فيديو: المستقيمات المتوازية والقواطع: العلاقات بين الزوايا

في هذا الفيديو، سنتعلم أسماء أزواج الزوايا المختلفة المتكونة بواسطة مستقيمات متوازية وقواطع، وكيف نحددها ونتعرف على العلاقات بينها لإيجاد زاوية مجهولة.

١٤:٠٥

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سنتعلم أسماء أزواج الزوايا المختلفة المتكونة بواسطة مستقيمات متوازية وقواطع، وكيف نحددها ونتعرف على العلاقات بينها لإيجاد زاوية ناقصة. قبل النظر إلى المستقيمات المتوازية، سنتذكر بعض خصائص الزوايا الأخرى والعلاقات بينها.

لنبدأ بالنظر إلى الزاويتين المتقابلتين بالرأس. الزاويتان المتقابلتان بالرأس هما زاويتان تقعان بين خطين مستقيمين متقاطعين وتتشاركان في الرأس. عبارة «مستقيمان متقاطعان» تعبر عن مستقيمين يقطع أحدهما الآخر. بالنظر عن قرب إلى الزوايا الأربع الموضحة، يمكننا أن نرى أن لدينا زوجين من الزوايا المتساوية في القياس. الزاويتان ‪𝑎‬‏ و‪𝑐‬‏ متقابلتان بالرأس، والزاويتان ‪𝑏‬‏ و‪𝑑‬‏ متقابلتان بالرأس أيضًا. هذا يعني أن مجموع قياسي الزاويتين المتجاورتين ‪180‬‏ درجة. على سبيل المثال، ‪𝑎‬‏ زائد ‪𝑏‬‏ يساوي ‪180‬‏ درجة، و‪𝑐‬‏ زائد ‪𝑑‬‏ يساوي ‪180‬‏ درجة. وذلك لأن مجموع أي زاويتين على خط مستقيم يساوي ‪180‬‏ درجة.

ومجموع قياسات الزوايا الأربع الموضحة يساوي ‪360‬‏ درجة. وهذا لأن مجموع قياسات الزوايا في دائرة أو حول نقطة يساوي ‪360‬‏. أي إن قياس الزاوية ‪𝑎‬‏ زائد قياس الزاوية ‪𝑏‬‏ زائد قياس الزاوية ‪𝑐‬‏ زائد قياس الزاوية ‪𝑑‬‏ يساوي ‪360‬‏ درجة. سنتناول الآن حالة خطين مستقيمين متوازيين يقطعهما خط ثالث.

في هذا الشكل، لدينا خطان مستقيمان متوازيان، وهما ‪𝐿‬‏ واحد و‪𝐿‬‏ اثنان، وخط مستقيم قاطع ثالث، وهو ‪𝐿‬‏ ثلاثة، يقطع الخطين. وتكونت لدينا ثماني زوايا. ندرك أن هناك أربعة أزواج من الزوايا المتقابلة بالرأس، ‪𝑎‬‏ و‪𝑐‬‏، و‪𝑏‬‏ و‪𝑑‬‏، و‪𝑒‬‏ و‪𝑔‬‏، و‪𝑓‬‏ و‪ℎ‬‏.

ونظرًا لأن الخطين ‪𝐿‬‏ واحد و‪𝐿‬‏ اثنين متوازيان، فإن المجموعتين اللتين تتكون كل منهما من أربع زوايا بين ‪𝐿‬‏ ثلاثة و‪𝐿‬‏ واحد وبين ‪𝐿‬‏ ثلاثة و‪𝐿‬‏ اثنين ستكونان متطابقتين. هذا يعني أن الزوايا ‪𝑎‬‏ و‪𝑐‬‏ و‪𝑒‬‏ و‪𝑔‬‏ متساوية في القياس. وبالمثل، الزوايا ‪𝑏‬‏ و‪𝑑‬‏ و‪𝑓‬‏ و‪ℎ‬‏ متساوية في القياس. تقودنا هذه الحقائق إلى ثلاث علاقات يمكننا استخدامها لحل المسائل عند التعامل مع مستقيمات متوازية. زوج الزوايا المتطابقة الأول يسمى الزاويتين المتناظرتين أو اللتين تصنعان حرف ‪𝐹‬‏. وتقعان في موضعين متناظرين بالنسبة إلى المستقيم القاطع ‪𝐿‬‏ ثلاثة، وكل من المستقيمين المتوازيين ‪𝐿‬‏ واحد و‪𝐿‬‏ اثنين.

