فيديو: إثبات جارفيلد لنظرية فيثاغورس

نتناول الإثبات الهندسي لنظرية فيثاغورس الذي توصل إليه جيمس جارفيلد، الرئيس العشرون للولايات المتحدة الأمريكية. يتضمن هذا الإثبات أخذ نسخة مماثلة من المثلث ووضعها لتكوين شبه منحرف ثم عقد مقارنة بين طريقتين لحساب مساحة شبه المنحرف هذا.

٠٧:٤٠

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سنرى إثباتًا خاصًا لنظرية فيثاغورس لرجل يدعى جيمس جارفيلد. المثير للاهتمام حول جيمس جارفيلد هو أنه لم يكن عالم رياضيات في الأساس؛ بل كان سياسيًا، وكان في الواقع الرئيس العشرين للولايات المتحدة الأمريكية. ولكن في خضم كل ذلك، تمكن من التوصل لهذا الإثبات لنظرية فيثاغورس عام ‪1876‬‏. وهذا ما سنراه في هذا الفيديو.

قبل أن نرى الإثبات، دعونا نذكر أنفسنا بما تخبرنا به نظرية فيثاغورس. وتذكر أنها خاصة بالمثلث القائم الزاوية وتحديدًا بالعلاقات بين أطوال الأضلاع الثلاثة في المثلث. نص النظرية يقول: «مربع طول الوتر يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين القصيرين.» تذكر أن الوتر هو أطول ضلع في المثلث القائم الزاوية. وبالتالي إذا قمنا بتربيعه، فسنحصل على النتيجة نفسها كما لو قمنا بتربيع الضلعين الآخرين وجمعهما معًا. الشكل الموجود على يسار الشاشة يوضح ذلك توضيحًا تصويريًا. إذن لدينا كل ضلع من أضلاع هذا المثلث بمربع مرسوم عليه. وتخبرنا نظرية فيثاغورس أن ‪𝑎‬‏ تربيع زائد ‪𝑏‬‏ تربيع يساوي ‪𝑐‬‏ تربيع، حيث ‪𝑎‬‏ و‪𝑏‬‏ هما الضلعان الأقصران و‪𝑐‬‏ هو الوتر.

فلنلق نظرة على إثبات جارفيلد. بدأت بالمثلث القائم الزاوية وقد سميت الأضلاع الثلاثة ‪𝑎‬‏ و‪𝑏‬‏ و‪𝑐‬‏. ما فعله جارفيلد هو أنه أخذ نسخة مماثلة من المثلث القائم الزاوية ووضعها فوقه، ومن ثم أصبح لديه نسخة مدارة من المثلث نفسه في هذا المكان هنا. ثم وصل هذه النقطة هنا بهذه النقطة هنا لتكوين شبه منحرف. إذن، شبه المنحرف الذي نراه هنا يتكون من هذا الخط الأزرق وقاعدة الشكل هنا، وقمة الشكل هنا، ثم الضلع الرأسي إلى أسفل هنا.

ما فعله جارفيلد هو أنه رأى طريقتين بديلتين لحساب مساحة شبه المنحرف هذا. أولهما استخدام هذا النوع من الصيغ العامة التي نستخدمها لحساب مساحة شبه المنحرف، وهي جمع الضلعين المتوازيين، وهما في هذه الحالة ‪𝑎‬‏ و‪𝑏‬‏، ثم قسمة ذلك على اثنين. إذن، ‪𝑎‬‏ زائد ‪𝑏‬‏ على اثنين يعطينا متوسط هذين الضلعين. ثم نضرب في المسافة بين هذين الضلعين. إذن المسافة بين الضلعين هي الارتفاع الرأسي لشبه المنحرف هذا، وهو ‪𝑎‬‏ زائد ‪𝑏‬‏. وتلك هي الطريقة العامة لحساب مساحة شبه المنحرف.

ثم يمكنك استخدام الجبر لتبسيط ذلك، فنفك الأقواس. وإذا فعلت ذلك، فستحصل على ‪𝑎‬‏ تربيع زائد ‪𝑏‬‏ تربيع زائد ‪𝑎𝑏‬‏ زائد ‪𝑎𝑏‬‏ الكل على اثنين، وهو ما يتم تبسيطه إلى ‪𝑎‬‏ تربيع زائد ‪𝑏‬‏ تربيع على اثنين زائد ‪𝑎𝑏‬‏. لأن لدينا ‪𝑎𝑏‬‏ مرتين وإذا قسمت على اثنين، فسيتبقى منهما حد واحد فقط. إذن هذا تعبير واحد عن مساحة شبه المنحرف.

