فيديو الدرس: المستقيمات المتوازية والقواطع: العلاقات بين الزوايا الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سنتعلم أسماء أزواج الزوايا المختلفة المتكونة بواسطة مستقيمات متوازية وقواطع، وكيف نحددها ونتعرف على العلاقات بينها لإيجاد زاوية ناقصة. قبل النظر إلى المستقيمات المتوازية، سنتذكر بعض خصائص الزوايا الأخرى والعلاقات بينها.

لنبدأ بالنظر إلى الزاويتين المتقابلتين بالرأس. الزاويتان المتقابلتان بالرأس هما زاويتان تقعان بين خطين مستقيمين متقاطعين وتتشاركان في الرأس. عبارة «مستقيمان متقاطعان» تعبر عن مستقيمين يقطع أحدهما الآخر. بالنظر عن قرب إلى الزوايا الأربع الموضحة، يمكننا أن نرى أن لدينا زوجين من الزوايا المتساوية في القياس. الزاويتان ﺃ وﺟ متقابلتان بالرأس، والزاويتان ﺏ وﺩ متقابلتان بالرأس أيضًا. هذا يعني أن مجموع قياسي الزاويتين المتجاورتين ١٨٠ درجة. على سبيل المثال، ﺃ زائد ﺏ يساوي ١٨٠ درجة، وﺟ زائد ﺩ يساوي ١٨٠ درجة. وذلك لأن مجموع أي زاويتين على خط مستقيم يساوي ١٨٠ درجة.

ومجموع قياسات الزوايا الأربع الموضحة يساوي ٣٦٠ درجة. وهذا لأن مجموع قياسات الزوايا في دائرة أو حول نقطة يساوي ٣٦٠. أي إن قياس الزاوية ﺃ زائد قياس الزاوية ﺏ زائد قياس الزاوية ﺟ زائد قياس الزاوية ﺩ يساوي ٣٦٠ درجة. سنتناول الآن حالة خطين مستقيمين متوازيين يقطعهما خط ثالث.

في هذا الشكل، لدينا خطان مستقيمان متوازيان، وهما ﻝ واحد وﻝ اثنان، وخط مستقيم قاطع ثالث، وهو ﻝ ثلاثة، يقطع الخطين. وتكونت لدينا ثماني زوايا. ندرك أن هناك أربعة أزواج من الزوايا المتقابلة بالرأس، ﺃ وﺟ، وﺏ وﺩ، وﻫ وﻉ، وﻭ وﺯ.

ونظرًا لأن الخطين ﻝ واحد وﻝ اثنين متوازيان، فإن المجموعتين اللتين تتكون كل منهما من أربع زوايا بين ﻝ ثلاثة وﻝ واحد وبين ﻝ ثلاثة وﻝ اثنين ستكونان متطابقتين. هذا يعني أن الزوايا ﺃ وﺟ وﻫ وﻉ متساوية في القياس. وبالمثل، الزوايا ﺏ وﺩ وﻭ وﺯ متساوية في القياس. تقودنا هذه الحقائق إلى ثلاث علاقات يمكننا استخدامها لحل المسائل عند التعامل مع مستقيمات متوازية. زوج الزوايا المتطابقة الأول يسمى الزاويتين المتناظرتين أو اللتين تصنعان حرف 𝐹. وتقعان في موضعين متناظرين بالنسبة إلى المستقيم القاطع ﻝ ثلاثة، وكل من المستقيمين المتوازيين ﻝ واحد وﻝ اثنين.

ثانيًا، لدينا زاويتان متبادلتان، وتعرفان أيضًا بأنهما الزاويتان اللتان تصنعان حرف 𝑍. تتكون هاتان الزاويتان بواسطة مستقيم قاطع ﻝ ثلاثة، يقطع مستقيمين متوازيين ﻝ واحد وﻝ اثنين، وتقعان على جانبي ﻝ ثلاثة، وبين ﻝ واحد وﻝ اثنين.

وأخيرًا، لدينا زاويتان داخليتان أو زاويتان تصنعان حرف 𝐶. على خلاف الزوايا المتناظرة والمتبادلة التي تكون متطابقة، فإن مجموع قياسي الزاويتين الداخليتين اللتين تصنعان حرف 𝐶 يساوي ١٨٠ درجة. وهذا يقودنا إلى نظرية المستقيمات المتوازية، التي تنص على أنه عندما يقطع مستقيم قاطع مستقيمين متوازيين، تكون أزواج الزوايا المتناظرة متطابقة وأزواج الزوايا المتبادلة متطابقة. سنتناول الآن بعض الأسئلة لنرى كيف يمكننا تطبيق هذه العلاقات.

في الشكل، المستقيم ﻫﻥ يقطع المستقيمين ﺃﺏ وﺟﺩ عند ﻡ وﻭ، على الترتيب. أوجد قياس الزاوية ﻫﻭﺟ.

