تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

فيديو السؤال: حل معادلات مثلثية تتضمن زوايا خاصة باستخدام القانون العام الرياضيات

أوجد مجموعة القيم التي تحقق المعادلة ٢ جا^٢ 𝜃 − الجذر التربيعي لـ (٢) جا 𝜃 − ٢ = ٠، إذا كان ١٨٠° ≤ 𝜃 < ٣٦٠°.

١١:١٩

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد مجموعة القيم التي تحقق المعادلة اثنان جا تربيع 𝜃 ناقص الجذر التربيعي لاثنين جا 𝜃 ناقص اثنين يساوي صفرًا، إذا كان قياس الزاوية 𝜃 أكبر من أو يساوي ١٨٠ درجة وأصغر من ٣٦٠ درجة.

أول شيء قد نلاحظه في هذا السؤال هو أن الحدود لدينا مكتوبة على صورة معادلة تربيعية. وقد يتضح لنا ذلك بشكل أفضل إذا أشرنا إلى جا 𝜃 بالحرف ﺱ، وأعدنا كتابة المعادلة لتصبح على الصورة اثنان ﺱ تربيع ناقص الجذر التربيعي لاثنين ﺱ ناقص اثنين يساوي صفرًا. إحدى الطرق التي يمكننا بها حل المعادلات التربيعية هي استخدام القانون العام. في الحالة لدينا، يمكننا استخدام هذا القانون للحل لإيجاد قيمة ﺱ أو قيمة جا 𝜃.

يستخدم القانون العام ﺃ وﺏ وﺟ لتمثيل معاملات الحدود في المعادلة. وفي هذا المثال، ﺃ يساوي اثنين، وﺏ يساوي سالب الجذر التربيعي لاثنين، وﺟ يساوي سالب اثنين. لذا، يمكننا إعادة كتابة القانون العام بالتعويض عن ﺃ باثنين، وعن ﺏ بسالب الجذر التربيعي لاثنين، وعن ﺟ بسالب اثنين. والآن، دعونا نبسط هذه المعادلة.

يمكننا أولًا حذف هاتين الإشارتين السالبتين معًا لنحصل بذلك على قيمة موجبة. بعد ذلك، يمكننا ملاحظة أن سالب الجذر التربيعي لاثنين تربيع يساوي الجذر التربيعي لاثنين في الجذر التربيعي لاثنين. وهذا يمكن تبسيطه إلى الجذر التربيعي لأربعة أو العدد الصحيح اثنين. في الخطوة التالية، يمكننا إجراء عمليتي الضرب المتبقيتين، لنجد أن الحد الأخير تحت علامة الجذر التربيعي هو موجب ١٦، وفي المقام لدينا العدد أربعة.

بتجميع كل ذلك معًا، نجد أن المعادلة لدينا تبسط إلى ما يأتي. والآن، دعونا نتناول الجذر التربيعي للحد الثاني في البسط. إذا جمعنا هذين العددين معًا، فسنجد أن هذا الحد يساوي الجذر التربيعي لـ ١٨. وعند التعامل مع الجذور التربيعية، قد يكون من المفيد تحليل المربعات الكاملة. في الحالة لدينا، يمكن كتابة ١٨ في صورة تسعة في اثنين. والعدد تسعة هو مربع كامل لثلاثة في ثلاثة.

وبما أن القوى أو الأسس تتسم بخاصية التوزيع، يمكننا أن نعيد كتابة هذا الحد ليصبح على هذه الصورة: الجذر التربيعي لتسعة في الجذر التربيعي لاثنين. الجذر التربيعي لتسعة يساوي ثلاثة. ومن ثم، يمكن تبسيط هذا إلى ثلاثة في الجذر التربيعي لاثنين. والآن، دعونا نكتب هذا الحد المبسط في المعادلة لدينا. نلاحظ هنا أن الحدين في البسط لهما عامل مشترك؛ وهو الجذر التربيعي لاثنين. وعليه، يمكننا تحليل البسط لتبسيط المعادلة أكثر.

بما أن لدينا علامة زائد أو ناقص في المعادلة، يمكننا كتابة الحلين كل على حدة. في الحل الأول، لدينا واحد زائد ثلاثة، وهو ما يساوي أربعة. يحذف العدد أربعة في كل من البسط والمقام معًا، لنجد بذلك أن ﺱ يساوي الجذر التربيعي لاثنين. في الحل الثاني، لدينا واحد ناقص ثلاثة. وهو ما يساوي سالب اثنين.

