تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

فيديو السؤال: إيجاد مجموعة حل المعادلات اللوغاريتمية في مجموعة الأعداد الحقيقية الرياضيات

أوجد مجموعة حل لوغاريتم_٢ ﺱ + ٩ لوغاريتم_ﺱ ٢ = ٦ في ﺡ.

٠٣:٣٨

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد مجموعة حل لوغاريتم ﺱ للأساس اثنين زائد تسعة لوغاريتم اثنين للأساس ﺱ يساوي ستة في مجموعة الأعداد الحقيقية، ﺡ.

لدينا معادلة. ونبحث عن قيم ﺱ الحقيقية التي تحقق هذه المعادلة. تكمن الصعوبة هنا في اختلاف أساسي اللوغاريتمين. ففي حين ﺱ هو سعة أو مدخل اللوغاريتم الأول بالأساس اثنين، فإنه أيضًا أساس اللوغاريتم الثاني.

من الأفضل أن يكون اللوغاريتمان بالأساس نفسه. وذلك سواء أكنا سنكتب هذا اللوغاريتم في صورة لوغاريتم للأساس ﺱ أم كنا سنكتبه في صورة لوغاريتم للأساس اثنين.

وبما أننا نفضل أن يكون لدينا معادلة بلوغاريتم للأساس اثنين في النهاية، فسنكتب لوغاريتم اثنين للأساس ﺱ في صورة لوغاريتم للأساس اثنين. سنغير أساس هذا اللوغاريتم. إذن سنحتاج إلى تغيير صيغة الأساس؛ أي أن لوغاريتم ﺱ للأساس ﺏ يساوي لوغاريتم ﺱ للأساس ﺃ على لوغاريتم ﺏ للأساس ﺃ لأي قيمة لـ ﺃ.

علينا تغيير أساس لوغاريتم اثنين للأساس ﺱ. من المثير للارتباك أن قيمة ﺱ هي اثنان أيضًا. وبالتالي في البسط، سيكون لدينا لوغاريتم اثنين للأساس ﺃ، بينما قيمة ﺏ هي ﺱ. أما في المقام، فسيكون لدينا لوغاريتم ﺱ للأساس ﺃ. لدينا الآن حرية اختيار قيمة ﺃ لأن هذه المعادلة تنطبق على جميع قيم ﺃ.

نختار أن نجعل ﺃ يساوي اثنين لأننا نريد كتابة هذا الحد في صورة لوغاريتم للأساس اثنين حتى يطابق اللوغاريتم الآخر في المعادلة. بعد أن جعلنا ﺃ يساوي اثنين، نلاحظ أن البسط هو لوغاريتم اثنين للأساس اثنين، أي واحد. لوغاريتم أي أساس للأساس نفسه يساوي واحدًا.

وبهذا تكون لدينا معلومة أن لوغاريتم اثنين للأساس ﺱ يساوي واحدًا على لوغاريتم ﺱ للأساس اثنين. تمكنا من إعادة كتابة لوغاريتم اثنين للأساس ﺱ في صورة لوغاريتم للأساس اثنين. والآن علينا التعويض بهذا المقدار في المعادلة.

بالقيام بذلك، نحصل على المعادلة. بضرب طرفي المعادلة في لوغاريتم ﺱ للأساس اثنين، سنحصل على المعادلة التربيعية في لوغاريتم ﺱ للأساس اثنين. بطرح ستة لوغاريتم ﺱ للأساس اثنين من الطرفين، نحصل على هذه المعادلة التربيعية بالصيغة القياسية المعتادة.

يمكننا تحليل هذه المعادلة التربيعية بالطريقة العادية. ربما تشعر بالراحة أكثر إذا أدخلت المتغير ﺹ ليمثل لوغاريتم ﺱ للأساس اثنين ثم قمت بالتحليل. عند العودة إلى كتابة القيم في صورة لوغاريتم ﺱ للأساس اثنين، بدلًا من ﺹ، ستحصل على المعادلة التي لدينا بالفعل.

على أي حال القيمة الوحيدة الممكنة لـ ﺹ أو لوغاريتم ﺱ للأساس اثنين هي ثلاثة. نرفع الطرفين كقوة للعدد اثنين. ونستخدم حقيقة أن اثنين أس لوغاريتم ﺱ للأساس اثنين يساوي ﺱ. وفي الواقع هذا صحيح لأي أساس ﺃ، وليس الاثنين فقط. نجد أن ﺱ يساوي اثنين أس ثلاثة أو يساوي ثمانية.

وبما أننا نبحث عن مجموعة حل المعادلة وليس فقط حلول المعادلة، فإنه علينا أن نضع الحل وهو ثمانية في مجموعة لنحصل على الإجابة النهائية. مجموعة حل لوغاريتم ﺱ للأساس اثنين زائد تسعة لوغاريتم اثنين للأساس ﺱ يساوي ستة في مجموعة الأعداد الحقيقية هي مجموعة الثمانية.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.