فيديو السؤال: إيجاد معادلة منحنى بمعلومية ميل المماس باستخدام التكامل غير المحدد الرياضيات

الميل عند النقطة (ﺱ‎، ﺹ) على التمثيل البياني للدالة هو ﺩﺹ‏/‏ﺩﺱ = −٤𝜋 جا 𝜋ﺱ + ٥𝜋 جتا 𝜋ﺱ أوجد معادلة المنحنى إذا كان يحتوي على النقطة (١‎، ٢).

٠٣:٤٨

‏نسخة الفيديو النصية

الميل عند النقطة ﺱ، ﺹ على التمثيل البياني للدالة هو ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي سالب أربعة 𝜋 جا 𝜋ﺱ زائد خمسة 𝜋 جتا 𝜋ﺱ. أوجد معادلة المنحنى إذا كان يحتوي على النقطة واحد، اثنين.

في هذا السؤال، لدينا معلومات عن مشتقة الدالة الأصلية. ونريد إيجاد معادلة المنحنى باستخدام بعض المعلومات المعطاة عن النقطة التي يمر بها. بعبارة أخرى، علينا إيجاد معادلة لـ ﺹ بدلالة ﺱ. نبدأ بتذكر أن النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل تنص على أن التكامل والاشتقاق هما عمليتان عكسيتان في الأساس. لذلك، سنوجد معادلة لـ ﺹ عن طريق حساب تكامل التعبير ﺩﺹ على ﺩﺱ بالنسبة إلى ﺱ.

في هذه الحالة إذن، ﺹ هو التكامل غير المحدد لسالب أربعة 𝜋 جا 𝜋ﺱ زائد خمسة 𝜋 جتا 𝜋ﺱ بالنسبة إلى ﺱ. ويمكننا، في الواقع، الاستعانة بالصيغة العامة لناتج التكامل لدالتي الجيب وجيب التمام. تكامل جا ﺃﺱ لثابت حقيقي ما ﺃ يساوي سالب واحد على ﺃ جتا ﺃﺱ زائد ثابت التكامل ﺙ. وبالمثل، تكامل جتا ﺃﺱ بالنسبة إلى ﺱ يساوي واحدًا على ﺃ في جا ﺃﺱ زائد ﺙ. تذكر أنه يمكننا حساب التكامل لكل حد على حدة. إذن نبدأ بحساب تكامل سالب أربعة 𝜋 في جا 𝜋ﺱ بالنسبة إلى ﺱ. وذلك يساوي سالب أربعة 𝜋 في سالب واحد على 𝜋 جتا 𝜋ﺱ، وهو ما يساوي أربعة جتا 𝜋ﺱ.

ثم عندما نحسب تكامل خمسة 𝜋 جتا 𝜋ﺱ، نحصل على خمسة 𝜋 في واحد على 𝜋 جا 𝜋ﺱ، وهو ما يساوي خمسة جا 𝜋ﺱ. وبما أننا نجري تكاملًا غير محدد، فمن المهم جدًّا أن نضع ثابت التكامل ﺙ. وبذلك نكون قد توصلنا إلى أن ﺹ يساوي أربعة جتا 𝜋ﺱ زائد خمسة جا 𝜋ﺱ زائد ﺙ. علينا الآن إيجاد قيمة ﺙ. نعود إذن إلى معطيات السؤال حول مرور المنحنى بالنقطة واحد، اثنين. أي عند ﺱ يساوي واحدًا، فإن ﺹ يساوي اثنين. ثم نعوض بهاتين القيمتين في المعادلة. ونحصل على اثنين يساوي أربعة جتا 𝜋 في واحد زائد خمسة جا 𝜋 في واحد زائد ﺙ.

نعلم، الآن، أن خمسة جا 𝜋 يساوي صفرًا. وبالمثل، جتا 𝜋 يساوي سالب واحد. إذن، أربعة جتا 𝜋 يساوي سالب أربعة. وتصبح المعادلة اثنان يساوي سالب أربعة زائد ﺙ، ويمكننا إيجاد قيمة ﺙ بإضافة أربعة إلى كلا الطرفين. إذن ﺙ تساوي ستة. وبذلك، يمكننا التعويض عن ﺙ بستة في معادلة ﺹ. وهو ما يعني أن ﺹ يساوي أربعة جتا 𝜋ﺱ زائد خمسة جا 𝜋ﺱ زائد ستة. أو إذا فضلنا كتابة الجمع أولًا، كما هو معتاد، فسنحصل على ﺹ يساوي خمسة جا 𝜋ﺱ زائد أربعة جتا 𝜋ﺱ زائد ستة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.