ثانيًا، لدينا زاويتان متبادلتان، وتعرفان أيضًا بأنهما الزاويتان اللتان تصنعان حرف ‪𝑍‬‏. تتكون هاتان الزاويتان بواسطة مستقيم قاطع ‪𝐿‬‏ ثلاثة، يقطع مستقيمين متوازيين ‪𝐿‬‏ واحد و‪𝐿‬‏ اثنين، وتقعان على جانبي ‪𝐿‬‏ ثلاثة، وبين ‪𝐿‬‏ واحد و‪𝐿‬‏ اثنين.

وأخيرًا، لدينا زاويتان داخليتان أو زاويتان تصنعان حرف ‪𝐶‬‏. على خلاف الزوايا المتناظرة والمتبادلة التي تكون متطابقة، فإن مجموع قياسي الزاويتين الداخليتين اللتين تصنعان حرف ‪𝐶‬‏ يساوي ‪180‬‏ درجة. وهذا يقودنا إلى نظرية المستقيمات المتوازية، التي تنص على أنه عندما يقطع مستقيم قاطع مستقيمين متوازيين، تكون أزواج الزوايا المتناظرة متطابقة وأزواج الزوايا المتبادلة متطابقة. سنتناول الآن بعض الأسئلة لنرى كيف يمكننا تطبيق هذه العلاقات.

في الشكل، المستقيم ‪𝐸𝑁‬‏ يقطع المستقيمين ‪𝐴𝐵‬‏ و‪𝐶𝐷‬‏ عند ‪𝑀‬‏ و‪𝐹‬‏، على الترتيب. أوجد قياس الزاوية ‪𝐸𝐹𝐶‬‏.

المستقيمان ‪𝐴𝐵‬‏ و‪𝐶𝐷‬‏ متوازيان كما هو موضح في الشكل. المستقيم ‪𝐸𝑁‬‏ عبارة عن مستقيم قاطع يقطع المستقيمين المتوازيين. مطلوب منا إيجاد قيمة الزاوية ‪𝐸𝐹𝐶‬‏. لحل هذا السؤال، سنستخدم خواص الزوايا المتعلقة بالمستقيمات المتوازية.

إننا نعرف أن الزاويتين المتقابلتين بالرأس متساويتان في القياس. هذا يعني أن قياس الزاوية ‪𝐸𝑀𝐵‬‏ يساوي قياس الزاوية ‪𝐴𝑀𝐹‬‏. وكلاهما يساوي ‪84‬‏ درجة. نعلم أيضًا أن مجموع الزاويتين الداخليتين أو المتكاملتين يساوي ‪180‬‏ درجة. ويشار لهما عادة بأنهما الزاويتان اللتان تصنعان حرف ‪𝐶‬‏، كما هو موضح في الشكل. مجموع قياسي الزاويتين ‪𝐴𝑀𝐹‬‏ و‪𝐸𝐹𝐶‬‏ يجب أن يكون ‪180‬‏ درجة. هذا يعني أن ‪84‬‏ زائد قياس الزاوية ‪𝐸𝐹𝐶‬‏ يساوي ‪180‬‏. بطرح ‪84‬‏ من طرفي هذه المعادلة، نجد أن قياس الزاوية ‪𝐸𝐹𝐶‬‏ يساوي ‪96‬‏. إذن، قياس الزاوية ‪𝐸𝐹𝐶‬‏ يساوي ‪96‬‏ درجة.

