فيديو: حساب قيم الدوال المثلثية باستخدام الزوايا المرجعية

سوزان فائق

يوضِّح الفيديو طريقة حساب قيم الدوال المثلثية باستخدام الزوايا المرجعية، وأمثلةً توضيحيةً، وتطبيقًا عليها.

٠٩:٥٩

‏نسخة الفيديو النصية

في الفيديو ده هنتكلّم على حساب قيم الدوال المثلثية بمعلومية الزوايا المرجعية. هنعرف إيه هي الخطوات اللي بنستخدمها علشان نعرف نجيب قيم الدوال المثلثية باستخدام الزوايا المرجعية.

طب إيه هي الزوايا المرجعية؟ لو كان عندنا زاوية 𝜃 بالشكل ده مرسومة في الوضع القياسي، اللي هو بيبقى ضلع البداية منطبق على محور السينات، وضلع النهاية بيدور حوالين نقطة الأصل مكونًا الزاوية 𝜃. فإن الزاوية المرجعية هي الزاوية المحصورة ما بين ضلع النهاية ومحور السينات، وبنسميها 𝜃 شرطة. ودي بيختلف قيمتها حسب الرُّبع اللي موجودين فيه.

إزّاي بنعرف نحسب قيمتها على حسب الربع. لو كانت في الربع الأول فهي بتساوي قيمة الـ 𝜃. لكن لو كانت في الربع التاني فبنطرح مية وتمانين ناقص الـ 𝜃. لو في الربع التالت بتبقى الـ 𝜃 ناقص المية وتمانين. لكن في الربع الرابع بيبقى تلتمية وستين ناقص الـ 𝜃.

طيب إزّاي هنحسب قِيَم الدوال المثلثية باستخدام الزوايا المرجعية. لحساب قِيَم الدوال المثلثية لأي زاوية 𝜃، يمكن استخدام الزوايا المرجعية. وبتحدد إشارة كل دالة بحسب الرُّبع الذي يقع فيه ضلع النهاية للزاوية 𝜃.

الخطوات: أول حاجة بنوجد قياس الزاوية المرجعية. تاني خطوة بنوجد قيمة الدالة المثلثية للزاوية 𝜃. تالت خطوة بنحدد إشارة قيمة الدالة المثلثية للزاوية 𝜃 باستخدام الرُّبع الذي يقع فيه ضلع النهاية للزاوية 𝜃، زي الشكل ده.

الـ جا 𝜃 والـ قتا 𝜃 موجبة. هي والـ جتا 𝜃 والـ قا 𝜃 موجبة. والـ ظا 𝜃 والـ ظتا 𝜃 موجبين في الربع الأول.

الربع التاني الـ جا 𝜃 والـ قتا 𝜃 موجبة. جتا 𝜃 وَ قا 𝜃 سالبة. الـ ظا 𝜃 والـ ظتا 𝜃 سالبة.

الرُّبع التالت جا 𝜃 قتا 𝜃 سالبة. جتا 𝜃 وَ قا 𝜃 سالبة. وَ ظا 𝜃 وَ ظتا 𝜃 موجبة.

الرُّبع الرابع جا 𝜃 وَ قتا 𝜃 سالبة. جتا 𝜃 وَ قا 𝜃 موجبة. وَ ظا 𝜃 وَ ظتا 𝜃 سالبة.

طبعًا اللي بيأثر في الاشارات بتاعة الـ جا والـ جتا والـ ظا، هي الجزء اللي إحنا موجودين فيه. الرُّبع الأول أو الربع التاني الـ س موجبة الـ ص موجبة؛ يبقى الـ جا هتبقى موجبة والـ جتا موجبة، والـ ظا بالتاني هتبقى موجبة. الربع التاني لمّا بيشترك معانا الجزء الموجب لمحور الصادات مع الجزء السالب لمحور السينات. خلى ده قيمته سالبة، لكن ده قيمته موجبة زي ما هي. والـ ظا طبعًا علشان بتبقى جا على الـ جتا فجتا قيمتها سالبة. وهكذا في باقي الرُّبع التالت والرُّبع الرابع.

نقلب الصفحة وناخد مثال إزّاي هنعرف نجيب قيمة الدوال المثلثية باستخدام الزاوية المرجعية.

اوجد القيمة الدقيقة للدالة المثلثية في كل مما يأتي: جتا ميتين وأربعين درجة وَ قتا خمسة 𝜋 على ستة.

أول خطوة عندنا هنوجد قيمة قياس الزاوية المرجعية 𝜃 شرطة للزاوية ميتين وأربعين. لو رسمنا الزاوية ميتين وأربعين درجة، هنشوف نجيب قيمة الزاوية المرجعية اللي هي 𝜃 شرطة. أول خطوة عندنا نجيب قيمة الزاوية المرجعية. هتبقى 𝜃 شرطة تساوي 𝜃 ناقص مية وتمانين درجة. اللي هي هتساوي ميتين وأربعين درجة ناقص مية وتمانين درجة. هتساوي ستين درجة. يبقى 𝜃 شرطة هتساوي ستين درجة.

