نسخة الفيديو النصية
القوة ﻕ تساوي أربعة ﺱ زائد ١٢ﺹ نيوتن تؤثر عند النقطة ﺃ سالب أربعة، سالب واحد متر. احسب عزم هذه القوة حول نقطة الأصل، ﺝﻭ، والبعد العمودي ﻝ بين خط عمل القوة ونقطة الأصل.
دعونا نبدأ برسم إطار إحداثي. هنا، الجزء الموجب من المحور ﺱ يشير إلى اليمين، والجزء الموجب من المحور ﺹ يشير رأسيًّا إلى أعلى. والآن، سنرسم النقطة ﺃ على هذه الشبكة. نلاحظ هنا أن قيمة الإحداثي ﺱ لهذه النقطة تساوي سالب أربعة، وقيمة الإحداثي ﺹ تساوي سالب واحد. هذا يعني أن النقطة ﺃ تقع هنا. وعلمنا من السؤال أنه عند هذه النقطة، تؤثر قوة ما، ﻕ، ومعطى لنا مركبتاها. وبما أن المركبة ﺱ لهذه القوة تساوي موجب أربعة والمركبة ﺹ تساوي موجب ١٢، يمكننا قول إننا إذا رسمنا خط عمل هذه القوة على التمثيل البياني، فإنه لكل وحدة نتحركها في اتجاه الجزء الموجب من المحور ﺱ، بداية من النقطة ﺃ، سنتحرك بمقدار وحدة، اثنتين، ثلاث وحدات في اتجاه الجزء الموجب من المحور ﺹ. وبهذا، فإن خط عمل هذه القوة سيبدو بهذا الشكل.
حسنًا، مطلوب منا في هذا السؤال إيجاد قيمتين. إننا نريد حساب العزم ﺝﻭ لهذه القوة حول نقطة الأصل في هذا الإطار الإحداثي. ونريد أيضًا إيجاد البعد العمودي، المسمى ﻝ، والممتد من خط العمل هذا الذي رسمناه إلى نقطة الأصل. وفي الواقع، يمكننا فعليًّا إيجاد قيمة ﻝ أثناء الحل لإيجاد العزم الكلي الناتج عن هذه القوة. لذا، دعونا نفعل ذلك أولًا. سنفكر في البعد العمودي ﻝ الممتد من خط العمل إلى نقطة الأصل.
يمكننا فعل ذلك بحل المعادلة التي تعبر عن الخط المتقطع ذي اللون الوردي والمعادلة التي تعبر عن الخط المتصل ذي اللون البرتقالي. إحدى الطرق العامة لكتابة معادلة خط مستقيم هي كتابته على الصورة ﺹ يساوي ﻡ، وهو ميل الخط المستقيم، مضروبًا في ﺱ زائد ﺟ، وهو الجزء المقطوع من المحور ﺹ بواسطة الخط المستقيم. إذا سمينا الإحداثي ﺹ لخط عمل المتجه ﺹﺏ، فسنجد أن هذا الإحداثي يساوي ميلًا، سنسميه ﻡﺏ، مضروبًا في ﺱ زائد جزء مقطوع من المحور ﺹ. وسنطلق عليه ﺟﺏ. ميل الخط المستقيم ﻡ بوجه عام يساوي التغير في الإحداثي الرأسي لهذا الخط المستقيم على التغير في الإحداثي الأفقي له. وبما أن الميل ﻡﺏ يتبع خط عمل القوة ﻕ، يمكننا قول إن ﻡﺏ يساوي النسبة بين قيمة ﺹ وقيمة ﺱ لهذه القوة. هذا يعني أن ﻡﺏ يساوي ثلاثة.
بمعلومية ذلك، سنبدأ في حساب ﺟﺏ. وهو الجزء المقطوع من المحور ﺹ بواسطة هذا الخط المستقيم. ولمعرفة ذلك، استعنا بحقيقة أن خط العمل يمر بالنقطة ﺃ. هذا يعني أنه يمكننا التعويض بقيمة الإحداثي ﺱ لهذه النقطة هنا، وبقيمة الإحداثي ﺹ هنا. وبما أن هذه النقطة تقع على الخط المستقيم، فلا بد أن هذه المعادلة كلها صحيحة. وبهذا نجد أن ﺟﺏ يساوي سالب واحد زائد ١٢ أو موجب ١١. بمعلومية ذلك، يمكننا الآن كتابة معادلة مكتملة تعبر عن ﺹﺏ. معادلة خط عمل القوة لدينا هي ﺹﺏ يساوي ثلاثة ﺱ زائد ١١.
