فيديو السؤال: إيجاد المسافة بين إحداثيات نقطة معينة والمستوى ‪𝑦𝑧‬‏ الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

نسخة الفيديو النصية

ما مقدار المسافة بين المستوى ‪𝑦𝑧‬‏ والنقطة سالب 16، سالب 13، 20.

في هذا السؤال، مطلوب منا تحديد كم تبعد نقطة معينة عن المستوى ‪𝑦𝑧‬‏. يمكننا أن نتذكر أن هذا يعني المسافة العمودية؛ لأنها أقصر مسافة بين النقطة والمستوى.

يوجد العديد من الطرق للإجابة عن هذا السؤال، لكننا سنتناول طريقتين فقط منها. أولًا، نلاحظ أن أي متجه يقع بالكامل في الاتجاه ‪𝑥‬‏ يكون عموديًّا على المستوى ‪𝑦𝑧‬‏. نلاحظ بعد ذلك أن النقطة صفر، سالب 13، 20 تقع على المستوى ‪𝑦𝑧‬‏؛ لأن الإحداثي ‪𝑥‬‏ لها يساوي صفرًا. الفرق الوحيد بين هذه النقطة على المستوى والنقطة التي تقع خارج المستوى هو الإحداثي ‪𝑥‬‏. يمكننا ملاحظة أن الخط المستقيم الواصل بين هاتين النقطتين سيكون له متجه اتجاه يقع بالكامل في الاتجاه ‪𝑥‬‏. المسافة بين هاتين النقطتين ستكون معيار الإحداثي ‪𝑥‬‏ للنقطة غير الواقعة على المستوى، وهو 16.

من الجدير بالذكر أن هذه الفكرة يمكن استخدامها بوجه عام. يمكننا ملاحظة أن المسافة بين النقطة ‪𝑎‬‏، ‪𝑏‬‏، ‪𝑐‬‏ والمستوى ‪𝑦𝑧‬‏ ستساوي معيار ‪𝑎‬‏؛ لأن النقطة صفر، ‪𝑏‬‏، ‪𝑐‬‏ تقع على المستوى ‪𝑦𝑧‬‏، والخط المستقيم بين هاتين النقطتين عمودي على المستوى ‪𝑦𝑧‬‏.

هذه ليست الطريقة الوحيدة للإجابة عن هذا السؤال. قد يكون من المفيد الإجابة عن هذا السؤال باستخدام إحدى الصيغ الخاصة بالمسافة بين نقطة ومستوى. يمكننا أن نتذكر أن المسافة بين النقطة ‪𝑥‬‏ واحد، ‪𝑦‬‏ واحد، ‪𝑧‬‏ واحد والمستوى ‪𝐫‬‏ المضروب ضربًا قياسيًّا في ‪𝑎‬‏، ‪𝑏‬‏، ‪c‬‏ يساوي سالب ‪𝑑‬‏ تعطى بالصيغة معيار ‪𝑎𝑥‬‏ واحد زائد ‪𝑏𝑦‬‏ واحد زائد ‪𝑐𝑧‬‏ واحد زائد ‪𝑑‬‏ الكل مقسوم على الجذر التربيعي لـ ‪𝑎‬‏ تربيع زائد ‪𝑏‬‏ تربيع زائد ‪𝑐‬‏ تربيع.

لتطبيق هذه الصيغة، علينا إيجاد المعادلة المتجهة للمستوى ‪𝑦𝑧‬‏. نلاحظ أن المتجه واحد، صفر، صفر عمودي على المستوى، وأن نقطة الأصل تقع على المستوى. بما أن حاصل الضرب القياسي لمتجه الوحدة في الاتجاه ‪𝑥‬‏ في متجه الموضع لنقطة الأصل يساوي صفرًا، يصبح لدينا المعادلة المتجهة ‪𝐫‬‏ مضروبًا ضربًا قياسيًّا في واحد، صفر، صفر يساوي صفرًا.

يمكننا الآن التعويض بهذه القيم في الصيغة وإيجاد القيمة الناتجة وهي مقدار المسافة بين النقطة والمستوى. نحصل على معيار واحد في سالب 16 زائد صفر في سالب 13 زائد صفر مضروبًا في 20 زائد صفر الكل مقسوم على الجذر التربيعي لواحد تربيع زائد صفر تربيع زائد صفر تربيع. يمكننا بعد ذلك إيجاد قيمة هذا المقدار. نبسط البسط فنحصل على معيار سالب 16، وهو يساوي 16، ونوجد قيمة المقام فيصبح لدينا واحد. ومن ثم، فإن المسافة العمودية بين النقطة والمستوى تساوي 16.

هذه الطريقة أكثر تعقيدًا من الطريقة الأولى. لكنها أشمل؛ لأنه يمكن تطبيقها على أي مستوى ونقطة بشرط أن نوجد معادلة متجهة للمستوى.