فيديو السؤال: إيجاد نقطة تقاطع مستقيم ومستوى الرياضيات

أوجد نقطة تقاطع المستقيم (ﺱ − ٦)‏/‏٤ = ﺹ + ٣ = ﻉ والمستوى ﺱ + ٣ﺹ + ٢ﻉ − ٦ = ٠.

٠٤:٤٣

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد نقطة تقاطع المستقيم ﺱ ناقص ستة على أربعة يساوي ﺹ زائد ثلاثة يساوي ﻉ والمستوى ﺱ زائد ثلاثة ﺹ زائد اثنين ﻉ ناقص ستة يساوي صفرًا.

نقطة التقاطع ﺱ، ﺹ، ‏ﻉ لخط مستقيم ومستوى هي الحل الوحيد لنظام المعادلات المكون من معادلتي الخط المستقيم والمستوى. هناك طرق مختلفة لحل هذا النوع من أنظمة المعادلات. وفي هذا المثال، سنحلها جبريًّا.

معادلة المستقيم المعطاة تتكون فعليًّا من معادلتين؛ لأن لدينا علاقتي تساو. لنبدأ بكتابة معادلة المستقيم على صورة معادلتين منفصلتين تتضمنان ﻉ. المعادلة الأولى هي ﻉ يساوي ﺱ ناقص ستة على أربعة، والمعادلة الثانية هي ﻉ يساوي ﺹ زائد ثلاثة. بضرب كل من طرفي المعادلة الأولى في أربعة، نحصل على أربعة ﻉ يساوي ﺱ ناقص ستة. وبإضافة ستة إلى كلا الطرفين، نحصل على ﺱ بدلالة ﻉ، وهو ما يساوي أربعة ﻉ زائد ستة. في المعادلة الثانية، نطرح ببساطة ثلاثة من كلا الطرفين فنحصل على ﺹ يساوي ﻉ ناقص ثلاثة.

بالإضافة إلى معادلة المستوى، أصبح لدينا الآن ثلاث معادلات وثلاثة مجاهيل. وما دام الخط المستقيم والمستوى غير متوازيين أو في نفس المستوى، يجب أن يكون هناك حل وحيد لهذه المعادلات، وهو نقطة التقاطع. معادلة المستوى هي ﺱ زائد ثلاثة ﺹ زائد اثنين ﻉ ناقص ستة يساوي صفرًا. ولإيجاد نقطة التقاطع، نعوض بتعبيري ﺱ وﺹ اللذين حصلنا عليهما في معادلة المستوى. وهذا يعطينا أربعة ﻉ زائد ستة، أي ﺱ، زائد ثلاثة مضروبًا في ﻉ ناقص ثلاثة، أي ثلاثة في ﺹ، زائد اثنين ﻉ ناقص ستة يساوي صفرًا. وهذا يصبح أربعة ﻉ زائد ستة زائد ثلاثة ﻉ ناقص تسعة زائد اثنين ﻉ ناقص ستة يساوي صفرًا. بتجميع الحدود المتشابهة، يصبح لدينا تسعة ﻉ ناقص تسعة يساوي صفرًا. ولإيجاد قيمة ﻉ، نجعل ذلك تسعة ﻉ يساوي تسعة، ومن ثم فإن ﻉ يساوي واحدًا.

حسنًا، دعونا ندون ذلك جانبًا ونفرغ بعض المساحة، ونتذكر أن معادلة الخط المستقيم تنص على أن ﺱ يساوي أربعة ﻉ زائد ستة وﺹ يساوي ﻉ ناقص ثلاثة. بالتعويض بقيمة ﻉ يساوي واحدًا، نحصل على ﺱ يساوي أربعة مضروبًا في واحد زائد ستة. وهذا يعني أن ﺱ يساوي ١٠. بالتعويض عن ﻉ بواحد في تعبير ﺹ، يصبح لدينا ﺹ يساوي واحدًا ناقص ثلاثة. وهذا يعني أن ﺹ يساوي سالب اثنين. إذن، نقطة تقاطع المستقيم والمستوى المعطيين هي ١٠، سالب اثنين، واحد.

يمكننا التحقق من صحة جميع هذه القيم بالتعويض في المعادلتين. في معادلة المستوى، لدينا ١٠ زائد ثلاثة في سالب اثنين زائد اثنين في واحد ناقص ستة. وهذا يساوي ١٠ ناقص ستة زائد اثنين ناقص ستة، وهو ما يساوي صفرًا. وفي معادلة المستقيم، لدينا ١٠ ناقص ستة على أربعة يساوي سالب اثنين زائد ثلاثة يساوي واحدًا، وكل من هذه القيم يساوي واحدًا بالفعل. إذن، نقطة التقاطع هي ١٠، سالب اثنين، واحد.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.