في الخطوة التالية، علينا إيجاد علاقة مماثلة مع الخط المتصل ذي اللون البرتقالي في الرسم؛ أي الخط الذي طوله ﻝ. وبما أن هذا الخط عمودي على ﺹﺏ، فإن ميله يساوي سالب مقلوب ميل ﺹﺏ. وعندما نفكر في الجزء المقطوع من المحور ﺹ مع هذا الخط المستقيم، والذي يمكن أن نسميه ﺟﻝ، سنجد أن هذا الخط المستقيم يمر بنقطة الأصل حيث ﺹ يساوي صفرًا، وعليه فإن الجزء المقطوع من المحور ﺹ، أي ﺟﻝ، يساوي صفرًا.
حسنًا، لدينا الآن معادلة مكتملة لكل مستقيم من المستقيمين. كل ما علينا فعله بعد ذلك هو إيجاد النقطة التي يتقاطع عندها الخطان المستقيمان في المستوى ﺱﺹ. وعند نقطة التقاطع هذه، يمكننا قول إن ﺹﺏ يساوي ﺹﻝ، أو بعبارة أخرى ثلاثة ﺱ زائد ١١ يساوي سالب ثلث ﺱ. إذا كنا نريد حل هذه المعادلة لإيجاد قيمة ﺱ، فسنجد أن عشرة أثلاث ﺱ يساوي سالب ١١. ومن ثم، إذا ضربنا كلا طرفي المعادلة في ثلاثة أعشار، فسنجد أن ﺱ يساوي سالب ٣٣ على ١٠. هذه هي قيمة الإحداثي ﺱ لنقطة تقاطع الخطين المستقيمين.
لإيجاد قيمة ﺹ المناظرة، يمكننا التعويض بقيمة ﺱ هذه في معادلة أي من الخطين المستقيمين لدينا. دعونا نفترض أننا سنعوض هنا. وسنجد بذلك أن نقطة التقاطع مع الجزء المقطوع من المحور ﺹ، والتي سنسميها ﺹ واحد، تساوي سالب ثلث في سالب ٣٣ على ١٠. وهذا يعطينا موجب ١١ على ١٠. والآن، بعد أن عرفنا قيمتي الإحداثيين ﺱ وﺹ لنقطة التقاطع، أصبحنا قريبين من إيجاد هذا الطول ﻝ.
كما نرى، ﻝ يساوي المسافة المستقيمة الممتدة من نقطة التقاطع إلى نقطة الأصل. بعبارة أخرى، إننا نريد حساب المسافة ﻑ. وبشكل عام، تعطى المسافة بين نقطتين في المستوى ﺱﺹ ولهما الإحداثيات ﺱ واحد، ﺹ واحد وﺱ اثنان وﺹ اثنان بواسطة التعبير الموضح هنا. في المثال لدينا، هاتان النقطتان هما نقطة الأصل، التي إحداثياتها صفر، صفر، ونقطة التقاطع. وبما أن المسافة التي نريد إيجادها تسمى ﻝ، يمكننا قول إن ﻝ يساوي الجذر التربيعي للكمية سالب ٣٣ على ١٠ ناقص صفر تربيع زائد الكمية ١١ على ١٠ ناقص صفر تربيع. ويمكننا تبسيط ذلك إلى هذا المقدار.
بتربيع سالب ٣٣ على ١٠، نحصل على ١٠٨٩ على ١٠٠، وبتربيع ١١ على ١٠ نحصل على ١٢١ على ١٠٠. وبما أن واحدًا على مائة هو عامل مشترك بين هذين الحدين، و١٠٠ يساوي ١٠ تربيع، يمكننا أخذ واحد على ١٠ عاملًا مشتركًا. وإذا جمعنا ١٠٨٩ و١٢١، فسنحصل على ١٢١٠. يمكننا هنا ملاحظة أن ١٢١٠ يساوي ١٢١ في ١٠ باعتبارها قيمة حسابية. وبما أن ١٢١ يساوي ١١ تربيع، يمكننا تبسيط هذا الناتج أكثر ليصبح لدينا ١١ على ١٠ في الجذر التربيعي لـ ١٠. وهذا يساوي طول ﻝ. علينا تذكر أن هذا الطول يقاس بوحدة المتر.