المستقيمان ﺃﺏ وﺟﺩ متوازيان كما هو موضح في الشكل. المستقيم ﻫﻥ عبارة عن مستقيم قاطع يقطع المستقيمين المتوازيين. مطلوب منا إيجاد قيمة الزاوية ﻫﻭﺟ. لحل هذا السؤال، سنستخدم خواص الزوايا المتعلقة بالمستقيمات المتوازية.

إننا نعرف أن الزاويتين المتقابلتين بالرأس متساويتان في القياس. هذا يعني أن قياس الزاوية ﻫﻡﺏ يساوي قياس الزاوية ﺃﻡﻭ. وكلاهما يساوي ٨٤ درجة. نعلم أيضًا أن مجموع الزاويتين الداخليتين أو المتكاملتين يساوي ١٨٠ درجة. ويشار لهما عادة بأنهما الزاويتان اللتان تصنعان حرف c، كما هو موضح في الشكل. مجموع قياسي الزاويتين ﺃﻡﻭ وﻫﻭﺟ يجب أن يكون ١٨٠ درجة. هذا يعني أن ٨٤ زائد قياس الزاوية ﻫﻭﺟ يساوي ١٨٠. بطرح ٨٤ من طرفي هذه المعادلة، نجد أن قياس الزاوية ﻫﻭﺟ يساوي ٩٦. إذن، قياس الزاوية ﻫﻭﺟ يساوي ٩٦ درجة.

سنتناول الآن سؤالًا آخر يتعلق بالخطوط المستقيمة المتوازية.

أوجد قياس الزاوية ﺟ.

نلاحظ من الشكل أن المستقيم ﺃﺏ يوازي المستقيم ﺟﺩ. في هذا السؤال، علينا أن نحسب قياس الزاوية ﺟ. نبدأ بالنظر إلى النقطة ﺃ، مع ملاحظة أن مجموع قياسات الزوايا حول نقطة أو في دائرة يساوي ٣٦٠ درجة. إذا افترضنا أن الزاوية الناقصة هي ﺱ، فإن ﺱ زائد ١٢٣ زائد ١٣٢ يساوي ٣٦٠. وبتبسيط ذلك، نحصل على ﺱ زائد ٢٥٥ يساوي ٣٦٠. بطرح ٢٥٥ من طرفي هذه المعادلة، نحصل على ﺱ يساوي ١٠٥. قياس الزاوية الناقصة عند النقطة ﺃ يساوي ١٠٥ درجات.

وكما ذكرنا من قبل، المستقيمان ﺃﺏ وﺟﺩ متوازيان. وينتج عن المستقيم ﺃﺟ زاويتان داخليتان أو متكاملتان. وبما أن مجموع قياسيهما يساوي ١٨٠ درجة، فإن قياس الزاوية ﺹ عند النقطة ﺟ زائد ١٠٥ يجب أن يساوي ١٨٠. بطرح ١٠٥ من طرفي هذه المعادلة، نحصل على ﺹ يساوي ٧٥. يمكننا إذن استنتاج أن قياس الزاوية ﺟ يساوي ٧٥ درجة.

في السؤال الثالث لدينا مستقيمان متوازيان وشكل رباعي.

في الشكل الآتي، المستقيمان ﺟﺩ وﺏﻫ متوازيان. أوجد قياس الزاوية ﺃﺏﻫ.

نعلم من السؤال أن المستقيمين ﺟﺩ وﺏﻫ متوازيان. والمطلوب منا حساب قياس الزاوية ﺃﺏﻫ التي نرمز لها بالحرف ﺱ. يمكننا أن نرى من الشكل أن ﺃﺏﺟﺩ شكل رباعي، له أربعة أضلاع. مجموع قياسات زوايا أي شكل رباعي يساوي ٣٦٠ درجة. هذا يعني أن مجموع قياس الزاوية الناقصة ﺹ، و٩٠ درجة، و١٣١ درجة، و٦٩ درجة يجب أن يساوي ٣٦٠ درجة. بتبسيط الطرف الأيمن من المعادلة، نحصل على ﺹ زائد ٢٩٠ يساوي ٣٦٠. وبطرح ٢٩٠ من كلا الطرفين، نحصل على ﺹ يساوي ٧٠. إذن، الزاوية الناقصة في الشكل الرباعي قياسها ٧٠ درجة.

يمكننا الآن استخدام حقيقة أن مجموع قياسي الزاويتين الداخليتين أو المتكاملتين يساوي ١٨٠ درجة. وتعرفان أحيانًا بأنهما الزاويتان اللتان تصنعان حرف c. في هذا السؤال، ٧٠ زائد ٦٩ زائد ﺱ يجب أن يساوي ١٨٠. يمكن تبسيط ذلك ليصبح ﺱ زائد ١٣٩ يساوي ١٨٠. وبطرح ١٣٩ من طرفي هذه المعادلة، نحصل على ﺱ يساوي ٤١. يمكننا إذن استنتاج أن قياس الزاوية ﺃﺏﻫ يساوي ٤١ درجة.

