فيديو السؤال: اشتقاق دوال كثيرة الحدود في الصورة التحليلية الرياضيات

أوجد المشتقة الأولى للدالة ﺹ = (ﺱ^٢ + ٩)(٨ﺱ + ٣).

٠٣:١٩

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد المشتقة الأولى للدالة ﺹ يساوي ﺱ تربيع زائد تسعة مضروبًا في ثمانية ﺱ زائد ثلاثة.

يمكننا استخدام أكثر من طريقة لحل هذا السؤال. على سبيل المثال، يمكننا توزيع الأقواس لنحصل على ﺹ في صورة دالة كثيرة الحدود لـ ﺱ، ثم نطبق قاعدة القوى للاشتقاق لإيجاد مشتقتها. بدلًا من ذلك، نلاحظ أن ﺹ يساوي حاصل ضرب دالتين كثيرتي حدود. وهما ﺱ تربيع زائد تسعة مضروبًا في ثمانية ﺱ زائد ثلاثة. وبذلك، يعد هذا السؤال فرصة لنا لاستخدام قاعدة الضرب.

تنص قاعدة الضرب على أنه بالنسبة إلى دالتين قابلتين للاشتقاق ﻉ وﻕ، إذا كان ﺹ يساوي حاصل ضربهما، ﻉﻕ، فإن مشتقة ﺹ بالنسبة إلى ﺱ، ﺩﺹ على ﺩﺱ، تساوي ﻉ في ﺩﻕ على ﺩﺱ زائد ﻕ في ﺩﻉ على ﺩﺱ. نضرب كل دالة في مشتقة الدالة الأخرى ونجمعهما معًا. يمكننا إذن أن نجعل ﻉ يساوي إحدى الدالتين، في هذه الحالة ﺱ تربيع زائد تسعة؛ وﻕ يساوي الدالة الأخرى، في هذه الحالة ثمانية ﺱ زائد ثلاثة. على الرغم من أن اختيار ﻉ وﻕ تقديري، فإن قاعدة الضرب تكون متماثلة في ﻉ وﻕ.

نحتاج بعد ذلك إلى إيجاد كل مشتقة من مشتقتيهما، وهو ما يمكننا فعله باستخدام قاعدة القوى للاشتقاق. وتنص على أنه إذا كانت لدينا قوة لـ ﺱ، ونقوم باشتقاقها بالنسبة إلى ﺱ، فإننا نضرب في الأس ثم نطرح واحدًا من الأس. ومشتقة ﺱ تربيع هي اثنان مضروبًا في ﺱ أس واحد، أو اثنان ﺱ. ومشتقة تسعة تساوي صفرًا، لأن مشتقة أي ثابت تساوي صفرًا. وبالطريقة نفسها، مشتقة ثمانية ﺱ تساوي ثمانية؛ لأنها تساوي ثمانية ﺱ أس صفر. وﺱ أس صفر يساوي واحدًا. ومشتقة ثلاثة، أي الثابت، تساوي صفرًا. لدينا إذن ﺩﻉ على ﺩﺱ يساوي اثنين ﺱ، وﺩﻕ على ﺩﺱ يساوي ثمانية.

لإيجاد ﺩﺹ على ﺩﺱ، علينا التعويض بـ ﻉ، وﻕ، ومشتقتيهما في صيغة قاعدة الضرب. لدينا ﻉ، أي ﺱ تربيع زائد تسعة، مضروبًا في ﺩﻕ على ﺩﺱ، وهو ما يساوي ثمانية، زائد ﻕ، أي ثمانية ﺱ زائد ثلاثة، مضروبًا في ﺩﻉ على ﺩﺱ، وهو ما يساوي اثنين ﺱ. يمكننا بعد ذلك توزيع كل مجموعة من الأقواس لنحصل على ثمانية ﺱ تربيع زائد ٧٢ زائد ١٦ﺱ تربيع زائد ستة ﺱ. وأخيرًا، بجمع الحدود المتشابهة، وهي ثمانية ﺱ تربيع وو ١٦ﺱ تربيع، نحصل على ٢٤ﺱ تربيع زائد ستة ﺱ زائد ٧٢.

إذن، بتطبيق قاعدة الضرب، وجدنا أنه ﺹ هو حاصل ضرب الدالتين القابلتين للاشتقاق، وهما ﺱ تربيع زائد تسعة، وثمانية ﺱ زائد ثلاثة. إذن في هذه الحالة، مشتقتها الأولى ﺩﺹ على ﺩﺱ تساوي ٢٤ﺱ تربيع زائد ستة ﺱ زائد ٧٢.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.