فيديو الدرس: أساسيات المعادلات التفاضلية الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سنتعرف على أساسيات المعادلات التفاضلية. في البداية، سنلقي نظرة على تعريف المعادلات التفاضلية وكيف تظهر في المسائل الواقعية في مجالي الرياضيات والفيزياء. وسنتعرف على المصطلحات المرتبطة بالمعادلات التفاضلية. وفي سياق الأمثلة، سنتعلم كيف نصنف المعادلات التفاضلية حسب نوعها ورتبتها.

لنبدأ إذن بمناقشة تعريف المعادلة التفاضلية. حسنًا، المعادلة التفاضلية هي معادلة تتضمن دالة ومشتقة واحدة أو أكثر من مشتقاتها بالنسبة إلى متغير مستقل. على سبيل المثال، المعادلة ﺩﺹ على ﺩﺱ زائد ﺹ يساوي ثلاثة ﺱ هي معادلة تفاضلية. هنا، ﺹ هي الدالة التي تعنينا. وهي دالة في المتغير المستقل ﺱ، والمعادلة تتضمن المشتقة الأولى لـ ﺹ بالنسبة إلى ﺱ.

وتوجد معادلات تفاضلية أخرى أكثر تعقيدًا. على سبيل المثال، المعادلة ﺩ اثنين ﺹ على ﺩﺱ تربيع زائد أربعة ﺹ مضروبًا في ﺩﺹ على ﺩﺱ الكل تربيع زائد ثلاثة ﺹ يساوي جا ﺱ. لا تتضمن هذه المعادلة التفاضلية مشتقة أولى — وهي ﺩﺹ على ﺩﺱ الكل تربيع — فقط، وإنما تشمل أيضًا مشتقة ثانية لـ ﺹ بالنسبة إلى ﺱ، وهي ﺩ اثنين ﺹ على ﺩﺱ تربيع. إذن، لدينا معادلة تحتوي على الدالة ﺹ، ومشتقتها الأولى ﺩﺹ على ﺩﺱ، وكذلك مشتقتها الثانية ﺩ اثنين ﺹ على ﺩﺱ تربيع.

يعرف المثال الأول من هذين المثالين بأنه معادلة تفاضلية من الرتبة الأولى لأن المشتقة التي لها أعلى رتبة في المعادلة هي مشتقة أولى، المشتقة الأولى لـ ﺹ بالنسبة إلى ﺱ، وهي ﺩﺹ على ﺩﺱ. ويعرف المثال الثاني بأنه معادلة تفاضلية من الرتبة الثانية، لأن المشتقة التي لها أعلى رتبة في المعادلة هي مشتقة ثانية، وهي ﺩ اثنين ﺹ على ﺩﺱ تربيع. بشكل أعم، يمكن تصنيف المعادلات التفاضلية وفقًا للمشتقة الأعلى رتبة التي تتضمنها المعادلة. إذن، فالمعادلة التفاضلية التي فيها المشتقة الأعلى رتبة هي مشتقة من الرتبة ﻥ تصنف على أنها معادلة تفاضلية من الرتبة ﻥ.

تظهر أمثلة المعادلات التفاضلية في العديد من المسائل الواقعية. ومن الأمثلة على ذلك النمو السكاني البسيط الذي يتناسب فيه معدل زيادة السكان ﺱ مع عدد السكان نفسه. ويمكن تمثيل ذلك بالمعادلة التفاضلية ﺩﺱ على ﺩﻥ يساوي ﻙﺱ. في هذه المعادلة، يمثل ﻥ الزمن، بينما يطلق على ﻙ ثابت التناسب.

في الواقع، معرفة كيفية حل معادلة تفاضلية من هذا النوع تتجاوز نطاق هذا الفيديو. لكن في الحقيقة، إذا كان معطى في المسألة الشرط الابتدائي حيث عدد السكان عند الزمن صفر يساوي قيمة معينة هي ﺱ صفر، فيمكن توضيح أن حل هذه المعادلة التفاضلية سيكون أن عدد السكان عند الزمن ﻥ يساوي ﺱ صفر مضروبًا في ﻫ أس ﻙﻥ. وهو ما يعني أن عدد السكان ينمو بصورة أسية.

لحل معادلة تفاضلية في العموم، نحتاج إلى إيجاد مقدار يعبر عن المتغير التابع، وهو في هذه الحالة ﺱ، بدلالة المتغير المستقل، والذي سيكون ﻥ في هذه الحالة. ويكون الحل هو دالة بحيث تحقق هذه الدالة ومشتقاتها المعادلة التفاضلية. بصفة عامة، عند حل معادلة تفاضلية، لا نحصل على حل وحيد ولكن مجموعة من الحلول، كل منها يحقق المعادلة التفاضلية ولكنها تختلف عن بعضها البعض في قيم الثوابت.