يمكننا تبسيط ذلك بقسمة بسط الكسر ومقامه على اثنين، لنجد بذلك أن الحل الثاني هو ﺱ يساوي سالب الجذر التربيعي لاثنين على اثنين. تذكر أننا استخدمنا ﺱ للإشارة إلى جا 𝜃، لذا يمكننا إعادة كتابة ذلك على الصورة جا 𝜃 يساوي الجذر التربيعي لاثنين، وجا 𝜃 يساوي سالب الجذر التربيعي لاثنين على اثنين. بجانب ذلك، دعونا نتناول طريقة أخرى يمكننا بها الوصول إلى هذا الحل عن طريق تحليل المعادلة الأصلية.

باتباع النهج المألوف، سنحلل إلى مجموعتي أقواس. إننا نعلم أنه يجب ضرب أول حدين في مجموعتي الأقواس لدينا معًا للحصول على الحد الأول في المعادلة التربيعية. وهو اثنان ﺱ تربيع. إذن، يمكننا قول إن القيمتين الصحيحتين في مجموعتي الأقواس هما اثنان ﺱ وﺱ. وبضرب ثاني حدين في مجموعتي الأقواس لدينا معًا، نحصل على الحد الأخير في المعادلة التربيعية لدينا. وهو يساوي سالب اثنين.

هناك العديد من الطرق التي يمكننا بها الحصول على سالب اثنين بضرب عددين صحيحين معًا. لكن عند اختبار هذه المجموعات، نجد أن حاصل ضرب كل منها مع الآخر لا يعطينا الحد الأوسط الصحيح بالمعادلة التربيعية لدينا؛ أي سالب الجذر التربيعي لاثنين. هذا يعني أن علينا التفكير في عددين غير صحيحين يكون حاصل ضربهما معًا يساوي سالب اثنين.

في هذه الحالة، سيكون التحليل الصحيح هو اثنان ﺱ زائد الجذر التربيعي لاثنين في ﺱ ناقص الجذر التربيعي لاثنين. والآن، بعد أن حصلنا على عاملين حاصل ضربهما معًا يساوي صفرًا، يمكننا أن نساوي كل عامل منهما بصفر لإيجاد الحل. في الحالة الأولى، لدينا اثنان ﺱ زائد الجذر التربيعي لاثنين يساوي صفرًا. وللتبسيط، يمكننا طرح الجذر التربيعي لاثنين من كلا الطرفين، ثم القسمة على اثنين. في الحل الثاني، لدينا ﺱ ناقص الجذر التربيعي لاثنين يساوي صفرًا.

وللتبسيط، يمكننا إضافة الجذر التربيعي لاثنين إلى كلا الطرفين. وهذا يعطينا ﺱ يساوي الجذر التربيعي لاثنين. مرة أخرى، تذكر أننا أشرنا إلى جا 𝜃 بالحرف ﺱ، لذا، يمكننا ملاحظة أن هذين الحلين يكافئان الحلين اللذين أوجدناهما من قبل. والجدير بالذكر أنه ليس عليك استخدام هذه الطريقة إذا كنت معتادًا على استخدام القانون العام.

سنرى الآن كيف يمكننا إيجاد قيم 𝜃. لدينا هنا الخط المستقيم ﺹ يساوي جا 𝜃 بين صفر درجة و٣٦٠ درجة. ولكي نوجد النقاط التي يكون فيها جا 𝜃 مساويًا للجذر التربيعي لاثنين، يمكننا أن نرسم خطًّا مستقيمًا آخر على التمثيل البياني عند ﺹ يساوي الجذر التربيعي لاثنين. وعند النقطة التي يتقاطع عندها هذان الخطان المستقيمان، فإن ﺹ سيساوي جا 𝜃، والذي سيساوي الجذر التربيعي لاثنين كما هو مطلوب في الحل لدينا.

يمكننا أن نرسم هذا الخط المستقيم بسهولة من خلال معرفة أن الجذر التربيعي لاثنين يساوي ١٫٤ تقريبًا لأقرب منزلة عشرية واحدة. والآن بعد أن رسمنا هذا الخط المستقيم على التمثيل البياني لدينا، يمكننا ملاحظة أنه لا توجد نقاط يتقاطع عندها الخطان المستقيمان. هذا يعني أن جا 𝜃 يساوي الجذر التربيعي لاثنين هو قيمة غير معرفة، ومن ثم يمكننا تجاهل هذا الحل.

