فيديو الدرس: قانون الجذب العام لنيوتن الفيزياء

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نستخدم قانون نيوتن للجاذبية لحساب قوة الجاذبية بين جسمين لهما كتلة.

١٧:٣٩

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، موضوعنا هو قانون نيوتن للجاذبية. هذا القانون هو أحد القوانين الأساسية في الفيزياء الكلاسيكية، وفيه نكتشف مبدأ عامًّا بخصوص تفاعل الأجسام ذات الكتلة بعضها مع بعض.

في زمن نيوتن، كما هو الحال بالضبط في عصرنا الحالي، كانت الأحداث المعتادة الشائعة، مثل السير في الطرق ونقل الأشياء من مكان إلى آخر، أكثر ما يسترعي انتباه الناس ويجذب اهتمامهم. وكما تشير القصة، كانت ظاهرة يومية معتادة هي التي ساعدت نيوتن على وضع قانون الجاذبية العام. فعندما رصد نيوتن حدثًا يتضمن قوة الجاذبية على سطح الأرض، ربط هذا الحدث في ذهنه بحركة النجوم والكواكب بعيدًا عن الأرض.

وكانت حجته البالغة الأهمية هي أن القوة نفسها المسئولة عن سقوط الأجسام الموجودة بالقرب من سطح الأرض على الأرض مسئولة أيضًا عن حركة النجوم والكواكب في الفضاء. يعني ذلك أن نيوتن افترض أن جميع الكتل تجذب بعضها البعض. لذا، سواء أكانت الكتلة تفاحة أو كوكب الأرض أو شخصًا أو كوكبًا آخر، فإن المبدأ نفسه ينطبق.

على وجه التحديد، تعلق افتراض نيوتن بالحالات التي توجد فيها كتلة نقطية هنا — لنسم هذه الكتلة ‪𝑚‬‏ واحد — وكتلة نقطية أخرى هنا. يمكننا أن نسمي هذه الكتلة ‪𝑚‬‏ اثنين. لنفترض أن هاتين الكتلتين النقطيتين تبعدان إحداهما عن الأخرى بمسافة ‪𝑑‬‏. في هذه الحالة، وفقًا لنيوتن، توجد قوة جذب بين هاتين الكتلتين تتناسب مع حاصل ضرب الكتلتين مقسومًا على مربع المسافة بينهما.

هذه هي الصيغة الأساسية لقانون الجاذبية لنيوتن الذي يسمى أحيانًا أيضًا قانون الجذب العام. والسبب وراء هذه التسمية هو أن هاتين الكتلتين يمكن أن تكونا أي شيء. يمكن أن نتحدث عن أي كتلتين في الكون وسينطبق القانون نفسه عليهما. طور نيوتن صيغة هذا القانون في ضوء القياسات التجريبية التي أجراها علماء آخرون. فبتحليل دقيق لهذه النتائج، توصل إلى أن علاقة التناسب هذه صحيحة. لكن قانون الجاذبية بالصورة المكتوب بها هنا ليس كاملًا تمامًا. لكي نرى السبب في ذلك، دعونا نلق نظرة على الوحدات في كلا طرفي هذه العلاقة.

نعلم أن وحدة القوة الأساسية في زمننا الحالي في النظام الدولي للوحدات هي النيوتن، وأنه يمكن كتابة وحدة النيوتن في صورة كيلوجرام متر لكل ثانية تربيع. إذن، هذه وحدات الطرف الأيسر. وفي الطرف الأيمن نرى أولًا كتلة وحدتها الكيلوجرام، ثم كتلة ثانية لها الوحدة نفسها. وهذا كله مقسوم على مسافة. لنفترض أنها بوحدة المتر المربع. إذن في الطرف الأيسر، لدينا وحدة الكيلوجرام متر لكل ثانية تربيع، بينما في الطرف الأيمن لدينا وحدة الكيلوجرام تربيع لكل متر مربع. يمكننا أن نلاحظ بوضوح أن هذه الوحدات ليست متوافقة.