إذا كان لدينا أيضًا المزيد من المعلومات، مثل في هذه المسألة التي أعطتنا قيمة عدد السكان عند الزمن صفر، فيمكننا إيجاد قيم هذه الثوابت ومن ثم نحصل على حل معين للمعادلة التفاضلية. تعرف هذه المعلومات الإضافية أيضًا باسم الشرط الحدي، أو أحيانًا الشرط الابتدائي إذا كانت تحدد قيمة الدالة عندما تساوي قيمة المتغير المستقل صفرًا.

ومع ذلك، فإن حل المعادلات التفاضلية ليس محور تركيز هذا الفيديو. وإنما ما نركز عليه هو فهم هذه المعادلات وتصنيفها. لكننا سنتناول مثالًا على كيفية التأكد مما إذا كانت الدالة المعطاة تحقق معادلة تفاضلية بالفعل.

هل الدالة ﺹ يساوي واحد على اثنين زائد ﺱ حل للمعادلة التفاضلية ﺹ شرطة يساوي سالب ﺹ تربيع؟

تذكر أن ﺹ شرطة هي طريقة أخرى للتعبير عن ﺩﺹ على ﺩﺱ، وهي المشتقة الأولى لـ ﺹ بالنسبة إلى ﺱ. إذن، معطى لدينا معادلة تفاضلية من الرتبة الأولى، ونريد معرفة إذا ما كانت الدالة المعطاة ﺹ تمثل حلًّا لها. بعبارة أخرى، نريد معرفة إذا ما كانت الدالة ﺹ تحقق هذه المعادلة.

لنبدأ أولًا بإيجاد قيمة ﺹ شرطة، أو ﺩﺹ على ﺩﺱ، لهذه الدالة ﺹ. للقيام بذلك، يمكننا أولًا التعبير عن ﺹ بصورة بديلة. فيمكننا كتابتها على الصورة اثنان زائد ﺱ أس سالب واحد. يمكننا، بعد ذلك، إيجاد هذه المشتقة باستخدام قاعدة القوى العامة، التي تنص على أنه إذا كان لدينا دالة ﺩﺱ أس ﻥ، فإن مشتقتها بالنسبة لـ ﺱ تساوي ﻥ مضروبًا في ﺩ شرطة ﺱ مضروبًا في ﺩﺱ أس ﻥ ناقص واحد.

في هذه الحالة، الدالة ﺩﺱ هي اثنان زائد ﺱ، والقوة ﻥ تساوي سالب واحد. إذن بتطبيق قاعدة القوى العامة، يصبح لدينا ﻥ، الذي يساوي سالب واحد، مضروبًا في مشتقة اثنين زائد ﺱ، التي تساوي واحدًا، مضروبًا في ﺩﺱ. وهو ما يساوي اثنين زائد ﺱأس ﻥ ناقص واحد. وهذا يساوي أس سالب اثنين. يمكننا إعادة كتابة ذلك على الصورة سالب واحد على اثنين زائد ﺱ الكل تربيع. صرنا نعرف بذلك الطرف الأيسر لهذه المعادلة التفاضلية للدالة ﺹ.

أما في الطرف الأيمن، فلدينا سالب ﺹ تربيع. وهو الدالة الأصلية ﺹ تربيع مضروبًا في سالب واحد، وهو ما يساوي سالب واحد على اثنين زائد ﺱ الكل تربيع. لتربيع كسر، يمكننا تربيع البسط وتربيع المقام. وبالتالي يكون لدينا سالب واحد تربيع، وهو ما يساوي واحدًا، على اثنين زائد ﺱ الكل تربيع.

والآن، لنقارن مقداري ﺹ شرطة وسالب ﺹ تربيع. نلاحظ أن كليهما يساوي سالب واحد على اثنين زائد ﺱ الكل تربيع. ومن ثم فهما بالفعل متساويان. هذا يخبرنا أن الدالة ﺹ يساوي واحد على اثنين زائد ﺱ تحقق بالفعل المعادلة التفاضلية المعطاة، وبناء على ذلك، فهي حل لها.

سنتناول الآن بعض الأمثلة الأخرى للتعرف على المصطلحات المطلوبة لوصف الأنواع العديدة المتنوعة الأخرى من المعادلات التفاضلية التي قد نتعرض لها.

حدد رتبة المعادلة التفاضلية التالية: ﺩ اثنين ﺹ على ﺩﺱ تربيع الكل تكعيب ناقص ﺹ ثلاث شرط أس أربعة زائد ﺱ يساوي صفرًا.

