نسخة الفيديو النصية
إذا كان هناك خط مستقيم يمر بنقطة الأصل والنقطة أربعة، واحد، اثنين، فأوجد القيمة الدقيقة لـ cos 𝜃𝑧. لاحظ أن 𝜃𝑧 قياس الزاوية المحصورة بين الخط المستقيم والاتجاه الموجب للمحور 𝑧.
في هذا السؤال، نعلم أن خطًّا مستقيمًا يمر بنقطتين، وهما نقطة الأصل والنقطة التي إحداثياتها أربعة، واحد، اثنان. علينا استخدام هذه المعلومة لتحديد القيمة الدقيقة لجيب تمام الزاوية التي يصنعها هذا الخط المستقيم مع الاتجاه الموجب للمحور 𝑧.
بما أن الاتجاه الموجب للمحور 𝑧 خط مستقيم في الفضاء، ولدينا أيضًا خط مستقيم يمر بنقطة الأصل والنقطة أربعة، واحد، اثنين، فلنبدأ بتذكر الصيغة التي نستخدمها لإيجاد الزاوية المحصورة بين مستقيمين في الفضاء. نتذكر هنا أنه إذا كان لدينا خط مستقيم 𝐿 واحد متجه اتجاهه 𝐝 واحد، وخط مستقيم 𝐿 اثنان متجه اتجاهه 𝐝 اثنان؛ فإن cos 𝜃 يساوي حاصل الضرب القياسي لـ 𝐝 واحد و𝐝 اثنين مقسومًا على معيار 𝐝 واحد في معيار 𝐝 اثنين؛ حيث 𝜃 الزاوية المحصورة بين المستقيمين 𝐿 واحد و𝐿 اثنين. في هذا السؤال، مطلوب منا إيجاد cos 𝜃𝑧، وهي الزاوية المحصورة بين المستقيمين. حسنًا، يمكننا فعل ذلك عن طريق إيجاد متجهي اتجاه المستقيمين.
دعونا نبدأ بإيجاد متجه اتجاه الخط المستقيم الأول. نعلم أن هذا المستقيم يمر بنقطة الأصل والنقطة التي إحداثياتها أربعة، واحد، اثنان. ومن ثم يمكننا إيجاد مركبات متجه اتجاه هذا الخط المستقيم بملاحظة أن أحد متجهات اتجاه هذا الخط المستقيم سيكون له نقطة نهاية إحداثياتها أربعة، واحد، اثنان، ونقطة بداية إحداثياتها صفر، صفر، صفر. ومركبات أحد متجهات اتجاه هذا الخط المستقيم تساوي الفرق بين الإحداثيات المتناظرة لهاتين النقطتين. إذن 𝐝 واحد يساوي المتجه أربعة، واحدًا، اثنين.
في الواقع، يمكننا استخدام العملية نفسها لإيجاد متجه اتجاه المستقيم الثاني. علينا فقط ملاحظة أن الاتجاه الموجب للمحور 𝑧 يمر بنقطة الأصل، ويمر أيضًا بالنقطة التي إحداثياتها صفر، صفر، واحد. نستخدم بعد ذلك العملية نفسها لإيجاد متجه اتجاه هذا الخط المستقيم. نجد أن 𝐝 اثنين يساوي المتجه صفرًا، صفرًا، واحدًا. يمكننا الآن التعويض عن متجهي الاتجاه 𝐝 واحد و𝐝 اثنين في هذه الصيغة، حيث 𝜃 تساوي 𝜃𝑧.
على الرغم من أن إجراء ذلك في خطوة واحدة سيمكننا من الوصول إلى الإجابة، فمن الأسهل عادة إيجاد قيمتي البسط والمقام في الطرف الأيمن من المعادلة كل على حدة. ومن ثم دعونا نبدأ بإيجاد قيمة حاصل الضرب القياسي للمتجهين 𝐝 واحد و𝐝 اثنين في البسط. علينا إيجاد حاصل الضرب القياسي للمتجه أربعة، واحد، اثنين، والمتجه صفر، صفر، واحد. ولفعل ذلك، علينا أن نتذكر أنه لإيجاد حاصل الضرب القياسي لمتجهين لهما البعد نفسه، يجب علينا إيجاد مجموع حواصل ضرب مركباتهما المتناظرة. في هذه الحالة، نحصل على أربعة في صفر زائد واحد في صفر زائد اثنين في واحد. يمكننا إيجاد قيمة ذلك. كل من الحدين الأول والثاني يساوي صفرًا، واثنان في واحد يساوي اثنين.
دعونا الآن نوجد معياري المتجهين. لنبدأ بإيجاد معيار المتجه 𝐝 واحد. نتذكر أنه يساوي الجذر التربيعي لمجموع مربعات مركبات هذا المتجه. في هذه الحالة، نحصل على الجذر التربيعي لأربعة تربيع زائد واحد تربيع زائد اثنين تربيع، وهو ما يمكننا إيجاد قيمته بعد ذلك. إنه يساوي الجذر التربيعي لـ 21. يمكننا إجراء العملية نفسها لإيجاد معيار المتجه 𝐝 اثنين. لكننا نلاحظ أمرًا مثيرًا للاهتمام. المتجه 𝐝 اثنان يساوي متجه الوحدة 𝐤. هذا متجه وحدة. ومن ثم، فإننا نعلم أن معياره يساوي واحدًا. إذن، معيار المتجه 𝐝 اثنين يساوي واحدًا.
يمكننا الآن التعويض بهذه القيم في الصيغة التي لدينا لإيجاد مقدار يعبر عن cos 𝜃𝑧. لفعل ذلك، دعونا أولًا نفرغ بعض المساحة مع الاحتفاظ ببعض المعلومات المفيدة على الشاشة. يمكننا الآن التعويض بهذه القيم في الصيغة التي لدينا. نجد أن cos 𝜃𝑧 يساوي اثنين مقسومًا على جذر 21. يمكننا ترك إجابتنا على هذه الصورة. وهي القيمة الدقيقة لـ cos 𝜃𝑧. يمكننا أيضًا تبسيط هذا المقدار عن طريق إنطاق المقام. لفعل ذلك، سنضرب البسط والمقام في جذر 21. ومن ثم نحصل على الإجابة النهائية.
لقد وجدنا أنه إذا كان 𝜃𝑧 قياس الزاوية المحصورة بين الخط المستقيم الذي يمر بنقطة الأصل والنقطة أربعة، واحد، اثنين، والاتجاه الموجب للمحور 𝑧، فإن cos 𝜃𝑧 يساوي اثنين جذر 21 مقسومًا على 21.
