فيديو: إيجاد مجموعة حل المعادلات اللوغاريتمية في مجموعة الأعداد الحقيقية

أوجد مجموعة حل ‪log₂ 𝑥 + 9 log_𝑥 2 = 6‬‏ في ‪ℝ‬‏.

٠٣:٢٣

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد مجموعة حل log 𝑥 للأساس اثنين زائد تسعة log اثنين للأساس 𝑥 يساوي ستة في مجموعة الأعداد الحقيقية، 𝑅.

لدينا معادلة. ونبحث عن قيم 𝑥 الحقيقية التي تحقق هذه المعادلة. تكمن الصعوبة هنا في اختلاف أساسي اللوغاريتمين. ففي حين 𝑥 هو سعة أو مدخل اللوغاريتم الأول بالأساس اثنين، فإنه أيضًا أساس اللوغاريتم الثاني.

من الأفضل أن يكون اللوغاريتمان بالأساس نفسه. وذلك سواء أكنا سنكتب هذا اللوغاريتم في صورة لوغاريتم للأساس 𝑥 أم كنا سنكتبه في صورة لوغاريتم للأساس اثنين.

وبما أننا نفضل أن يكون لدينا معادلة بلوغاريتم للأساس اثنين في النهاية، فسنكتب لوغاريتم اثنين للأساس 𝑥 في صورة لوغاريتم للأساس اثنين. سنغير أساس هذا اللوغاريتم. إذن سنحتاج إلى تغيير صيغة الأساس؛ أي أن log 𝑥 للأساس 𝑏 يساوي log 𝑥 للأساس 𝑎 على log 𝑏 للأساس 𝑎 لأي قيمة لـ 𝑎.

علينا تغيير أساس log اثنين للأساس 𝑥. من المثير للارتباك أن قيمة 𝑥 هي اثنان أيضًا. وبالتالي في البسط، سيكون لدينا log اثنين للأساس 𝑎، بينما قيمة 𝑏 هي 𝑥. أما في المقام، فسيكون لدينا log 𝑥 للأساس 𝑎. لدينا الآن حرية اختيار قيمة 𝑎 لأن هذه المعادلة تنطبق على جميع قيم 𝑎.

نختار أن نجعل 𝑎 يساوي اثنين لأننا نريد كتابة هذا الحد في صورة log للأساس اثنين حتى يطابق اللوغاريتم الآخر في المعادلة. بعد أن جعلنا 𝑎 يساوي اثنين، نلاحظ أن البسط هو log اثنين للأساس اثنين، أي واحد. لوغاريتم أي أساس للأساس نفسه يساوي واحدًا.

وبهذا تكون لدينا معلومة أن log اثنين للأساس 𝑥 يساوي واحدًا على log 𝑥 للأساس اثنين. تمكنا من إعادة كتابة log اثنين للأساس 𝑥 في صورة log للأساس اثنين. والآن علينا التعويض بهذا المقدار في المعادلة.

بالقيام بذلك، نحصل على المعادلة. بضرب طرفي المعادلة في log 𝑥 للأساس اثنين، سنحصل على المعادلة التربيعية في log 𝑥 للأساس اثنين. بطرح ستة log 𝑥 للأساس اثنين من الطرفين، نحصل على هذه المعادلة التربيعية بالصيغة القياسية المعتادة.

يمكننا تحليل هذه المعادلة التربيعية بالطريقة العادية. ربما تشعر بالراحة أكثر إذا أدخلت المتغير 𝑦 ليمثل log 𝑥 للأساس اثنين ثم قمت بالتحليل. عند العودة إلى كتابة القيم في صورة log 𝑥 للأساس اثنين، بدلًا من 𝑦، ستحصل على المعادلة التي لدينا بالفعل.

على أي حال القيمة الوحيدة الممكنة لـ 𝑦 أو log 𝑥 للأساس اثنين هي ثلاثة. نرفع اثنين للقوة الأسية للطرفين. ونستخدم حقيقة أن اثنين مرفوعًا للقوة الأسية log 𝑥 للأساس اثنين يساوي 𝑥. وفي الواقع هذا صحيح لأي أساس 𝑎، وليس الاثنين فقط. نجد أن 𝑥 يساوي اثنين مرفوعًا للقوة الأسية ثلاثة أو يساوي ثمانية.

وبما أننا نبحث عن مجموعة حل المعادلة وليس فقط حلول المعادلة، فإنه علينا أن نضع الحل وهو ثمانية في مجموعة لنحصل على الإجابة النهائية. مجموعة حل log 𝑥 للأساس اثنين زائد تسعة log اثنين للأساس 𝑥 يساوي ستة في مجموعة الأعداد الحقيقية هي مجموعة الثمانية.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.