يتضمن السؤال التالي زاويتين متبادلتين أيضًا.

باستخدام المعطيات في الشكل التالي، أوجد قياس الزاوية ﺃﻫﺟ.

الزاوية ﺃﻫﺟ موضحة في الشكل. ويمكن تقسيمها إلى مجموع قياسي زاويتين أخريين، الزاوية ﺃﻫﻭ والزاوية ﺟﻫﻭ. يمكننا استخدام خصائص الزوايا المتعلقة بمستقيمات متوازية لحساب هاتين القيمتين. المستقيمات ﺃﺏ وﻫﻭ وﺟﺩ متوازية كما هو موضح في الشكل. ونعلم أن الزاويتين المتبادلتين متطابقتان. ويشار لهما أحيانًا بأنهما الزاويتان اللتان تصنعان حرف 𝑍. هذا يعني أن قياس الزاوية ﺏﺃﻫ يساوي قياس الزاوية ﺃﻫﻭ. كلاهما يساوي ٩٢ درجة.

مجموع قياسي الزاويتين الداخليتين أو المتكاملتين يساوي ١٨٠ درجة. وتعرفان عادة بأنهما الزاويتان اللتان تصنعان حرف c. في هذا السؤال، قياس الزاوية ﺟﻫﻭ زائد ١٣١ درجة يساوي ١٨٠ درجة. هذا يعني أن قياس الزاوية الناقصة ﺹ، أي الزاوية ﺟﻫﻭ، يساوي ٤٩ درجة. يمكننا إذن حساب قياس الزاوية ﺃﻫﺟ بجمع ٩٢ درجة و٤٩ درجة. وهذا يساوي ١٤١ درجة.

السؤال الأخير الذي سنتناوله يتضمن خصائص زوايا متوازي الأضلاع.

أوجد قياس الزاوية ﻭﻉﻫ.

يوضح الشكل متوازي أضلاع، حيث الضلعان ﻫﻭ وﻉﻝ متوازيان. والضلعان ﻫﻝ وﻭﻉ متوازيان أيضًا. إذن، يمكننا استخدام خصائص الزوايا المتعلقة بالمستقيمات المتوازية لإيجاد قياس الزاوية ﻭﻉﻫ. نبدأ بتذكر أن الزاويتين المتبادلتين متطابقتان. ويشار لهما عادة بأنهما الزاويتان اللتان تصنعان حرف 𝑍. في هذا السؤال، قياس الزاوية ﻝﻉﻫ يساوي قياس الزاوية ﻉﻫﻭ. كلاهما يساوي ٣١ درجة.

الشكل ﻫﻭﻉ عبارة عن مثلث. ونعلم أن مجموع قياسات زوايا المثلث يساوي ١٨٠ درجة. هذا يعني أن ﺱ زائد ٣١ زائد ١٠٦ يساوي ١٨٠. بتبسيط ذلك نحصل على ﺱ زائد ١٣٧ يساوي ١٨٠. وأخيرًا، بطرح ١٣٧ من طرفي المعادلة نحصل على ﺱ يساوي ٤٣. ومن ثم يمكننا استنتاج أن قياس الزاوية ﻭﻉﻫ يساوي ٤٣ درجة.

والآن، سنختتم هذا الفيديو بتلخيص نقاطه الرئيسية.

لدينا ثلاث خصائص رئيسية للزوايا المتعلقة بالمستقيمات المتوازية. الأولى هي أن الزاويتين المتناظرتين أو اللتين تصنعان حرف F متطابقتان. والزاويتان المتبادلتان متطابقتان أيضًا. وتعرفان بأنهما الزاويتان اللتان تصنعان حرف 𝑍. ومجموع قياسي الزاويتين الداخليتين أو المتكاملتين يساوي ١٨٠ درجة. وتعرفان أيضًا بأنهما الزاويتان اللتان تصنعان حرف c. عند حل أي مسائل تتضمن مستقيمات متوازية، علينا أن نكون على دراية أيضًا بخصائص المثلثات والأشكال الرباعية والمستقيمات والزوايا المتقابلة بالرأس.

تنص نظرية المستقيمات المتوازية على أنه عندما يقطع مستقيم قاطع مستقيمين متوازيين، تكون أزواج الزوايا المتناظرة متطابقة وأزواج الزوايا المتبادلة متطابقة. هذا موضح في هذا الشكل حيث المستقيمان ﻝ واحد وﻝ اثنان متوازيان والمستقيم ﻝ ثلاثة هو المستقيم القاطع. تكون الزوايا ﺃ، وﺟ، وﻫ، وﻉ متساوية في القياس، وكذلك الزوايا ﺏ، وﺩ، وﻭ، وﺯ متساوية في القياس. وتكون الزوايا الأربعة عند تقاطع المستقيمين ﻝ واحد وﻝ ثلاثة متطابقة مع الزوايا الأربعة عند تقاطع المستقيمين ﻝ اثنين وﻝ ثلاثة.