فيديو السؤال: إيجاد قيمة المشتقة عند نقطة الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

أوجد مشتقة الدالة دﺱ يساوي ﺱ تربيع عند النقطة ﺱ يساوي اثنين من المبادئ الأولى.

يطلب منا السؤال إيجاد مشتقة الدالة دﺱ يساوي ﺱ تربيع عند ﺱ يساوي اثنين من المبادئ الأولى. دعونا نبدأ باسترجاع ما نعنيه بمشتقة الدالة دﺱ عند النقطة ﺱ صفر. حسنًا، تعطى هذه المشتقة بالصيغة د شرطة ﺱ صفر يساوي النهاية عندما يقترب ﻫ من صفر لقيمة ﺩ عند ﺱ صفر زائد ﻫ ناقص قيمة ﺩ عند ﺱ صفر مقسومًا على ﻫ، إذا كانت هذه النهاية موجودة. وعرفنا من السؤال أن علينا إيجاد مشتقة الدالة دﺱ يساوي ﺱ تربيع عند ﺱ يساوي اثنين. إذن سنعوض عن ﺱ صفر باثنين.

بالتعويض عن ﺱ صفر باثنين في تعريف المشتقة لدينا، نحصل على ﺩ شرطة لاثنين يساوي النهاية عندما يقترب ﻫ من صفر لقيمة ﺩ عند اثنين زائد ﻫ ناقص قيمة ﺩ عند اثنين مقسومًا على ﻫ، بشرط أن تكون هذه النهاية موجودة. والآن، تذكر أن الدالة دﺱ تساوي ﺱ تربيع. إذن، قيمة ﺩ عند اثنين زائد ﻫ هي اثنان زائد ﻫ الكل تربيع، وقيمة ﺩ عند اثنين هي اثنان تربيع. والآن، علينا إيجاد قيمة النهاية عندما يقترب ﻫ من صفر لاثنين زائد ﻫ تربيع ناقص اثنين تربيع مقسومًا على ﻫ.

لإيجاد قيمة هذه النهاية، سنبدأ بتوزيع التربيع على القوسين. لدينا اثنان زائد ﻫ الكل تربيع، وهو ما يساوي أربعة زائد أربعة ﻫ زائد ﻫ تربيع. والآن، نريد إيجاد قيمة النهاية عندما يقترب ﻫ من صفر لأربعة زائد ﻫ زائد ﻫ تربيع ناقص أربعة مقسومًا على ﻫ. يمكننا تبسيط البسط في هذه النهاية؛ لأن أربعة ناقص أربعة يساوي صفرًا. حسنًا، نريد الآن إيجاد النهاية عندما يقترب ﻫ من صفر لأربعة ﻫ زائد ﻫ تربيع مقسومًا على ﻫ. وبما أننا نوجد قيمة النهاية عندما يقترب ﻫ من صفر، فإن ﻫ لا يساوي صفرًا. لذا، يمكننا تبسيط هذه النهاية بحذف العامل المشترك ﻫ من البسط والمقام.

سيعطينا هذا النهاية عندما يقترب ﻫ من صفر لأربعة زائد ﻫ. وهذه دالة خطية، إذن يمكننا إيجاد قيمتها بالتعويض المباشر. بالتعويض بـ ﻫ يساوي صفرًا، نحصل على أربعة زائد صفر، وهو ما يساوي أربعة. وبذلك، نكون قد أوضحنا من المبادئ الأولى للمشتقات أنه إذا كان دﺱ يساوي ﺱ تربيع، فإن ﺩ شرطة لاثنين يساوي أربعة.