يمكننا إذن قول إن البعد العمودي بين خط عمل القوة ونقطة الأصل يساوي ١١ على ١٠ في الجذر التربيعي لـ ١٠ متر. بمعلومية ﻝ، يمكننا الحل لإيجاد العزم الناتج عن هذه القوة حول نقطة الأصل. معيار العزم يساوي مقدار القوة ﻕ في ﻝ. مقدار القوة ﻕ يساوي الجذر التربيعي للمركبة ﺱ تربيع زائد المركبة ﺹ تربيع. أربعة تربيع يساوي ١٦ و١٢ تربيع يساوي ١٤٤. وإذا جمعنا العددين معًا، فسنحصل على ١٦٠.
ومع ذلك، يمكننا كتابة ١٦٠ في صورة ١٦ في ١٠. ونحن نعلم أن ١٦ يساوي أربعة في أربعة. إذن، يمكننا كتابة معيار العزم على الصورة أربعة في الجذر التربيعي لـ ١٠ مضروبًا في ١١ على ١٠ في الجذر التربيعي لـ ١٠. لكن الجذر التربيعي لـ ١٠ في الجذر التربيعي لـ ١٠ يساوي ١٠. ومن ثم، إذا قسمنا ذلك على ١٠، فسيتبقى لدينا واحد. وبهذا، نجد أن هذا المقدار بالكامل يساوي أربعة في ١١ أو ٤٤. وبالنسبة إلى الوحدات، نلاحظ أن وحدة القوة هي النيوتن، ووحدة المسافة هي المتر. هذا يعني أن معيار ﺝﻭ يساوي ٤٤ نيوتن متر.
لكن علينا ملاحظة أن ﺝﻭ الموجود في نص المسألة، والذي نريد إيجاد قيمته، هو عبارة عن متجه. لقد أوجدنا معياره، لكن علينا معرفة اتجاهه أيضًا. ولمعرفة ذلك، دعونا نعد إلى الرسم. نحن نعلم أن القوة ﻕ تؤثر على امتداد هذا الخط في هذا الاتجاه. ويمكننا هنا ملاحظة أن هذه القوة ستنتج عزمًا في اتجاه دوران عقارب الساعة حول نقطة الأصل. ولمعرفة اتجاه هذا العزم، يمكننا أن نتخيل أن هناك مسمارًا يميني الدوران عند نقطة الأصل، بحيث يكون رأس المسمار موجهًا لأعلى باتجاهنا إلى خارج الشاشة. اتجاه العزم ﺝ سيكون نفس اتجاه دوران المسمار؛ أي في اتجاه دوران عقارب الساعة.
وإذا أدرنا مسمارًا يميني الدوران في اتجاه دوران عقارب الساعة، فسنجد أنه، من هذا المنظور، يتحرك إلى داخل الشاشة. والسؤال هنا هو: في أي اتجاه تكون هذه الحركة؟ دعونا نتذكر أن الجزء الموجب من المحور ﺱ يشير إلى اليمين، والجزء الموجب من المحور ﺹ يشير رأسيًّا لأعلى. إذن، في النظام الإحداثي الذي يتبع قاعدة اليد اليمنى، إذا أضفنا المحور ﻉ، فسيكون اتجاه الجزء الموجب من المحور ﻉ إلى خارج الشاشة، أي باتجاهنا، وبهذا نعلم أن التحرك إلى داخل الشاشة، أي اتجاه حركة المسمار عند تدويره في نفس اتجاه دوران عقارب الساعة، سيكون في اتجاه الجزء السالب من المحور ﻉ. وهذا، كما قلنا، هو الاتجاه الحقيقي للعزم ﺝﻭ.
إذن، عند كتابة العزم ﺝﻭ على أنه متجه له معيار واتجاه، يمكننا قول إن له معيارًا يساوي ٤٤ نيوتن متر في اتجاه الجزء السالب من المحور ﻉ؛ أي في اتجاه ﻉ. وبذلك نكون قد أجبنا عن جزأي السؤال. العزم ﺝﻭ هو متجه يساوي سالب ٤٤ﻉ نيوتن متر، والبعد العمودي بين خط عمل القوة ونقطة الأصل ﻝ يساوي ١١ على ١٠ مضروبًا في الجذر التربيعي لـ ١٠ متر.
