسيكون لدينا واحد مضروب في واحد، وهو ما يساوي واحدًا ناقص أربعة مضروبًا في صفر يساوي صفرًا، وهو ما يعطينا الناتج واحدًا. وإذا نظرنا إلى العنصر التالي، فسنجد أن لدينا اثنين مضروبًا في واحد ناقص ثلاثة مضروبًا في صفر، وهو ما يعطينا اثنين. وبعد ذلك، نطبق هذه الطريقة حتى نملأ باقي المصفوفة. إذن، مصفوفة المحددات الصغرى هي: واحد، صفر، صفر، اثنان، واحد، صفر، خمسة، أربعة، واحد. إذن، أكملنا الخطوة الأولى.
والآن، سننتقل إلى الخطوة الثانية لإيجاد مصفوفة العوامل المرافقة. حسنًا، في الواقع هذه هي الخطوة الأسهل؛ لأن كل ما علينا فعله هو تطبيق قاعدة الإشارات لمساعدتنا على إيجاد الحل. وتخبرنا قاعدة الإشارات لمصفوفة العوامل المرافقة عن إشارات كل عنصر. لكننا نطبق هذه الإشارات على العناصر التي كانت لدينا في مصفوفة المحددات الصغرى. وعندما نفعل ذلك، فما سنحصل عليه هو مصفوفة العوامل المرافقة. وهي واحد، صفر، صفر، سالب اثنين، واحد، صفر، خمسة، سالب أربعة، واحد. عظيم إذن. بذلك نكون قد أكملنا الخطوة الثانية.
والآن لننتقل إلى الخطوة الثالثة. هيا نحدد المصفوفة المرافقة. حسنًا، كل ما علينا فعله لإيجاد المصفوفة المرافقة هو تبديل العناصر عبر القطر الذي يبدأ من أعلى اليمين إلى أسفل اليسار. إذا فعلنا ذلك، فسنحصل على المصفوفة المرافقة. إذن، ما سنحصل عليه هو المصفوفة المرافقة واحد، سالب اثنين، خمسة، صفر، واحد، سالب أربعة، صفر، صفر، واحد. ويمكننا ملاحظة أن هذه مصفوفة مثلثية عليا. إذن، في الواقع نحن نقترب مما نبحث عنه في المعكوس الضربي لأننا حددنا بالفعل أن معكوسنا سيكون مصفوفة مثلثية عليا.
والآن لنكمل الخطوة الرابعة. والخطوة الرابعة هي الخطوة الأخيرة. وكل ما علينا فعله هو الضرب في واحد على محدد المصفوفة الأصلية. حسنًا، إذا أردنا إيجاد قيمة محدد مصفوفة رتبتها ثلاثة في ثلاثة، وإذا كانت لدينا المصفوفة ﺃ، ﺏ، ﺟ، ﺩ، ﻫ، ﻭ، ﺯ، ﺡ، ﻁ فإن هذا يساوي ﺃ مضروبًا في محدد المصفوفة الفرعية، التي رتبتها اثنان في اثنين، ﻫ، ﻭ، ﺡ، ﻁ ناقص ﺏ مضروبًا في محدد المصفوفة الفرعية، التي رتبتها اثنان في اثنين، ﺩ، ﻭ، ﺯ، ﻁ زائد ﺟ، مضروبًا في المحدد ﺩ، ﻫ، ﺯ، ﺡ. حسنًا، هذه عادة عملية طويلة. لكن بما أننا أوجدنا مصفوفة المحددات الصغرى بالفعل، فهذا يعني أننا حسبنا بالفعل محددات المصفوفات الفرعية من الرتبة اثنين في اثنين.
إذن، لإيجاد قيمة المحدد، كل ما علينا فعله هو ضرب الصف الأول، كل حد من الحدود في الحدود المناظرة في الصف الأول من مصفوفة المحددات الصغرى. ولكن هذا يصبح أسرع؛ لأننا نتعامل مع مصفوفة مثلثية عليا. حسنًا، السبب في ذلك هو أن المحدد سيكون واحدًا مضروبًا في واحد. وذلك لأننا لا نحتاج حتى إلى أن نحاول إيجاد القيمتين التاليتين؛ لأن القيمتين التاليتين في الصف العلوي من مصفوفة المحددات الصغرى هما، كما نرى، صفرين. ومن ثم يمكننا ملاحظة أن المحدد سيساوي واحدًا.
حسنًا، إذا كان المحدد يساوي واحدًا، فإن هذا يجعل الخطوة الرابعة سهلة لأن المعكوس سيساوي ببساطة واحدًا مضروبًا في المصفوفة المرافقة، أي واحد مضروبًا في المصفوفة واحد، سالب اثنين، خمسة، وصفر، واحد، سالب أربعة وصفر، صفر، واحد.
إذن، ما يمكننا قوله هو أن معكوس المصفوفة واحد، اثنين، ثلاثة، وصفر، واحد، أربعة، وصفر، صفر، واحد على صورة المصفوفة واحد، ﻡ، ﻥ، وصفر، واحد، ﻝ، وصفر، صفر، واحد هي المصفوفة واحد، سالب اثنين، خمسة، وصفر، واحد، سالب أربعة، وصفر، صفر، واحد؛ حيث ﻡ وﻥ وﻝ يساوي سالب اثنين، وخمسة، وسالب أربعة، على الترتيب.