طريقة حل هذا التناقض هي إدخال عامل آخر في هذه العلاقة الخاصة بالقوة. يرمز إلى هذا العامل بحرف ‪𝐺‬‏. ويعرف بثابت الجذب العام، أو يسمى اختصارًا ثابت الجذب. ووحدة هذا الثابت، ‪𝐺‬‏، هي الوحدة التي نضربها في الكيلوجرام تربيع لكل متر مربع. فنحصل في النهاية على وحدة تساوي الوحدات الموجودة في الطرف الأيسر من المعادلة، أي كيلوجرام متر لكل ثانية تربيع، أو نيوتن.

على الرغم من الصعوبة الكبيرة الكامنة في قياس ثابت الجذب العام ‪𝐺‬‏، فإن هذا الثابت قدر بأنه يساوي حوالي 6.674 في 10 أس سالب 11 متر مكعب لكل كيلوجرام ثانية تربيع. إذن، نرى أن إدخال الثابت ‪G‬‏ في المعادلة لا يؤثر فقط على الوحدات، بل يؤثر أيضًا على القيمة الكلية. وهذا له تأثير بالغ الأهمية على كيفية شعورنا بقوة الجاذبية. لكن قبل أن نتناول ذلك، هيا بنا نكتب قانون الجذب العام الجديد والمحسن.

ينص هذا القانون الذي صاغه نيوتن على أن قوة الجاذبية بين كتلتين، ‪𝑚‬‏ واحد و‪𝑚‬‏ اثنين، تساوي حاصل ضرب كتلتيهما مقسومًا على مربع المسافة بينهما، الكل مضروب في ثابت الجذب العام. ومثلما يعد قانون الجاذبية هذا قانونًا عامًّا لأنه ينطبق على أي كتلتين في أي مكان في الكون، يسمى هذا الثابت أحيانًا ثابت الجذب العام لأننا نعتقد أن قيمته ثابتة في كل مكان.

والآن، لنختبر صحة هذه المعادلة. سنفعل ذلك باستخدام الكتلتين، ‪𝑚‬‏ واحد و‪𝑚‬‏ اثنين، اللتين تفصل بينهما المسافة ‪𝑑‬‏. لكن لنتخيل أن لدينا قيمًا محددة لهاتين الكتلتين وهذه المسافة. لنفترض أن كل كتلة من الكتلتين تساوي كيلوجرامًا واحدًا، والمسافة التي تفصل بينهما تساوي مترًا واحدًا. حسنًا، في البداية، قد نتوقع أن ينتج عن ذلك قوة جذب بين هاتين الكتلتين تساوي نيوتن واحدًا. لكن هنا يظهر الدور الذي تلعبه القيمة المحددة لثابت الجذب العام.

قوة الجذب بين ‪𝑚‬‏ واحد و‪𝑚‬‏ اثنين تساوي ‪𝐺‬‏ في واحد كيلوجرام في واحد كيلوجرام مقسومًا على متر مربع. يمكننا أن نرى أنه إذا حسبنا هذا الجزء من الطرف الأيمن في المعادلة على حدة، فسنحصل على واحد كيلوجرام تربيع لكل متر مربع. لكن عندما نضرب هذا كله في قيمة ‪𝐺‬‏، نحصل على قوة بهذه القيمة بين الكتلتين اللتين تبلغ كل منهما كيلوجرامًا واحدًا. من الواضح أن هذه القوة ضئيلة جدًّا لدرجة تجعلنا لا نشعر بها إذا تعرضنا لها في حياتنا اليومية.

لكن لنفترض أن لدينا كتلتين غير هاتين الكتلتين اللتين تبلغ كل منهما كيلوجرامًا واحدًا وتفصل بينهما مسافة متر واحد. هاتان الكتلتان هما شخصان يسيران وتفصل بينهما هذه المسافة نفسها. ولتكن كتلة كل شخص منهما تساوي 100 كيلوجرام. عندما نعوض بهاتين الكتلتين الجديدتين في المعادلة لحساب القوة، كل ما علينا فعله هو تحريك العلامة العشرية أربع خانات إلى اليمين. وبالتالي، فإن قوة الجذب بين هذين الشخصين ستظل قيمة صغيرة جدًّا. والضآلة النسبية لهذه القوة عند المسافات والكتل اليومية المعتادة هي أحد الأسباب التي جعلت من قانون نيوتن هذا فكرة متعمقة مميزة.