سنركز الآن على إيجاد الحل الآخر، وسنفعل ذلك برسم خط مستقيم عند ﺹ يساوي سالب الجذر التربيعي لاثنين على اثنين. وباتباع الطريقة نفسها، ستعطينا نقاط تقاطع الخطين المستقيمين حلولًا لهذه المسألة. يمكننا أن نرسم هذا الخط بسهولة من خلال معرفة أن سالب الجذر التربيعي لاثنين على اثنين يساوي سالب ٠٫٧ لأقرب منزلة عشرية واحدة. وبالنظر إلى هذا الخط المستقيم أمامنا، نلاحظ أن لدينا نقطتي تقاطع.

يمكننا أن نفهم جيدًا ما تمثله نقطتا التقاطع هاتان باسترجاع إحدى النسب المثلثية للزوايا الخاصة. بما أننا نعلم أن جا ٤٥ درجة يساوي الجذر التربيعي لاثنين على اثنين، يمكننا تحديد موضع هذه النقطة على الخط المستقيم. يمكننا أيضًا الجمع بين هذه الحقيقة وإحدى قواعد الجيب القياسية التي تنص على أن جا 𝜃 يساوي جا ١٨٠ ناقص 𝜃. وباستخدام هذه القاعدة، يمكننا ملاحظة أن جا ٤٥ يساوي جا ١٣٥.

وبذلك، يمكننا قول إن قيمة جا ١٣٥ درجة تساوي أيضًا الجذر التربيعي لاثنين على اثنين، وهو ما يمكن ملاحظته على التمثيل البياني لدينا. دعونا الآن نتخيل أننا نزيح الخط المستقيم ﺹ يساوي جا 𝜃 بزاوية مقدارها ١٨٠ درجة في الاتجاه الموجب لـ 𝜃؛ وتحديدًا هذا الجزء من الخط المستقيم الذي يقع بين صفر درجة و١٨٠ درجة. وبهذا التحويل، تتحرك كل نقطة على الخط أيضًا بزاوية مقدارها ١٨٠ درجة في الاتجاه الموجب لـ 𝜃. هذا يعني أن نقطة التقاطع عند الزاوية ٤٥ درجة ستصبح عند الزاوية ٢٢٥ درجة، ونقطة التقاطع عند الزاوية ١٣٥ درجة ستصبح عند الزاوية ٣١٥ درجة.

حسنًا، لقد توصلنا إلى حلين. ويمكننا ملاحظة أنه نتيجة لتماثل منحنى الجيب، فإن النقطتين اللتين أوجدناهما تعطياننا قيمتين لـ 𝜃 مماثلتين لقيمتيها عند نقطتي التقاطع الأصليتين. وإذا أجرينا تحويلًا آخر وعكسنا الخط الوردي حول المحور 𝜃، فسنجد أن النقطتين باللون الأخضر تتحولان إلى نقطتي التقاطع باللون الأزرق. ويمكننا تمثيل ذلك بطريقة منهجية باستخدام هذه الصيغة: سالب جا 𝜃 يساوي جا 𝜃 زائد ١٨٠ درجة.

سنتناول النقطة عند ٤٥ درجة بوصفها مثالًا ونعوض بها في المعادلة. من هذه المعادلة، يمكننا ملاحظة أن سالب جا ٤٥ درجة يساوي جا ٢٢٥ درجة. وبما أننا نعرف قيمة جا ٤٥ درجة، يمكننا التعويض بها في المعادلة لدينا لنجد بذلك أن سالب الجذر التربيعي لاثنين على اثنين يساوي بالفعل جا ٢٢٥ درجة. وهذا يتوافق مع القيمة التي أوجدناها في التمثيل البياني. وينطبق الأمر نفسه على النقطة عند ٣١٥ درجة أيضًا.

وأخيرًا، علينا أن نضع في اعتبارنا أن السؤال يعطينا مدى لقيم 𝜃. يجب أن تكون قيمة 𝜃 أكبر من أو تساوي ١٨٠ درجة وأصغر من ٣٦٠ درجة. لقد رسمنا هذا المدى هنا على التمثيل البياني بخط متصل عند 𝜃 يساوي ١٨٠ درجة، ما يعني أن ١٨٠ درجة تقع ضمن المدى، وبخط متقطع عند 𝜃 يساوي ٣٦٠ درجة، والذي يعني أن ٣٦٠ درجة لا يقع ضمن المدى.

يمكننا هنا أن نلاحظ بوضوح أن القيمتين اللتين أوجدناهما لـ جا 𝜃 يساوي سالب الجذر التربيعي لاثنين على اثنين تقعان ضمن المدى، ومن ثم فإن كلًّا منهما حل صحيح. وبهذا، تكون مجموعة القيم التي تحقق المعادلة هي 𝜃 يساوي ٢٢٥ درجة، و𝜃 يساوي ٣١٥ درجة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.