نسخة الفيديو النصية
يدور قمر صناعي في مدار دائري حول الأرض نصف قطره 𝑅 وبسرعة مدارية 𝑣. إذا اقترب القمر الصناعي من الأرض؛ بحيث يتبع مدارًا دائريًّا نصف قطره 𝑅 مقسومًا على تسعة، فماذا ستكون سرعته، بدلالة 𝑣، ليظل محافظًا على مداره؟
في هذا السؤال سنتناول وضعين مختلفين لهذا النظام؛ أي: القمر الصناعي الذي يدور حول الأرض. في الوضع الأول: نصف قطر مدار القمر الصناعي 𝑅 وسرعته المدارية 𝑣. بعد ذلك، في الوضع الثاني: نتخيل أن القمر الصناعي اقترب أكثر من الأرض حتى أصبح نصف قطره تسعة 𝑅. ومهمتنا إيجاد السرعة التي يحتاجها لكي يظل في المدار الدائري.
لنبدأ بتذكر صيغة تتضمن نصف قطر المدار والسرعة المدارية لحالة خاصة مثل المدار الدائري الذي لدينا هنا. إنها صيغة السرعة المدارية: 𝑣 يساوي الجذر التربيعي لـ 𝐺𝑀 مقسومًا على 𝑟؛ حيث 𝑣 السرعة المدارية. 𝐺 ثابت الجذب العام. 𝑀 كتلة الجسم الأكبر الذي يدور حوله القمر الصناعي، وهو الأرض في هذه الحالة. و𝑟 نصف قطر المدار.
لاحظ أنه ليس لدينا أي قيم عددية للسرعة المدارية أو نصف قطر المدار. ومع ذلك لا يزال بإمكاننا استخدام هذه الصيغة لمعرفة كيفية استجابة 𝑣 للتغير في 𝑟. ثمة أمر آخر علينا ملاحظته، وهو أنه على الرغم من أن 𝐺 و𝑀 يمثلان كميتين ثابتتين حقيقيتين، فليس علينا معرفة قيمتيهما أو استخدامهما. وبما أن إجابة السؤال لن تكون قيمة عددية، فإنه ليس من الضروري كتابة قيمتيهما بالكامل. وسيكون من الأسهل أن نتركهما مكتوبين على صورة 𝐺 و𝑀.
والآن، دعونا ننظم الأمر ونكتب ما نعرفه بدءًا بالمدار الأول، وباستخدام الرقم السفلي واحد للإشارة إلى هذا الوضع الابتدائي. نعلم أن نصف قطر المدار الابتدائي 𝑟 واحد يساوي 𝑅، والسرعة المدارية الابتدائية 𝑣 واحد تساوي 𝑣. وبما أننا نعلم أيضًا أن القمر الصناعي يدور في مدار دائري هنا، فإننا نعلم أن هذه القيم لا بد أن تحقق هذه المعادلة. بعبارة أخرى: إذا عوضنا بهذه القيم في معادلة السرعة المدارية، فإننا نعلم أن العلاقة الناتجة لا بد أن تكون صحيحة. ومن ثم، نعلم أن السرعة المدارية الابتدائية 𝑣 تساوي الجذر التربيعي لـ 𝐺𝑀 مقسومًا على نصف قطر المدار الابتدائي 𝑅.
والآن، لننتقل إلى المدار الجديد، الذي سنشير إليه باستخدام الرقم السفلي اثنين. نعلم أن نصف قطر المدار الجديد، 𝑟 اثنين يساوي 𝑅 مقسومًا على تسعة. ونريد إيجاد السرعة المدارية الجديدة 𝑣 اثنين التي تحقق شروط المدار الدائري، ومن ثم تحقق هذه المعادلة. ولذا دعونا نعوض بهذه القيم ونر ما سيحدث. ما زلنا لا نعلم السرعة النهائية للقمر الصناعي، ولذا سنتركها مكتوبة على الصورة: 𝑣 اثنين يساوي الجذر التربيعي لـ 𝐺𝑀 مقسومًا على 𝑅 على تسعة.
يمكننا تبسيط المقدار بكتابته على صورة الجذر التربيعي لتسعة 𝐺𝑀 مقسومًا على 𝑅. يمكننا بعد ذلك حساب الجذر التربيعي لتسعة لنقلها خارج الجذر. إذن نعلم الآن أن السرعة النهائية 𝑣 اثنين تساوي ثلاثة في الجذر التربيعي لـ 𝐺𝑀 مقسومًا على 𝑅، وهو نصف القطر الابتدائي. وتذكر أننا توصلنا بالفعل إلى أن الجذر التربيعي لـ 𝐺𝑀 مقسومًا على 𝑅 يساوي 𝑣 السرعة المدارية الابتدائية للقمر الصناعي.
لذا دعونا نجر هذا التعويض ونكتب الناتج بالأعلى هنا. السرعة النهائية للقمر الصناعي 𝑣 اثنين تساوي ثلاثة في 𝑣 السرعة الابتدائية للقمر الصناعي. وبذلك نكون قد توصلنا إلى الإجابة. بدلالة 𝑣 وجدنا أنه لكي يحافظ القمر الصناعي على مدار دائري نصف قطره 𝑅 على تسعة، فإنه يجب أن يتحرك بسرعة مدارية مقدراها ثلاثة 𝑣.
مصر
المملكة العربية السعودية
الولايات المتحدة