تتعلق فكرة متعمقة أخرى لنيوتن بالاتجاه الذي تؤثر فيه قوة الجاذبية. كما رأينا، هذه القوة جاذبة دائمًا. فلا توجد كتل تتنافر بعضها عن بعض على الإطلاق بفعل الجاذبية. علاوة على ذلك، فيما يخص الأجسام ذات الكتلة التي تشغل حيزًا، مثل الشخصين السائرين هنا، يمكننا القول إن قوة الجذب تؤثر على مركز كتلة كل جسم. وهي النقطة التي يمكن أن تتركز فيها كتلة الجسم بالكامل. إذن، لنفترض أن مركزي الكتلة للشخصين يقعان هنا وهنا. في هذه الحالة، يمكننا القول إن الشخص السائر على اليمين يؤثر بقوة بهذا الشكل على السائر على اليسار. وتؤثر قوة مساوية في المقدار، لكنها معاكسة في الاتجاه، على الشخص السائر على اليمين.

لاحظ أن متجهي القوة هذين يؤثران على خط يقع بين مركزي هاتين الكتلتين. وهذا يفسر ما يحدث بغض النظر عن الموضع الذي نقف فيه على سطح الأرض. إذا تركنا جسمًا من يدنا، فسيسقط باتجاه سطح الأرض. وتميل الأجسام عند سقوطها إلى الاتجاه نحو مركز كتلة الأرض. ثمة فكرة غريبة للغاية تتعلق بهذا الأمر. تميل الأجسام الساقطة إلى الاتجاه نحو مركز الأرض. ونعلم، بناء على حركة هذه الأجسام، أن هذه الحركة ناتجة عن قوة الجاذبية بين هذه الأجسام والأرض.

لكن هذه القوة، أي قوة الجاذبية بين جسم ساقط والأرض، تؤثر على كلتا الكتلتين، أي الجسم والأرض، بالمقدار نفسه. هذا يعني أن هذا الجسم الوردي يؤثر بقوة جذب على مركز الأرض، وهذه القوة لا تساوي صفرًا. وبالمثل، يؤثر هذا الجسم البرتقالي أيضًا بقوة جذب. وهذا ما نعنيه بقولنا إن جميع الكتل تجذب بعضها البعض.

بالمناسبة، إدراك هذه الحقيقة قد ساعد نيوتن على فهم أن النجم الذي يقع في مركز مجموعتنا الشمسية، وهو الشمس، ليس ثابتًا تمامًا كما كان يعتقد سابقًا. ويرجع ذلك إلى قوة الجذب المتبادلة بين الشمس والكتل التي تدور حولها. بمعرفة كل ما سبق عن قانون الجاذبية لنيوتن، لنتدرب الآن على هذه الأفكار من خلال مثال.

يمثل كل شكل من الأشكال الآتية صخرتين في الفضاء الخارجي. ما الشكل الذي يوضح بصورة صحيحة اتجاه قوة الجاذبية المؤثرة على كل صخرة؟ (أ) أو (ب) أو (ج) أو (د) أو (هـ)؟

حسنًا، نعلم من المعطيات أن لدينا صخرتين في الفضاء الخارجي. وهذا يعني أنه لا توجد أي كتل أخرى في أي مكان بالقرب من هاتين الصخرتين. ومن هنا يمكننا افتراض أن قوة الجاذبية المؤثرة على كل صخرة تنشأ فقط بفعل الصخرة الأخرى. ولمعرفة أي من هذه الأشكال الخمسة يوضح بصورة صحيحة اتجاه القوة المؤثرة على كل صخرة، يمكننا تذكر مبدأ يتعلق بقوة الجاذبية. وهو أن قوة الجاذبية تكون جاذبة دائمًا.

