فيديو السؤال: إيجاد القوة المؤثرة على بكرة عند مرور خيط يربط بين جسمين، أحدهما معلق رأسيًّا والآخر على مستوى مائل الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

ربط جسمان لهما نفس الكتلة ٧٫٤ كيلوجرامات بخيط خفيف غير مرن. يرتكز أحد الجسمين على مستوى أملس يميل على الأفقي بزاوية قياسها ٦٠ درجة. يمر الخيط عبر بكرة ملساء مثبتة أعلى المستوى، وعلق الجسم الآخر تعليقًا حرًّا رأسيًّا أسفل البكرة. أوجد القوة المؤثرة على البكرة عندما يبدأ النظام في التحرك من السكون. عجلة الجاذبية الأرضية ﺩ تساوي ٩٫٨ أمتار لكل ثانية مربعة.

القوة المؤثرة على البكرة هي محصلة قوى الشد في الخيط. هذا لأن الشد يسحب هذه النقطة من الخيط، ولكي تظل هذه النقطة ثابتة بالنسبة إلى البكرة، فلا بد أن تكون هناك قوة رد فعل من البكرة مساوية للشد في المقدار ومضادة له في الاتجاه.

في هذه الحالة، تؤثر إحدى قوتي الشد رأسيًّا لأسفل، بينما تؤثر الأخرى في اتجاه مواز للمستوى المائل. ومن ثم، القوة المحصلة الناتجة عن قوتي الشد هاتين تكافئ القوة ﻕ الموضحة هنا. زاوية ميل المستوى قياسها ٦٠ درجة. إذن، تؤثر القوى المؤثرة على البكرة والناتجة عن شد الخيط كما هو موضح. يكون الشد ثابتًا على امتداد الخيط؛ إذن، ﺵ واحد وﺵ اثنان لهما المقدار نفسه. ولإيجاد قيمة كل من ﺵ واحد وﺵ اثنين، نلاحظ أن نظام القوى هذا يكافئ نظام القوى الموضح هنا.

يمكننا إيجاد الشد الذي مقداره ﺵ؛ حيث ﺵ يساوي ﺵ واحد، وهو ما يساوي ﺵ اثنين. بتقسيم هذا الشكل إلى مثلثين قائمي الزاوية، يصبح لدينا قوتان تؤثران رأسيًّا لأسفل تساويان ﺵ مضروبًا في جتا ١٥ درجة. إذن، مقدار محصلة ﺵ واحد وﺵ اثنين يعطى بالصيغة ﻕ يساوي اثنين ﺵ مضروبًا في جتا ١٥ درجة؛ حيث ﻕ المجموع الاتجاهي لهذين المقدارين. بما أن الخيط غير مرن، يمكن إيجاد الشد في الخيط عن طريق مساواة عجلتي حركة الجسمين، ومن ثم مساواة مقداري القوتين الناتج عنهما هاتان العجلتان، حيث إن الجسمين لهما نفس الكتلة.

يوضح هذا الشكل القوى المؤثرة على الجسمين. نلاحظ من الشكل أن ﺵ ناقص ﻙﺩ جا ٦٠ درجة يساوي ﻙﺩ ناقص ﺵ. يمكن إعادة ترتيب هذه الصيغة لنحصل على اثنين ﺵ يساوي ﻙﺩ زائد ﻙﺩ جا ٦٠ درجة. ويمكن تبسيط الطرف الأيسر بعد ذلك ليصبح ﻙﺩ مضروبًا في واحد زائد جا ٦٠ درجة. بما أننا نعلم أن قوة البكرة ﻕ تساوي اثنين ﺵ مضروبًا في جتا ١٥ درجة، يمكننا التعويض بمقدار اثنين ﺵ الذي أوجدناه. ومن ثم، يصبح لدينا ﻕ تساوي ﻙﺩ مضروبًا في واحد زائد جا ٦٠ درجة مضروبًا في جتا ١٥ درجة.

بعد ذلك، يمكننا التعويض بالكتلة التي مقدارها ٧٫٤ كيلوجرامات وبعجلة الجاذبية الأرضية التي تساوي ٩٫٨ أمتار لكل ثانية مربعة. وبما أن جا ٦٠ درجة يساوي جذر ثلاثة على اثنين، نحصل على الصيغة الموضحة. بحساب ذلك على الآلة الحاسبة، نحصل على ﻕ تساوي ١٣٠٫٧١٣ وهكذا مع توالي الأرقام. وبالتقريب لأقرب منزلتين عشريتين، نجد أن القوة المؤثرة على البكرة عندما يبدأ النظام في التحرك من السكون تساوي ١٣٠٫٧١ نيوتن.