فيديو السؤال: إيجاد معادلة المستقيم العمودي على منحنى معرف ضمنيًّا عند نقطة معطاة الرياضيات

أوجد معادلة المستقيم العمودي على المنحنى ‪4𝑦² = 𝑥⁴‬‏ عند النقطة ‪(2, −2)‬‏.

٠٤:٥٨

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد معادلة المستقيم العمودي على المنحنى أربعة ‪𝑦‬‏ تربيع يساوي ‪𝑥‬‏ أس أربعة عند النقطة اثنان، سالب اثنين.

في هذا السؤال، مطلوب منا إيجاد معادلة المستقيم العمودي على المنحنى أربعة ‪𝑦‬‏ تربيع يساوي ‪𝑥‬‏ أس أربعة عند النقطة اثنان، سالب اثنين. وبما أن السؤال يطلب منا إيجاد معادلة خط مستقيم، دعونا نبدأ بتذكر المعادلة العامة للخط المستقيم. فهي تعطى على الصورة: ‪𝑦‬‏ ناقص ‪𝑦‬‏ واحد يساوي ‪𝑚‬‏ مضروبًا في ‪𝑥‬‏ ناقص ‪𝑥‬‏ واحد؛ حيث ‪𝑚‬‏ هو ميل المستقيم، ويمر المستقيم بالنقطة ‪𝑥‬‏ واحد، ‪𝑦‬‏ واحد. وفي هذا السؤال، لدينا بالفعل نقطة يمر بها الخط المستقيم. فقد علمنا أنه يمر بالنقطة اثنان، سالب اثنين. إذن، يمكننا مساواة قيمة ‪𝑥‬‏ واحد باثنين، وقيمة ‪𝑦‬‏ واحد بسالب اثنين.

هذا يعني أن كل‪‎‬‏ ما علينا فعله لإيجاد معادلة المستقيم العمودي هو إيجاد قيمة الميل ‪𝑚‬‏. وهنا نواجه مشكلة. إذ نلاحظ أن ‪𝑦‬‏ غير معطاة على صورة دالة صريحة في المتغير ‪𝑥‬‏؛ فبدلًا من هذا، لدينا أربعة ‪𝑦‬‏ تربيع يساوي ‪𝑥‬‏ أس أربعة. إذن، لا يمكننا مباشرة إيجاد تعبير لـ ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏. سنحتاج إلى استخدام طريقة مختلفة. توجد عدة خيارات مختلفة يمكننا استخدامها هنا. تتمثل إحدى الطرق في إعادة ترتيب معادلة المنحنى لتكون ‪𝑦‬‏ على صورة دالة في المتغير ‪𝑥‬‏. يمكننا البدء بقسمة كلا طرفي المعادلة على أربعة. هذا يعطينا ‪𝑦‬‏ تربيع يساوي ‪𝑥‬‏ أس أربعة على أربعة. إننا نريد إعادة ترتيب هذه المعادلة لنحصل على ‪𝑦‬‏ على صورة دالة في المتغير ‪𝑥‬‏، لذا سنأخذ الجذر التربيعي لطرفي هذه المعادلة.

لكن علينا الانتباه هنا. تذكر أننا سنحصل على جذر تربيعي موجب وسالب. فهذا يعطينا ‪𝑦‬‏ يساوي موجب أو سالب الجذر التربيعي لـ ‪𝑥‬‏ أس أربعة على أربعة. قد نقلق حيال هذا الأمر، لأننا لا نعرف كيفية اشتقاق تعبير له إشارة موجبة وإشارة سالبة. لكننا نريد إيجاد معادلة المستقيم العمودي على المنحنى عند النقطة اثنان، سالب اثنين. ولفعل ذلك، كل ما علينا معرفته هو ميل المنحنى عند النقطة اثنان، سالب اثنين. وعند هذه النقطة، يمكننا ملاحظة أن الإحداثي ‪𝑦‬‏ يساوي سالب اثنين. وهذا يعني أن علينا أخذ الجذر التربيعي السالب. إذن عند هذه النقطة، لا بد أن يكون لدينا ‪𝑦‬‏ يساوي سالب الجذر التربيعي لـ ‪𝑥‬‏ أس أربعة على أربعة.

وبالطبع، يمكننا تبسيط ذلك بإيجاد قيمة الجذر التربيعي للبسط والمقام. وهذا يعطينا ‪𝑦‬‏ يساوي سالب ‪𝑥‬‏ تربيع على اثنين. تجدر الإشارة إلى أن هذا لا يكون صحيحًا إلا إذا كانت قيم ‪𝑦‬‏ أصغر من أو تساوي صفرًا، وهو ما ينطبق على النقطة التي تعنينا. والآن، علينا أن نتذكر كيف نوجد ميل المستقيم العمودي على منحنى عند نقطة ما. حسنًا، المستقيم العمودي على المنحنى عند هذه النقطة لا بد أن يكون عموديًّا على المستقيم المماس للمنحنى عند النقطة نفسها. إذن، بدلًا من إيجاد قيمة ميل المستقيم العمودي مباشرة، دعونا نوجد ميل المستقيم المماس عند هذه النقطة.