تاني خطوة عندنا قيمة الدالة المثلثية للزاوية 𝜃 شرطة، هتساوي جتا ستين درجة هتساوي نص.

تالت خطوة عندنا نحدّد إشارة الدالة المثلثية على حسب الرُّبع اللي موجودين فيه. الـ جتا للزاوية المرجعية ستين درجة في الرُّبع التالت. يعني الـ جتا قيمتها هتبقى سالبة. يبقى المطلوب جتا ميتين وأربعين درجة هتساوي سالب نص.

نشوف الجزء التاني من المثال: قتا خمسة 𝜋 على ستة.

لمّا هنرسم خمسة 𝜋 على ستة هتبقى بالشكل ده. عايزين نوجد قيمة 𝜃 شرطة الزاوية المرجعية، اللي هي محصورة ما بين ضلع النهاية للزاوية خمسة 𝜋 على 𝜃 ومحور السينات.

هنا بنتكلم على القياس الدائري. يبقى 𝜃 شرطة هتساوي 𝜋 ناقص خمسة 𝜋 على ستة. هتساوي 𝜋 على ستة.

تاني خطوة عندنا هنحسب قيمة الدالة المثلثية للزاوية 𝜃 شرطة. يعني عايزين قتا 𝜋 على ستة، هتساوي واحد على جا 𝜋 على ستة. تساوي واحد على … الـ جا 𝜋 على ستة نص. يعني هيساوي اتنين.

تالت خطوة عندنا تحديد إشارة قيمة الدالة المثلثية للزاوية 𝜃 باستخدام الرُّبع الذي يقع فيه ضلع الزاوية 𝜃 شرطة. هنا إحنا في الرُّبع التاني، والـ قتا موجبة. يبقى الـ قتا للخمسة 𝜋 على ستة، اللي هي هتساوي قتا 𝜋 على ستة. هتساوي اتنين.

طبعًا الـ 𝜋 على ستة في القياس الدائري مقابلة للزاوية تلاتين درجة. ودي من الزوايا الخاصة اللي بنحفظ قِيَم الـ جا والـ جتا لها.

نقلب الصفحة وناخد مثال كمان.

إذا كان طول كل ذراع من أذرع الأرجوحة في الشكل خمسة وعشرين متر. وارتفاع محور الدوران سبعة وعشرين متر. فاوجد الارتفاع الكلي لنهاية الذراع الأزرق، عندما يدور كما هو موضح بالشكل.

يعني عايزين قيمة الـ ص، هنجمعها على السبعة وعشرين متر؛ علشان نجيب الارتفاع ده كله. الزاوية اللي عندنا سالب ميتين درجة. يبقى هنجيب قيمة لزاوية مشتركة؛ علشان نعرف نجيب الزاوية الحادّة مع محور السينات. فالزاوية المشترَكة اللي عندنا مع السالب ميتين درجة. عشان نجيب قيمتها هنجمع على تلتمية وستين درجة، هتساوي مية وستين درجة. وبالتالي من مية وستين درجة هنجيب منها الـ 𝜃 شرطة اللي هي الزاوية المرجعية. وهنا بما إن الزاوية موجودة في الرُّبع التاني، يبقى الزاوية المرجعية هتساوي مية وتمانين درجة ناقص مية وستين درجة، هتساوي عشرين درجة، ودي قيمة 𝜃 شرطة. يبقى الأولانية كانت الزاوية المشتركة. والتانية الزاوية المرجعية.

عايزين نجيب قيمة الـ ص، ودي ممكن نعرف نجيب قيمة الـ جا للزاوية؛ لأنها بتساوي الـ ص على قيمة الوتر، اللي هو ل في المثلث قائم الزاوية. يبقى إحنا عايزين جا 𝜃 شرطة. هتساوي ص على ل. يبقى الـ جا 𝜃 شرطة اللي هي العشرين درجة، هيساوي قيمة الـ ص المجهولة على قيمة الـ ل اللي هي خمسة وعشرين. بضرب طرفين في وسطين. يبقى الـ ص هتساوي خمسة وعشرين في الـ جا للعشرين درجة. باستخدام الآلة الحاسبة هنجيب قيمة الـ ص. هتساوي تقريبًا تمنية ونص متر. إذن الارتفاع الكلي للذراع يساوي سبعة وعشرين زائد الـ ص؛ يعني هيساوي تقريبًا سبعة وعشرين زائد تمنية ونص. تقريبًا هتساوي خمسة وتلاتين ونص متر.

يبقى في الفيديو ده عرفنا إزّاي هنحسب قيم الدوال المثلثية، باستخدام الزوايا المرجعية. وإزّاي هنجيب الزوايا المشتركة؛ علشان تفيدنا بأن إحنا نوصل للزاوية المرجعية. وعرفنا إشارات قيم الدوال المثلثية في الربع الأول والتاني والتالت والرابع.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.