يمكننا التفكير في طريقة بديلة لحساب هذه المساحة عن طريق النظر إلى مساحة المثلثات الثلاثة كل على حدة. لدينا إذن المثلث واحد، والمثلث اثنان، والمثلث ثلاثة. الآن المثلث واحد والمثلث اثنان كلاهما مثلث قائم الزاوية بالأضلاع ‪𝑎‬‏ و‪𝑏‬‏. إذن مساحة كل منهما ستكون ‪𝑎‬‏ في ‪𝑏‬‏ مقسومًا على اثنين. ولدينا ‪𝑎𝑏‬‏ مرتين، لذا سيكون لدينا ‪𝑎𝑏‬‏ على اثنين مرتين.

والآن علي أن أفكر في مساحة المثلث ثلاثة الذي يبدو كمثلث قائم الزاوية، وهو كذلك بالفعل. لكن علينا أن نعرف السبب. إذا سميت هذه الزاوية ‪𝜃‬‏، تكون هذه الزاوية أيضًا ‪𝜃‬‏ لأن المثلثين يمثلان نسختين متطابقتين. ثم باستخدام حقيقة أن مجموع قياسات زوايا المثلث ‪180‬‏ درجة، يمكنني استنتاج أن قياس هذه الزاوية لا بد وأنه ‪90‬‏ ناقص ‪𝜃‬‏ لأن لدي بالفعل زاوية قائمة واحدة، وهي الزاوية التي قياسها ‪90‬‏ درجة، ولدي ‪𝜃‬‏. يتبقى إذن ‪90‬‏ ناقص ‪𝜃‬‏.

وأخيرًا، لإيجاد قياس الزاوية في المثلث ثلاثة، علي استخدام حقيقة أن مجموع قياسات الزوايا الموجودة على خط مستقيم يساوي ‪180‬‏ درجة. لدينا بالفعل الزاوية ‪𝜃‬‏ ولدينا الزاوية ‪90‬‏ ناقص ‪𝜃‬‏، إذن مجموع الزاويتين معًا يساوي ‪90‬‏ درجة، ما يعني أن الجزء المتبقي، هذا الجزء هنا، يجب أن يساوي أيضًا ‪90‬‏ درجة ليكون مجموع قياسات كل الزوايا على الخط المستقيم ‪180‬‏ درجة. لقد أثبتنا الآن أن المثلث ثلاثة هو في الحقيقة مثلث قائم الزاوية. إذن لكي نوجد مساحته، يمكننا حساب القاعدة في الارتفاع على اثنين. وهذا يساوي ‪𝑐‬‏ في ‪𝑐‬‏ على اثنين أو فقط ‪𝑐‬‏ تربيع على اثنين. والآن إذا بسطت هذه النتيجة، فسأحصل على ‪𝑎𝑏‬‏ على اثنين زائد ‪𝑎𝑏‬‏ على اثنين. هذا سيساوي ‪𝑎𝑏‬‏ فحسب. ومن ثم يتبقى ‪𝑐‬‏ تربيع على اثنين زائد ‪𝑎𝑏‬‏. ويصبح لدينا الصيغة الثانية من مساحة شبه المنحرف هذا.

الخطوة الأخيرة في هذا الإثبات هي جعل هاتين المساحتين متساويتين. لأنهما إذا كانا يصفان الشكل نفسه، فلا بد وأنهما يعطيان النتيجة نفسها. لذا يمكنني أن آخذ التعبيرين المختلفين للمساحة وأجعلهما متساويين. ما لاحظته الآن هو أن كليهما يحتوي على زائد ‪𝑎𝑏‬‏ — هذا الحد هنا. إذن سنحذفهما معًا مباشرة وسيتبقى ‪𝑎‬‏ تربيع زائد ‪𝑏‬‏ تربيع على اثنين يساوي ‪𝑐‬‏ تربيع على اثنين. وبالتالي، يمكنني ضرب طرفي هذه المعادلة في اثنين، ما سينتج عنه حذف العددين اثنين الموجودين في المقامين. وسيتبقى لنا هذه العبارة ‪𝑎‬‏ تربيع زائد ‪𝑏‬‏ تربيع يساوي ‪𝑐‬‏ تربيع، وهي في الواقع ما تنص عليه نظرية فيثاغورس. هذا إذن إثبات جارفيلد لنظرية فيثاغورس، وهو إثبات هندسي جيد جدًا يمكننا من أن نرى بأنفسنا أن هذه النظرية صحيحة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.