يمكننا أن نتذكر أنه لإيجاد ميل المستقيم المماس لمنحنى عند نقطة ما، علينا إيجاد تعبير لـ ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏. ولذلك، علينا اشتقاق معادلة المنحنى بالنسبة إلى ‪𝑥‬‏. نحصل إذن على ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏ يساوي مشتقة سالب ‪𝑥‬‏ تربيع على اثنين بالنسبة إلى ‪𝑥‬‏. ويمكننا إيجاد قيمة مشتقة هذا التعبير باستخدام قاعدة القوة للاشتقاق. علينا الضرب في أس ‪𝑥‬‏، ثم طرح واحد من هذا الأس. وهذا يعطينا سالب اثنين ‪𝑥‬‏ أس واحد على اثنين. ويمكننا تبسيط ذلك ليعطينا سالب ‪𝑥‬‏ فقط.

والآن، علينا التعويض بالقيمة ‪𝑥‬‏ يساوي اثنين في هذا التعبير. وبذلك، نجد أن ميل المستقيم المماس للمنحنى أربعة ‪𝑦‬‏ تربيع يساوي ‪𝑥‬‏ أس أربعة عند النقطة اثنان، سالب اثنين يساوي سالب اثنين. ولكن، تذكر أننا لا نبحث عن ميل المستقيم المماس عند هذه النقطة. بل نريد إيجاد ميل المستقيم العمودي عند هذه النقطة. ولفعل ذلك، علينا فقط أن نتذكر أنه لإيجاد ميل المستقيم العمودي على منحنى عند نقطة بمعلومية ميل المستقيم المماس له، فإننا نأخذ سالب مقلوب هذه القيمة. بعبارة أخرى، ميل المستقيم العمودي سيكون سالب واحد مقسومًا على سالب اثنين. يمكننا حساب قيمة ذلك؛ إنها تساوي نصفًا.

هناك بعض الأمور التي تجدر الإشارة إليها هنا. أولًا، لو كان ميل المستقيم المماس يساوي صفرًا، لما تمكنا من استخدام هذه الصيغة لإيجاد ميل المستقيم العمودي. وفي هذه الحالة، إذا كان ميل المستقيم المماس يساوي صفرًا، فهذا يعني أن المماس أفقي. وإذا كان المستقيم المماس أفقيًّا، فلكي يكون المستقيم العمودي متعامدًا عليه، يجب أن يكون رأسيًّا. يمكننا بعد ذلك استخدام هذا لإيجاد معادلة المستقيم العمودي. في الواقع، يمكننا قول شيء مشابه في الاتجاه المعاكس. إذا كان المستقيم المماس رأسيًّا، فإننا نعلم أيضًا أن المستقيم العمودي يجب أن يكون أفقيًّا. لكن الأمر ليس كذلك في هذا السؤال.

كل ما علينا فعله الآن هو التعويض بقيمة كل من ‪𝑥‬‏ واحد، و‪𝑦‬‏ واحد، والميل ‪𝑚‬‏ في معادلة الخط المستقيم. بالتعويض بـ ‪𝑥‬‏ واحد يساوي اثنين، و‪𝑦‬‏ واحد يساوي سالب اثنين، و‪𝑚‬‏ يساوي نصفًا في معادلة الخط المستقيم، نجد أن ‪𝑦‬‏ ناقص سالب اثنين يساوي نصفًا مضروبًا في ‪𝑥‬‏ ناقص اثنين هو معادلة المستقيم العمودي. ويمكننا تبسيط هذا التعبير. أولًا، في الطرف الأيسر من المعادلة، طرح سالب اثنين يماثل جمع العدد اثنين. وفي الطرف الأيمن من المعادلة، نوزع نصفًا على ما بداخل القوسين. هذا يعطينا ‪𝑥‬‏ على اثنين ناقص واحد. آخر ما سنفعله هو طرح اثنين من كلا طرفي المعادلة. وهذا يعطينا الإجابة النهائية، وهي ‪𝑦‬‏ يساوي ‪𝑥‬‏ على اثنين ناقص ثلاثة.

وبذلك، نكون قد تمكنا من إيجاد معادلة المستقيم العمودي على المنحنى أربعة ‪𝑦‬‏ تربيع يساوي ‪𝑥‬‏ أس أربعة عند النقطة اثنان، سالب اثنين. فقد تمكنا من توضيح أن معادلته هي ‪𝑦‬‏ يساوي ‪𝑥‬‏ على اثنين ناقص ثلاثة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.