هذا يعني أنه إذا كانت لدينا كتلتان، لنفترض أن إحداهما هنا والأخرى هنا، فإن قوة الجاذبية ستتسبب في جذب هذه الكتلة إلى الأخرى. كما ستؤدي إلى جذب هذه الكتلة الثانية إلى الكتلة الأولى. هذا يعني أن متجهي القوة اللذين يمكن رسمهما على كل كتلة يقعان على الخط المستقيم الواصل بين الكتلتين. وينطبق ذلك دائمًا عندما يؤثر جسمان أحدهما على الآخر بقوى الجاذبية. وتقع قوى الجاذبية هذه على طول الخط المستقيم الواصل بين مركزي كتلة الجسمين.

بالنظر إلى خيارات الإجابة، نرى الخيار (أ) يتفق مع القاعدة التي وصفناها للتو. إذا كان مركز كتلة الصخرة ذات اللون البني المائل إلى الأحمر هنا، ومركز كتلة الصخرة الصفراء هنا، فسنلاحظ أن متجهي قوة الجاذبية يقعان على طول الخط الواصل بين هاتين النقطتين. علاوة على ذلك، يؤثر متجها القوة في اتجاهين متعاكسين، وهو ما يشير إلى أن هذه القوة جاذبة. هذا يعني أن الصخرتين ستميلان إلى التحرك إحداهما باتجاه الأخرى.

قبل التأكيد على أن الخيار (أ) هو الإجابة الصحيحة، لنلق نظرة على بقية الخيارات. بالنسبة إلى الخيار (ب)، إذا رسمنا خطًّا مستقيمًا يصل بين مركزي الكتلة، فسنرى أن القوتين لا تقعان على طول هذا الخط. هذا يعني أن الخيار (ب) مستبعد. بعد ذلك، بالنظر إلى الخيار (ج)، نجد أن متجهي القوة يقعان على طول هذا الخط بالفعل. لكننا نلاحظ أن القوة المؤثرة على الصخرة ذات اللون البني المائل إلى الأحمر تتجه في الاتجاه الخطأ. والنتيجة هنا هي أن الصخرة الصفراء تتنافر بطريقة ما عن الصخرة ذات اللون البني المائل إلى الأحمر. لكننا نعلم أن الجاذبية لا تعمل بهذه الطريقة. إذن، سنشطب أيضًا الخيار (ج).

بالنظر إلى الخيار (د)، نجد أنه مستبعد لنفس سبب استبعاد الخيار (ب). فلا يقع متجها القوة على طول الخط الذي يصل بين مركزي كتلة الصخرتين. وأخيرًا، بالنسبة للخيار (هـ)، يقع المتجهان على طول هذا الخط. لكن كليهما ينتج عنه قوة تنافر، وليس قوة تجاذب. والجاذبية دائمًا قوة جاذبة. إذن، سنستبعد الخيار (هـ) أيضًا.

وهذا يؤكد تقديرنا السابق أن الشكل (أ) هو الذي يوضح اتجاه قوة الجاذبية المؤثرة على كل صخرة على نحو صحيح.

لنتناول الآن مثالًا ثانيًا.

يوجد الجسمان ‪A‬‏، و‪B‬‏ في الفضاء السحيق. المسافة بين مركزي كتلة الجسمين تساوي 20 مترًا. الجسم ‪A‬‏ كتلته 30000 كيلوجرام، والجسم ‪B‬‏ كتلته 55000 كيلوجرام. ما مقدار قوة الجاذبية بينهما؟ اعتبر 6.67 في 10 أس سالب 11 متر مكعب لكل كيلوجرام ثانية تربيع قيمة ثابت الجذب العام. أوجد الإجابة لأقرب ثلاثة أرقام معنوية.

حسنًا، في هذه الحالة لدينا الجسمان ‪A‬‏ و‪B‬‏. لنفترض أن هذين هما الجسمان ‪A‬‏ و‪B‬‏. ونعلم من المعطيات أن المسافة بين مركزي كتلة هذين الجسمين تساوي 20 مترًا. إذا كان مركز كتلة الجسم ‪A‬‏ يقع هنا، ومركز كتلة الجسم ‪B‬‏ يقع هنا، فهذا يعني أن هذه المسافة هنا تساوي 20 مترًا. وإلى جانب ذلك، نعرف من المعطيات كتلة الجسم ‪A‬‏ وكتلة الجسم ‪B‬‏، وأن هذين الجسمين يقعان في الفضاء السحيق.

