نسخة الفيديو النصية
في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نوجد مركبات متجه ثنائي الأبعاد. في البداية، سوف نعرف ونتعلم كيفية إيجاد المركبات الأفقية والرأسية لمتجه وكيفية كتابة المتجه في الصورة الإحداثية، ثم نتعلم كيف نكتب المتجهات في صورة مجموع متجهات الوحدة. وسنتناول أيضًا معنى تكافؤ المتجهات ومركباتها.
نحن نعلم أن المتجه يعرف باتجاهه ومعياره ويمثل هندسيًّا بسهم؛ أي قطعة مستقيمة موجهة يشير السهم فيها إلى الاتجاه. يصل السهم نقطة بداية بنقطة نهاية. واتجاه المتجه هو الاتجاه عند التحرك من نقطة البداية إلى نقطة النهاية. ومعيار المتجه هو المسافة أو طول القطعة المستقيمة الواصلة بين النقطتين.
من الأسهل وصف المتجهات إذا وضعنا المتجهات في مستوى إحداثي. بالقيام بذلك، يمكننا تعريف مركبات المتجه. في المستوى الإحداثي، بداية من النقطة ﻫ، وبالتحرك سبع وحدات يمينًا ووحدتين لأعلى، نصل إلى النقطة ﻭ. وبما أن لدينا كلًّا من الاتجاه والمسافتين، فإن هذا يصف المتجه ﻫﻭ تمامًا. وبالمثل، يمكن وصف المتجه ﻡﻥ بأربع وحدات يسارًا، وبوحدة واحدة لأعلى، بداية من النقطة ﻡ إلى النقطة ﻥ.
هذه الأوصاف هي أساس ما نسميه بمركبات المتجه؛ حيث تكتب المركبات في صورة: ﺃ، ﺏ. وتصف ﺃ الحركة الأفقية؛ حيث إنه إذا اتجه المتجه إلى اليسار تكون مركبته سالبة، وإذا اتجه إلى اليمين تكون مركبته موجبة. وتصف ﺏ الحركة الرأسية؛ حيث إن الاتجاه لأسفل يشير إلى مركبة سالبة، والاتجاه لأعلى يشير إلى مركبة موجبة. لذا، من نقطة بداية المتجه إلى نقطة نهايته، تصف ﺃ الحركة الأفقية وتصف ﺏ الحركة الرأسية.
يوضح الشكل الآتي متجهات مختلفة إلى جانب مركباتها. إذن، على سبيل المثال، المتجه الذي مركبتاه: أربعة، اثنان، له حركة بمقدار أربع وحدات لليمين ووحدتين لأعلى من نقطة البداية إلى نقطة النهاية. في المثال التالي، سوف نرى كيف يمكننا إيجاد مركبات متجه ممثل في المستوى الإحداثي.
يوضح الشكل الآتي المتجه ﻫﻭ؛ حيث النقطة ﻫ لها المركبتان: ثلاثة، اثنان، والنقطة ﻭ لها المركبتان: ستة، تسعة. اكتب المتجه على الصورة الإحداثية: ﺃ، ﺏ.
لإيجاد المركبتين ﺃ وﺏ للمتجه ﻫﻭ، نتناول المسافتين الأفقية والرأسية والاتجاهين من النقطة ﻫ؛ وهي نقطة البداية، إلى النقطة ﻭ؛ وهي نقطة النهاية. نرى أن المسافة الأفقية تساوي ثلاث وحدات إلى اليمين. إذن، ﺃ تساوي موجب ثلاثة. وفي الحقيقة هذا هو الفرق بين إحداثيي المحور ﺱ للنقطتين ﻫ وﻭ، وهو ستة ناقص ثلاثة؛ وهو ما يساوي موجب ثلاثة. المسافة الرأسية تساوي سبع وحدات لأعلى. وهذا يساوي موجب سبعة. وهذا هو الفرق بين إحداثيي المحور ﺹ للنقطتين ﻫ وﻭ. ومن ثم يمكن كتابة المتجه من النقطة ﻫ إلى النقطة ﻭ على الصورة: ﻫﻭ يساوي ثلاثة، سبعة.
