فيديو السؤال: إيجاد السعة الأساسية للأعداد المركبة الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

إذا كان ﻉ يساوي جا 𝜃 ناقص ﺕ جتا 𝜃، فاحسب سعة ﻉ الأساسية؛ حيث 𝜃 عنصر في الفترة المغلقة من اليمين، والمفتوحة من اليسار من صفر إلى ‏𝜋‏ على اثنين.

لنبدأ بتذكر ما نعنيه عندما نتحدث عن السعة الأساسية لعدد ما مركب ﻉ. لنفترض أن لدينا عددًا مركبًا مكتوبًا على الصورة القطبية. وهي ﻉ يساوي ﻝ جتا 𝜃 زائد ﺕ جا 𝜃. تعرف 𝜃 بأنها سعة العدد المركب. ولكن إذا كانت 𝜃 تقع في الفترة من سالب ‏𝜋‏ إلى ‏𝜋‏، فإننا نسميها السعة الأساسية لهذا العدد المركب. والآن، على الرغم من أن العدد المركب المعطى، وهو ﻉ يساوي جا 𝜃 ناقص ﺕ جتا 𝜃، يشبه الصورة العامة نوعًا ما، فإنه لا يشبهها تمامًا. وذلك لأن الحدين جا 𝜃 وجتا 𝜃 يبدوان معكوسين. لذا، ما علينا فعله هو إيجاد طريقة للتعبير عن ﻉ في صورته القطبية الصحيحة.

لفعل ذلك، سنستخدم بعض المتطابقات المثلثية للزاويتين المتتامتين، التي تربط بين جيب الزاوية وجيب تمام الزاوية. وهما المتطابقتان: جتا 𝜃 يساوي جا ‏𝜋‏ على اثنين ناقص 𝜃، وبالمثل جا 𝜃 يساوي جتا ‏𝜋‏ على اثنين ناقص 𝜃. بالتعويض بهاتين المتطابقتين في العدد المركب، نلاحظ أننا حصلنا الآن على الجيب وجيب التمام مرتبين ترتيبًا صحيحًا. ‏ﻉ يساوي جتا ‏𝜋‏ على اثنين ناقص 𝜃 ناقص ﺕ جا ‏𝜋‏ على اثنين ناقص 𝜃. لكننا لم ننته بعد. تذكر أنه في الصورة العامة، لدينا زائد ﺕ جا 𝜃، ونحن حاليًّا نطرح ﺕ جا 𝜃. ولكن، يمكننا هنا إجراء عملية حسابية باستخدام الخواص الزوجية والفردية لدالتي جيب التمام والجيب. دالة الجيب هي دالة فردية. إذن، لجميع قيم 𝑥، فإن جا سالب 𝑥 يساوي سالب جا 𝑥. بينما دالة جيب التمام هي دالة زوجية. إذن، لجميع قيم 𝑥، فإن جتا سالب 𝑥 يساوي جتا 𝑥.

دعونا إذن نجعل سالب 𝑥 يساوي ‏𝜋‏ على اثنين ناقص 𝜃. بالاستعانة بحقيقة أن دالة جيب التمام هي دالة زوجية، يمكننا إذن كتابة جتا ‏𝜋‏ على اثنين ناقص 𝜃 على صورة جتا سالب ‏𝜋‏ على اثنين زائد 𝜃. وبالمثل، يمكننا كتابة جا ‏𝜋‏ على اثنين ناقص 𝜃 على صورة سالب جا سالب ‏𝜋‏ على اثنين زائد 𝜃. إذن، أصبح العدد المركب ﻉ يساوي: جتا سالب ‏𝜋‏ على اثنين زائد 𝜃 ناقص ﺕ في سالب جا سالب ‏𝜋‏ على اثنين زائد 𝜃. لنوزع الأقواس في الطرف الأيسر من هذا المقدار. بفعل ذلك، يصبح هذا الجزء هو: زائد ﺕ جا سالب ‏𝜋‏ على اثنين زائد 𝜃. والآن، حصلنا على مقدار يشبه تمامًا الصورة العامة للعدد المركب.

يمكننا ملاحظة أن سعته تساوي سالب ‏𝜋‏ على اثنين زائد 𝜃. ولكن، هل هذه هي السعة الأساسية؟ حسنًا، لإثبات ذلك، علينا التحقق إذا ما كان سالب ‏𝜋‏ على اثنين زائد 𝜃 يقع في الفترة من سالب ‏𝜋‏ إلى ‏𝜋‏. نحن نعلم أن 𝜃 يقع في الفترة المغلقة من اليمين والمفتوحة من اليسار من صفر إلى ‏𝜋‏ على اثنين. وهناك طريقة أخرى للتعبير عن ذلك، وهي أن 𝜃 أكبر من أو يساوي صفرًا وأصغر من ‏𝜋‏ على اثنين. إذن، ما الفترة التي يقع فيها المقدار سالب ‏𝜋‏ على اثنين زائد 𝜃؟ حسنًا، سنطرح ‏𝜋‏ على اثنين من كلا طرفي المتباينة. إذن، يصبح الطرف الأيمن هو سالب ‏𝜋‏ على اثنين، والطرف الأيسر هو صفر. ومن ثم، فإن سعة ﻉ أكبر من أو تساوي سالب ‏𝜋‏ على اثنين وأصغر من صفر.

يمكننا التعبير عن هذا بطريقة أخرى ونقول إن سعة ﻉ تقع في الفترة المغلقة من اليمين، والمفتوحة من اليسار من سالب ‏𝜋‏ على اثنين إلى صفر. في الواقع، هذه الفترة هي مجموعة جزئية من الفترة من سالب ‏𝜋‏ إلى ‏𝜋‏. إذن، وفقًا للتعريف ذاته، فإن سعة ﻉ يجب أن تكون في الواقع هي السعة الأساسية. والآن، دعونا نعد‎ ترتيب هذا المقدار، ومن ثم نكون قد حصلنا على السعة الأساسية لـ ﻉ. وهي 𝜃 ناقص ‏𝜋‏ على اثنين.