فيديو السؤال: حل معادلة مصفوفية عن طريق إيجاد معكوس المصفوفة الرياضيات

إذا كانت [−١‎، ١‎، −١‎، −١] [ﺱ، ﺹ] = [−٧‎، ٥]، فأوجد [ﺱ‎، ﺹ].

٠٦:٥٦

‏نسخة الفيديو النصية

إذا كانت المصفوفة سالب واحد، واحد، سالب واحد، سالب واحد في ﺱ، ‏ﺹ تساوي سالب سبعة، خمسة، فأوجد ﺱ، ‏ﺹ.

في الواقع، لدينا هنا نظام معادلات خطية على صورة مصفوفة. دعونا نتخيل إذن أن لدينا المعادلة المصفوفية ﺃﺱ يساوي ﺝ؛ حيث ﺃ هو المصفوفة التي رتبتها اثنان في اثنين وعناصرها سالب واحد، واحد، سالب واحد، سالب واحد. ‏ﺱ هو مصفوفة العمود ﺱ، ‏ﺹ. وﺝ هو مصفوفة العمود سالب سبعة، خمسة. يمكننا ضرب الطرفين في معكوس ﺃ بشرط أن يكون موجودًا. وهذا يعطينا معكوس ﺃ في ﺃﺱ يساوي معكوس ﺃ في ﺝ. وبالطبع، نحن نعلم أن ضرب المصفوفات ليس إبداليًّا. وعلينا إجراؤه بهذا الترتيب.

لكن بالطبع ضرب معكوس المصفوفة في المصفوفة نفسها يساوي 𝐼، وهو مصفوفة الوحدة. ومن ثم تصبح المعادلة لدينا 𝐼ﺱ يساوي معكوس ﺃ في ﺝ. لكن في الواقع، 𝐼ﺱ يساوي ﺱ لأن ضرب أي مصفوفة في مصفوفة الوحدة من الرتبة المناسبة ينتج عنه المصفوفة الأصلية. ومن ثم، يمكننا قول إن ﺱ يساوي معكوس ﺃ في ﺝ. وهذا يعطينا طريقة لحل المعادلة المصفوفية التي لدينا. سنبدأ بإيجاد معكوس المصفوفة التي رتبتها اثنان في اثنين وعناصرها سالب واحد، واحد، سالب واحد، سالب واحد، ثم سنضرب ذلك في مصفوفة العمود سالب سبعة، خمسة.

إذن، بمعلومية ﺃ التي عرفناها، كيف نحسب المعكوس؟ حسنًا، إذا كانت لدينا مصفوفة عامة رتبتها اثنان في اثنين وعناصرها ﺃ، ﺏ، ﺟ، ‏ﺩ، فإن معكوسها يساوي واحدًا على قيمة محدد المصفوفة الأصلية في المصفوفة التي عناصرها ﺩ، سالب ﺏ، سالب ﺟ، ‏ﺃ. نحن في الأساس نبدل العنصرين العلوي الأيمن والسفلي الأيسر. ثم نغير إشارتي العنصرين الآخرين. وبالطبع، قيمة محدد المصفوفة التي رتبتها اثنان في اثنين هي ﺃﺩ ناقص ﺏﺟ. نحن في الأساس نطرح حاصل ضرب العنصرين العلوي الأيسر والسفلي الأيمن من حاصل ضرب العنصرين العلوي الأيمن والسفلي الأيسر. وهذا المعكوس لن يكون موجودًا إذا كانت قيمة المحدد تساوي صفرًا. وفي هذه الحالة، نقول إن المصفوفة غير قابلة للعكس.

إذن، من المنطقي أن نبدأ بحساب قيمة محدد المصفوفة ﺃ. إنه حاصل ضرب العنصرين العلوي الأيمن والسفلي الأيسر، أي سالب واحد في سالب واحد، ناقص حاصل ضرب العنصرين العلوي الأيسر والسفلي الأيمن. ومن ثم، نطرح واحدًا في سالب واحد. سالب واحد في سالب واحد يساوي واحدًا. إذن يصبح لدينا واحد زائد واحد، وهو ما يساوي اثنين. إذن بما أن قيمة المحدد لا تساوي صفرًا، فإن معكوس ﺃ موجود، ويمكننا المتابعة إلى الخطوة التالية. سنحسب واحدًا على قيمة المحدد. هذا يعطينا واحدًا على اثنين. بعد ذلك نبدل العنصرين العلوي الأيمن والسفلي الأيسر. ونغير إشارتي العنصرين الآخرين.

نجد هنا أن معكوس ﺃ يساوي نصفًا في سالب واحد، سالب واحد، واحدًا، سالب واحد. إذن، بما أننا عرفنا أن ﺱ هو المصفوفة ﺱ، ‏ﺹ، وﺏ هو المصفوفة سالب سبعة، خمسة، فإن حل المعادلة هو نصف في المصفوفة سالب واحد، سالب واحد، واحد، سالب واحد في مصفوفة العمود سالب سبعة، خمسة. والآن، يمكننا بالطبع توزيع نصف على المصفوفة التي رتبتها اثنان في اثنين، أو يمكننا القيام بهذه الخطوة في النهاية. وفي الواقع، بما أن توزيع نصف على المصفوفة التي رتبتها اثنان في اثنين سيعطينا كسورًا كثيرة، فإننا سنقوم بهذه الخطوة في النهاية.

دعونا نفرغ بعض المساحة ونضرب المصفوفتين. نحن نضرب مصفوفة من الرتبة اثنين في واحد في مصفوفة من الرتبة اثنين في اثنين. وهذا ينتج عنه مصفوفة من الرتبة اثنين في واحد. لإيجاد العنصر الأول في هذه المصفوفة الناتجة، علينا إيجاد حاصل الضرب القياسي لعنصري الصف الأول في عنصري مصفوفة العمود، وهذا يساوي سالب واحد في سالب سبعة زائد سالب واحد في خمسة، وهو ما يساوي اثنين. دعونا نكرر هذه العملية لإيجاد العنصر التالي. هذه المرة، سنجد أنه يساوي حاصل الضرب القياسي لعنصري الصف الثاني في عنصري مصفوفة العمود.

إذن، لدينا واحد في سالب سبعة زائد سالب واحد في خمسة، وهو ما يساوي سالب ١٢. بالتعويض بذلك في المعادلة السابقة لإيجاد ﺱ، ‏ﺹ، نجد أن ﺱ، ‏ﺹ يساوي نصفًا في المصفوفة اثنين، سالب ١٢. كل ما علينا فعله الآن هو توزيع نصف على هذه المصفوفة. نصف اثنين يساوي واحدًا، ونصف سالب ١٢ يساوي سالب ستة. إذن، المصفوفة ﺱ، ‏ﺹ هي المصفوفة واحد، سالب ستة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.