يمكن تلخيص الطريقة التي أوجدنا بها الإحداثيات في هذا المثال بالطريقة الآتية. لكتابة المتجه ﻫﻭ للنقطتين ﻫ وﻭ بالإحداثيات: ﺱ واحد، ﺹ واحد، وﺱ اثنان، ﺹ اثنان، على الترتيب، في الصورة الإحداثية: ﺃ، ﺏ؛ نحسب الفرق بين إحداثيي المحور ﺱ والفرق بين إحداثيي المحور ﺹ، على الترتيب. إذن، لدينا ﺃ يساوي ﺱ اثنين ناقص ﺱ واحد، وﺏ يساوي ﺹ اثنين ناقص ﺹ واحد. لنلق نظرة على ذلك مرة أخرى في مثال آخر.
يوضح الشكل الآتي متجهًا. ما إحداثيات نقطة نهاية المتجه؟ ما إحداثيات نقطة بداية المتجه؟ ما مركبتا المتجه؟
في الجزء الأول من السؤال، نتذكر أنه عندما يمثل المتجه على مستوى إحداثي، تكون نقطة نهاية المتجه هي النقطة التي توجد عند نهاية القطعة المستقيمة في اتجاه السهم. يمكننا أن نفكر في ذلك على أنه الاتجاه الذي يشير إليه المتجه. بالنظر إلى الشكل، يمكننا ملاحظة أن إحداثياتها تساوي سالب سبعة، سالب واحد.
وبالمثل، بالنسبة إلى الجزء الثاني، نقطة البداية هي النقطة التي تبدأ منها القطعة المستقيمة؛ حيث يتجه السهم بعيدًا عنها. بالنظر إلى الشكل، يمكننا ملاحظة أن لها الإحداثيات: سالب واحد، موجب اثنين.
بالنسبة إلى الجزء الأخير، المطلوب منا هو إيجاد مركبتي المتجه. وللقيام بذلك، نتذكر أن مركبتي المتجه من نقطة البداية ﻫ، التي إحداثياتها: ﺱ واحد، ﺹ واحد، إلى نقطة النهاية ﻭ، التي إحداثياتها: ﺱ اثنان، ﺹ اثنان، تساويان الفرق بين إحداثيي المحور ﺱ، والفرق بين إحداثيي المحور ﺹ، على الترتيب.
في هذه الحالة، المركبة ﺱ أو المركبة الأفقية ﺃ تساوي سالب سبعة ناقص سالب واحد. وهذا هو الفرق بين المركبتين ﺱ، أي ﺱ النهاية ناقص ﺱ البداية، وهو ما يساوي سالب ستة. وبالمثل، بالنسبة إلى المركبة ﺹ أو المركبة الرأسية، لدينا سالب واحد ناقص اثنين. وهذا هو الفرق بين قيمتي ﺹ للنهاية والبداية، وهو ما يساوي سالب ثلاثة. ومن ثم، مركبتا المتجه المعطى هما: سالب ستة، وسالب ثلاثة. ومن ثم، نقطة النهاية للمتجه المعطى هي: سالب سبعة، سالب واحد. ونقطة البداية هي: سالب واحد، اثنان. ومركبتا المتجه هما: سالب ستة، وسالب ثلاثة.
بعد ذلك، نعرف متجهين مميزين، كل منهما طوله يساوي واحدًا، وهو ما يمكننا استخدامه لكتابة المتجهات بطريقة مختلفة. نعرف متجهي الوحدة ﺱ وﺹ كما هو موضح؛ حيث إن متجه الوحدة ﺱ يمثل التحرك وحدة واحدة في اتجاه المحور ﺱ، ومتجه الوحدة ﺹ يمثل التحرك وحدة واحدة في اتجاه المحور ﺹ. ومن المهم ملاحظة أن هذه المتجهات المميزة ليس من الضروري أن تبدأ عند نقطة الأصل في النظام الإحداثي لدينا. وتصف ببساطة التحرك مسافة تساوي واحدًا في الاتجاه الأفقي أو الاتجاه الرأسي.