نتذكر أولًا أن رتبة أي معادلة تفاضلية هي رتبة المشتقة الأعلى رتبة التي تتضمنها هذه المعادلة. ويمكننا أن نلاحظ سريعًا أن هذه المعادلة التفاضلية تتضمن مشتقة ثانية، وهي ﺩ اثنين ﺹ على ﺩﺱ تربيع. لكننا إذا نظرنا عن كثب، فسنجد أن المعادلة تحتوي أيضًا على ﺹ ثلاث شرط، وهي الصيغة البديلة للمشتقة الثالثة. ومن ثم، فإن أعلى رتبة للمشتقات في المعادلة هي ثلاثة. وبالتالي رتبة هذه المعادلة التفاضلية هي ثلاثة.

لكن لا تدع القوى تخدعك هنا. أقصد هنا القوة ثلاثة للمشتقة الثانية والقوة أربعة للمشتقة الثالثة. فرتبة المعادلة التفاضلية ليست أعلى قوة للمتغير أو أي من مشتقاته التي تظهر في المعادلة. لكنها رتبة المشتقة الأعلى رتبة في المعادلة. إذن، فالقوة ثلاثة للحد الأول والقوة أربعة للحد الثاني لا علاقة لهما على الإطلاق بتحديد رتبة المعادلة التفاضلية.

في المثال التالي، سنتعرف على الفرق بين المعادلات التفاضلية الخطية وغير الخطية.

هل المعادلة التفاضلية ﺩﺹ على ﺩﺱ زائد ﺱ جذر ﺹ يساوي ﺱ تربيع خطية؟

المعادلة التفاضلية الخطية هي معادلة يمكن التعبير عنها على صورة كثيرة حدود خطية للدالة المجهولة، وهي في هذه الحالة ﺹ ومشتقاتها. ما يعنيه ذلك هو أن القوى الوحيدة للدالة المجهولة وكلًّا من المشتقات التي تظهر في المعادلة ستكون واحدًا أو صفرًا، إذا لم تحتو المعادلة على مشتقة من تلك الرتبة. كما أن كل مشتقة، وكذلك الدالة نفسها، تكون مضروبة في دوال في المتغير ﺱ فقط.

على سبيل المثال، المعادلة اثنان في ﺩﺹ على ﺩﺱ زائد أربعة ﺱﺹ يساوي ثلاثة ﺱ مثال على المعادلات التفاضلية الخطية. وذلك لأن قوة كل من ﺹ وﺩﺹ على ﺩﺱ هو واحد، وكلًّا منهما مضروب في دالة في المتغير ﺱ فقط. أما المعادلة اثنان في ﺩﺹ على ﺩﺱ زائد أربعة ﺱ على ﺹ يساوي ثلاثة ﺱ، فهي غير خطية، لأن قوةﺹ في الحد الثاني هو سالب واحد. والمعادلة أربعة ﺱ في ﺩ اثنان ﺹ على ﺩﺱ تربيع زائد اثنين ﺹ في ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي سبعة هي أيضًا معادلة غير خطية، لأنه في الحد الثاني، نجد أن ﺩﺹ على ﺩﺱ مضروب في دالة في ﺹ، وليس في دالة في ﺱ فقط.

بشكل أوضح، يمكننا القول بأن المعادلة التفاضلية تكون خطية إذا كان من الممكن التعبير عنها بالصيغة الموضحة على الشاشة. كل مشتقة من الرتبة ﻥﺹ وكذلك الدالة ﺹ نفسها تكون مضروبة في كثيرة حدود في المتغير ﺱ فقط. لنلق نظرة الآن على المعادلة التفاضلية المعطاة في المسألة. يمكننا ملاحظة أنها تتضمن الجذر التربيعي لـ ﺹ. وفي الواقع، توجد طريقة أخرى للتعبير عن الجذر التربيعي لـ ﺹ، وهي ﺹ أس نصف. وبالتالي، فإن هذه المعادلة التفاضلية غير خطية، لأن قوةﺹ لا تساوي واحدًا.

لاحظ أن وجود الحد ﺱ تربيع في الطرف الأيسر ليس ما يجعل هذه المعادلة التفاضلية غير خطية. فالمتغير ﺱ هو المتغير المستقل في هذه المعادلة. والقوى للمتغير التابع فقط ومشتقاته الموجودة في المعادلة، أي ﺹ وﺩﺹ على ﺩﺱ وما إلى ذلك، هي التي يجب أن تساوي كلها واحدًا كي تكون المعادلة خطية.

في مثالنا الأخير، سنتعلم الفرق بين المعادلات التفاضلية العادية والجزئية.

أي من العلاقات التالية يمثل معادلة تفاضلية عادية؟

نتذكر أولًا أن المعادلة التفاضلية تتضمن دالة ومشتقة واحدة أو أكثر من مشتقاتها بالنسبة إلى متغير مستقل. إذا تأملنا المعادلة الأولى، ﻉ يساوي خمسة ﺱﺹ، نجد أنها لا تحتوي على أية مشتقات. وبالتالي، فهي ليست معادلة تفاضلية. وإنما هي مجرد معادلة توضح العلاقة بين المتغيرات الثلاثة ﺱ، وﺹ، وﻉ. لذا يمكننا استبعاد الخيار أ.