الوجود في الفضاء السحيق يعني أنه لا توجد أجسام قريبة من الجسمين ‪A‬‏ و‪B‬‏. ومن ثم عند حساب مقدار قوة الجاذبية بينهما، يمكننا تجاهل أو إهمال أي كتل أو أجسام أخرى. عندما نبدأ في الحل، يمكننا تمثيل كتلة الجسم ‪A‬‏ في صورة ‪𝑚A‬‏، وكتلة الجسم ‪B‬‏ في صورة ‪𝑚B‬‏. والآن بما أننا نعرف كتلتي الجسمين، وكذلك المسافة التي تفصل بين مركزي هاتين الكتلتين، دعونا نتذكر قانون الجاذبية لنيوتن.

ينص هذا القانون على أن قوة الجاذبية بين جسمين، التي سنسميها ‪𝐹‬‏، تساوي ثابت الجذب العام ‪𝐺‬‏ مضروبًا في حاصل ضرب كتلتي هذين الجسمين. سنسميهما ‪𝑚‬‏ واحد و‪𝑚‬‏ اثنين. وذلك مقسومًا على مربع المسافة بين مركزي كتلة الجسمين، وسنسمي هذه المسافة ‪𝑟‬‏. بالنظر إلى هذه المعادلة، يمكننا أن نلاحظ أنه فيما يخص الحالة التي لدينا، نعرف كتلتي الجسمين ‪A‬‏ و‪B‬‏. ونعرف أيضًا المسافة التي تفصل بين مركزي كتلتيهما. بالإضافة إلى ذلك، نعرف من رأس المسألة قيمة معينة طلب منا استخدامها للتعويض عن ثابت الجذب العام.

الآن يمكننا البدء في حساب مقدار قوة الجاذبية بين الجسمين ‪A‬‏ و‪B‬‏. وهي تساوي القيمة المعطاة لثابت الجذب العام ‪G‬‏ في كتلة الجسم ‪A‬‏، وهي 30000 كيلوجرام، في كتلة الجسم ‪B‬‏، وهي 55000 كيلوجرام. الكل مقسوم على 20 مترًا مربعًا. لاحظ أن جميع الوحدات في هذه المعادلة هي بالفعل في صورة الوحدات الأساسية للنظام الدولي للوحدات. إذ لدينا أمتار وكيلوجرامات وثوان. هذه القوة، مقربة لأقرب ثلاثة أرقام معنوية، تساوي 2.75 في 10 أس سالب أربعة نيوتن. هذا هو مقدار قوة الجاذبية بين الجسمين ‪A‬‏ و‪B‬‏.

دعونا نلخص الآن ما تعلمناه عن قانون الجاذبية لنيوتن. بدأنا هذا الدرس بأحد استنتاجات إسحق نيوتن، وهي أن جميع الكتل تجذب بعضها البعض. إذا كانت لدينا كتلتان، ‪𝑚‬‏ واحد و‪𝑚‬‏ اثنان، فيمكننا حساب مقدار قوة الجاذبية بينهما باستخدام قانون الجاذبية لنيوتن.

لنفترض أن مركزي كتلة هذين الجسمين تفصل بينهما المسافة ‪𝑟‬‏. إذن قوة الجاذبية بين الكتلتين تساوي ثابت الجذب العام ‪𝐺‬‏ مضروبًا في حاصل ضرب قيمتي الكتلتين ‪𝑚‬‏ واحد و‪𝑚‬‏ اثنين. ذلك مقسوم على مربع المسافة بين مركزي كتلة هذين الجسمين. وأخيرًا، عرفنا أن قوة الجاذبية بين جسمين: أولًا، تكون قوة جاذبة دائمًا، وثانيًا، تؤثر دائمًا على طول الخط الواصل بين مركزي الكتلة للجسمين. هذا ملخص قانون نيوتن للجاذبية.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.