قد تكون نقطة البداية في أي مكان على المستوى. على سبيل المثال، في الشكل الموضح، يمكن أن يمثل متجه الوحدة ﺱ التحرك من النقطة: ٠٫٥، ١٫٥، إلى:١٫٥، ١٫٥. ويمكن أن يمثل متجه الوحدة ﺹ التحرك من النقطة: ثلاثة، واحد، إلى النقطة: ثلاثة، اثنان. ويمثل المتجه ﺃﺱ التحرك بمقدار ﺃ من نسخ ﺱ؛ أي ﺃ من الوحدات في الاتجاه الأفقي، وصفر من الوحدات في الاتجاه الرأسي. وبالمثل، المتجه ﺏﺹ يمثل التحرك بمقدار ﺏ من نسخ ﺹ في الاتجاه الرأسي. على سبيل المثال، يوضح الشكل المتجه اثنين ﺱ، الذي له مركبتان: اثنان، صفر. وعندما يكون لدينا متجهان في الصورة: ﺃﺱ وﺏﺹ، يمكننا إضافتهما معًا لوصف أي متجه بدلالة متجهات الوحدة في صورة: ﺃﺱ زائد ﺏﺹ.
الآن، لكتابة متجه في صورة مجموع متجهات الوحدة، نلاحظ أولًا أنه إذا كانت للمتجه ﻡﻥ نقطة بداية ﻡ إحداثياتها: ﺱ واحد، ﺹ واحد، ونقطة نهاية ﻥ إحداثياتها: ﺱ اثنان، ﺹ اثنان؛ فإن المتجه ينتقل مسافة ﺱ اثنين ناقص ﺱ واحد في الاتجاه الأفقي، ثم ينتقل مسافة ﺹ اثنين ناقص ﺹ واحد في الاتجاه الرأسي أو في اتجاه المحور ﺹ.
يمكننا كتابة هذا المتجه بطريقتين: إما في الصورة الإحداثية؛ ﻡﻥ يساوي ﺱ اثنين ناقص ﺱ واحد، ﺹ اثنين ناقص ﺹ واحد، أو بدلالة متجهي الوحدة ﺱ وﺹ في صورة: ﻡﻥ يساوي ﺱ اثنين ناقص ﺱ واحد ﺱ زائد ﺹ اثنين ناقص ﺹ واحد ﺹ. لنر مثالًا لكيفية كتابة متجه في صورة مجموع متجهات الوحدة.
باعتبار أن كل مربع في الشبكة البيانية طول ضلعه واحد، اكتب المتجه ﻫﻭ على الصورة: ﺃﺱ زائد ﺏﺹ، ثم على الصورة: ﺃ، ﺏ.
من نقطة البداية ﻫ، نتحرك موجب وحدتين في الاتجاه الأفقي، وهو ما يمثل المتجه اثنين ﺱ. ثم نتحرك موجب ثلاث وحدات في الاتجاه الرأسي، وهو ما يمثل المتجه ثلاثة ﺹ، للوصول إلى النقطة ﻭ. المتجه ﻫﻭ، الذي يمثل الانتقال مباشرة من ﻫ إلى ﻭ، يساوي مجموع متجهات الوحدة هذه؛ وهو ما يساوي اثنين ﺱ زائد ثلاثة ﺹ. لذلك، المركبتان ﺃ وﺏ تساويان اثنين وثلاثة، على الترتيب. ومن ثم فإن ﻫﻭ يساوي اثنين ﺱ زائد ثلاثة ﺹ؛ بدلالة متجهات الوحدة، واثنين، ثلاثة؛ بالصورة الإحداثية.
في هذا المثال، ننتقل في الاتجاهين الموجبين الأفقي والرأسي بخطوات طولها واحد. إذن فإننا ننتقل يمينًا ولأعلى. المعاملات السالبة لـ ﺱ وﺹ تمثل الانتقال إلى اليسار ولأسفل، على الترتيب. على سبيل المثال، المتجه ﻫﻭ يساوي سالب اثنين، سالب أربعة، وهو ما يمثل الانتقال بمقدار سالب وحدتين في اتجاه المحور ﺱ وأربع وحدات سالبة في الاتجاه الرأسي، كما هو موضح في الشكل، يمكن أن يكتب على الصورة: سالب اثنين ﺱ زائد سالب أربعة ﺹ. وهو ما يساوي سالب اثنين ﺱ ناقص أربعة ﺹ، أو سالب اثنين، سالب أربعة؛ في الصورة الإحداثية.