وبالمثل، إذا تأملنا المعادلة الأخيرة، ﺹ يساوي الجذر التربيعي لـ ﺱ تربيع ناقص أربعة، نجد أنها ليست معادلة تفاضلية أيضًا؛ إذ لا تحتوي على أية مشتقات. وإنما تعبر فقط عن العلاقة بين المتغيرين ﺱ وﺹ. إذن، يتبقى لدينا الاحتمالان ب، ج. بالنظر إلى المعادلة الثانية، نجد أنها تتضمن متغيرًا مجهولًا، وهو ﺹ، ومشتقته بالنسبة لمتغير مستقل، وهو ﺱ. وبالتالي، فإن هذه المعادلة نموذج لمعادلة تفاضلية.

لكن المطلوب في السؤال ليس معرفة أي المعادلات معادلة تفاضلية فحسب. وإنما تحديد أيها معادلة تفاضلية عادية كذلك. لذا، نحتاج إلى التفكير فيما تعنيه كلمة «عادية» في هذا السياق. المعادلة الثالثة تحتوي أيضًا على مشتقة. وهي في الواقع مشتقة ثانية هذه المرة. لكننا نلاحظ أن الصيغة المستخدمة مختلفة بعض الشيء. هذه الصيغة تمثل المشتقة الجزئية الثانية للمتغير ﻉ بالنسبة إلى ﺱ.

ما يعنيه ذلك هو أن الدالة ﻉ ليست فقط دالة في المتغير ﺱ، لكنها دالة في متغير واحد آخر أو أكثر، مثل ﺹ. المشتقة الجزئية لـ ﻉ بالنسبة إلى ﺱ هي الدالة التي نحصل عليها إذا تعاملنا مع كل من المتغيرات الأخرى باعتبارها ثوابت أثناء الاشتقاق. وفي الواقع، المشتقة الجزئية الثانية لـ ﻉ بالنسبة إلى ﺱ هي ما نحصل عليه إذا أجرينا هذه العملية مرتين.

نعود إلى تعريف كلمة «عادية» في السؤال. المعادلة التفاضلية العادية لا تحتوي سوى على مشتقات عادية، لا مشتقات جزئية؛ إذ أن الدالة المجهولة هي دالة في المتغير المستقل فقط. وبالنظر إلى الرمز المستخدم في المعادلة ب، نلاحظ أنها تحتوي على الدالة ﺹ ومشتقتها العادية الأولى فقط. وبالتالي، فهي معادلة تفاضلية عادية. أما المعادلة ج، فتحتوي على مشتقة جزئية، ومن ثم فهي معادلة تفاضلية جزئية.

بهذا نكون قد عرفنا الفرق بين المعادلات التفاضلية العادية والجزئية. الإجابة إذن على سؤال أي من العلاقات الآتية يمثل معادلة تفاضلية عادية هي ب. ولا تمثل أي من المعادلتين أ أو د معادلة تفاضلية. والمعادلة ج معادلة تفاضلية، لكنها معادلة تفاضلية جزئية.

دعونا الآن نلخص ما تناولناه في هذا الفيديو. أولًا، المعادلات التفاضلية هي معادلات توضح العلاقة بين دالة ومشتقة واحدة أو أكثر من مشتقاتها. رتبة المعادلة التفاضلية هي رتبة أعلى مشتقة تحتوي عليها هذه الدالة. وبالتالي، فإن المعادلة التفاضلية التي تكون فيها المشتقة الأعلى رتبة هي مشتقة ثالثة هي معادلة من الرتبة الثالثة.

يمكن التعبير عن المعادلات التفاضلية الخطية بالصيغة الموضحة على الشاشة. فتكون قوة الدالة ﺹ وكل من مشتقاتها إما واحدًا أو صفرًا. وتكون الدالة ﺹ وكل من مشتقاتها مضروبة في دوال في المتغير ﺱ فقط. وأخيرًا، تحتوي المعادلات التفاضلية العادية على مشتقات عادية فقط، مثل ﺩﺹ على ﺩﺱ. في هذه الحالة، الدالة ﺹ هي دالة في متغير مستقل واحد فقط وهو ﺱ.

أما المعادلات التفاضلية الجزئية، فتحتوي على مشتقات جزئية. وفي هذه الحالة، تكون الدالة ﺹ دالة في أكثر من متغير مستقل واحد. للمعادلات التفاضلية تطبيقات عديدة، ويمكن استخدامها لتمثيل نطاق واسع من الظواهر الفيزيائية.