بعد ذلك، نتناول مسألة كلامية تتضمن مركبات المتجهات.
تحرك جسم مسافة ١٩٠ سنتيمترًا في اتجاه الشرق؛ حيث ﺱ وﺹ متجها وحدة في اتجاهي الشرق والشمال، على الترتيب. اكتب إزاحة الجسم بدلالة متجهي الوحدة ﺱ وﺹ.
لقد علمنا أن متجه الوحدة ﺱ يمثل اتجاه الشرق، ومتجه الوحدة ﺹ يمثل اتجاه الشمال. لنطلق على متجه الإزاحة المتجه ﻥ، وبدلالة متجهي الوحدة ﺱ وﺹ سيكون المتجه على الصورة: ﺃﺱ زائد ﺏﺹ. نعلم أن الجسم تحرك ناحية الشرق، وهو ما يعني أن المتجه الذي يعبر عن الإزاحة لن تكون له مركبة في اتجاه الشمال. هذا يعني أن معامل متجه الوحدة ﺹ يساوي صفرًا. وهو ما يعني أن المركبة أو المعامل ﺏ يساوي صفرًا. نحن نعلم أن الجسم تحرك ١٩٠ سنتيمترًا في اتجاه الشرق. إذن، معامل ﺱ، أي ﺃ، يساوي ١٩٠. ومن ثم، يمكن كتابة إزاحة الجسم على الصورة: ١٩٠ﺱ زائد صفر ﺹ، وهو ما يساوي ١٩٠ﺱ سنتيمتر.
لنتناول بعد ذلك مفهوم المتجهات المتكافئة.
نتذكر أن المتجهات المتكافئة هي متجهات لها الاتجاه والمعيار نفساهما. لنتناول الآن المتجهات ﻫﻭ وﻡﻥ وﻑﻝ وﺯﺡ في الشكل. ونرى أن جميع المتجهات الأربعة تقع على نفس الخط أو على خطوط متوازية. ومع ذلك، إذا تناولنا الاتجاهات، فإن المتجه ﺯﺡ ليس له الاتجاه نفسه مثل الثلاثة الأخرى. يشير المتجه ﺯﺡ إلى اليمين ولأعلى، في حين تشير المتجهات الأخرى إلى اليسار ولأسفل.
من الجدير بالملاحظة أنه لكي تقع المتجهات على الخطوط نفسها أو على خطوط متوازية، فإن نسب المركبات ﺹ إلى المركبات ﺱ لا بد من أن تكون متساوية. وهذا يعطينا ميل الخط المستقيم. الآن يمكننا إيجاد معيار كل متجه من المتجهات الأربعة باستخدام نظرية فيثاغورس على أضلاع المثلثات المكونة من خلال مركبتي كل متجه. إذن، على سبيل المثال، معيار المتجه ﻫﻭ هو الجذر التربيعي الموجب لخمسة. ومعيار ﻡﻥ هو الجذر التربيعي لـ ٢٠، وهو ما يساوي اثنين في الجذر التربيعي لخمسة. وفي الحقيقة هذا يساوي نفس معيار المتجهين ﻑﻝ وﺯﺡ. لذا لدينا ثلاثة متجهات لها المعيار نفسه: ﻡﻥ وﻑﻝ وﺯﺡ. ولكننا نعلم أن مركبتي المتجه ﺯﺡ لهما إشارة معاكسة ولذا ستكونان في الاتجاه المعاكس لمركبات المتجهين ﻡﻥ وﻑﻝ. إذن ﺯﺡ لا يمكن أن يكافئ أيًّا منهما.
هناك فقط متجهان لهما نفس المعيار ونفس الاتجاه، وهما المتجهان ﻡﻥ وﻑﻝ. وذلك لأن لهما المركبتين نفسيهما. ويمكننا أيضًا توضيح أن العكس صحيح. وهذا يعني أن المتجهات المتكافئة، أي المتجهات التي لها نفس المعيار ونفس الاتجاه، لا بد من أن يكون لها نفس المركبات. فلنستخدم هذه الخاصية في المثال الأخير.
النقاط ﻫ، ﻭ، ﻡ إحداثياتها: سالب سبعة، واحد؛ سالب اثنين، أربعة؛ وسالب أربعة، سالب واحد، على الترتيب. إذا كان ﻫﻭ وﻡﻥ متجهين متكافئين، فأوجد إحداثيات النقطة ﻥ.
نحن نعلم أن ﻫﻭ وﻡﻥ متجهان متكافئان، وهو ما يعني أن لهما المركبتين نفسيهما. لذلك، لنبدأ بإيجاد مركبتي المتجه ﻫﻭ. نحن نعلم أنه بالنسبة إلى المتجه ﻫﻭ، الذي له نقطة بداية ﻫ إحداثياتها: ﺱ واحد، ﺹ واحد، ونقطة نهاية ﻭ إحداثياتها: ﺱ اثنان، ﺹ اثنان، فإن مركبتي ﻫﻭ هما: ﺱ اثنان ناقص ﺱ واحد، وﺹ اثنان ناقص ﺹ واحد. في هذه الحالة، بالنسبة إلى المتجه ﻫﻭ، لدينا نقطة البداية ﻫ، التي إحداثياتها: سالب سبعة، واحد، ونقطة النهاية ﻭ، التي إحداثياتها: سالب اثنين، أربعة. إذن للمتجه ﻫﻭ مركبتان: سالب اثنين ناقص سالب سبعة، وموجب أربعة ناقص واحد؛ أي خمسة، ثلاثة.
يمكننا التأكد من صحة ذلك على الشكل. بالتحرك خمس وحدات إلى يمين النقطة ﻫ، وثلاث وحدات لأعلى؛ ننتقل من النقطة ﻫ إلى النقطة ﻭ. وبما أن ﻫﻭ وﻡﻥ متجهان متكافئان، ولهما المركبتان نفساهما؛ إذن ﻡﻥ يساوي خمسة، ثلاثة أيضًا. مركبتا المتجه ﻡﻥ تساويان ﺱﻥ ناقص ﺱﻡ، وﺹﻥ ناقص ﺹﻡ. وهذا يعني أن ﺱﻥ ناقص ﺱﻡ يساوي خمسة، وﺹﻥ ناقص ﺹﻡ يساوي ثلاثة.
والآن بالتعويض بقيم ﺱﻡ وﺹﻡ؛ حيث إن ﻡ هي النقطة: سالب أربعة، سالب واحد؛ إذن ﺱﻥ زائد أربعة يساوي خمسة، وﺹﻥ زائد واحد يساوي ثلاثة. وبحل المعادلتين لإيجاد ﺱﻥ وﺹﻥ، نحصل على أن: ﺱﻥ يساوي واحدًا، وﺹﻥ يساوي اثنين. ومن ثم، فإن إحداثيات النقطة ﻥ هي: واحد، واثنان.
لنلخص الآن ما تعلمناه ببعض النقاط الرئيسية. تكتب مركبتا المتجه على الصورة: ﺃ، ﺏ؛ حيث تصف ﺃ الحركة الأفقية، وتصف ﺏ الحركة الرأسية؛ من نقطة بداية المتجه إلى نقطة نهايته. المركبتان ﺃ، ﺏ للمتجه ﻫﻭ من نقطة البداية ﻫ(ﺱﻫ، ﺹﻫ) إلى نقطة النهاية ﻭ(ﺱﻭ، ﺹﻭ) هما: ﻫ يساوي ﺱﻭ ناقص ﺱﻫ، وﻭ يساوي ﺹﻭ ناقص ﺹﻫ. وتعرف متجهات الوحدة على الصورة: ﺱ يساوي واحدًا، صفرًا، وﺹ يساوي صفرًا، واحدًا. يمكن كتابة أي متجه ﻉ له المركبتان ﺃ، ﺏ بدلالة متجهات الوحدة على الصورة: ﻉ يساوي ﺃﺱ زائد ﺏﺹ. وفي النهاية، المتجهات التي لها المركبات نفسها تكون متكافئة، والعكس صحيح؛ المتجهات المتكافئة تكون لها المركبات نفسها.