سنتناول الآن سؤالًا آخر يتعلق بالخطوط المستقيمة المتوازية.

أوجد قياس الزاوية ‪𝐶‬‏.

نلاحظ من الشكل أن المستقيم ‪𝐴𝐵‬‏ يوازي المستقيم ‪𝐶𝐷‬‏. في هذا السؤال، علينا أن نحسب قياس الزاوية ‪𝐶‬‏. نبدأ بالنظر إلى النقطة ‪𝐴‬‏، مع ملاحظة أن مجموع قياسات الزوايا حول نقطة أو في دائرة يساوي ‪360‬‏ درجة. إذا افترضنا أن الزاوية الناقصة هي ‪𝑥‬‏، فإن ‪𝑥‬‏ زائد ‪123‬‏ زائد ‪132‬‏ يساوي ‪360‬‏. وبتبسيط ذلك، نحصل على ‪𝑥‬‏ زائد ‪255‬‏ يساوي ‪360‬‏. بطرح ‪255‬‏ من طرفي هذه المعادلة، نحصل على ‪𝑥‬‏ يساوي ‪105‬‏. قياس الزاوية الناقصة عند النقطة ‪𝐴‬‏ يساوي ‪105‬‏ درجات.

وكما ذكرنا من قبل، المستقيمان ‪𝐴𝐵‬‏ و‪𝐶𝐷‬‏ متوازيان. وينتج عن المستقيم ‪𝐴𝐶‬‏ زاويتان داخليتان أو متكاملتان. وبما أن مجموع قياسيهما يساوي ‪180‬‏ درجة، فإن قياس الزاوية ‪𝑦‬‏ عند النقطة ‪𝐶‬‏ زائد ‪105‬‏ يجب أن يساوي ‪180‬‏. بطرح ‪105‬‏ من طرفي هذه المعادلة، نحصل على ‪𝑦‬‏ يساوي ‪75‬‏. يمكننا إذن استنتاج أن قياس الزاوية ‪𝐶‬‏ يساوي ‪75‬‏ درجة.

في السؤال الثالث لدينا مستقيمان متوازيان وشكل رباعي.

في الشكل الآتي، المستقيمان ‪𝐶𝐷‬‏ و‪𝐵𝐸‬‏ متوازيان. أوجد قياس الزاوية ‪𝐴𝐵𝐸‬‏.

نعلم من السؤال أن المستقيمين ‪𝐶𝐷‬‏ و‪𝐵𝐸‬‏ متوازيان. والمطلوب منا حساب قياس الزاوية ‪𝐴𝐵𝐸‬‏ التي نرمز لها بالحرف ‪𝑥‬‏. يمكننا أن نرى من الشكل أن ‪𝐴𝐵𝐶𝐷‬‏ شكل رباعي، له أربعة أضلاع. مجموع قياسات زوايا أي شكل رباعي يساوي ‪360‬‏ درجة. هذا يعني أن مجموع قياس الزاوية الناقصة ‪𝑦‬‏، و‪90‬‏ درجة، و‪131‬‏ درجة، و‪69‬‏ درجة يجب أن يساوي ‪360‬‏ درجة. بتبسيط الطرف الأيسر من المعادلة، نحصل على ‪𝑦‬‏ زائد ‪290‬‏ يساوي ‪360‬‏. وبطرح ‪290‬‏ من كلا الطرفين، نحصل على ‪𝑦‬‏ يساوي ‪70‬‏. إذن، الزاوية الناقصة في الشكل الرباعي قياسها ‪70‬‏ درجة.

يمكننا الآن استخدام حقيقة أن مجموع قياسي الزاويتين الداخليتين أو المتكاملتين يساوي ‪180‬‏ درجة. وتعرفان أحيانًا بأنهما الزاويتان اللتان تصنعان حرف ‪𝐶‬‏. في هذا السؤال، ‪70‬‏ زائد ‪69‬‏ زائد ‪𝑥‬‏ يجب أن يساوي ‪180‬‏. يمكن تبسيط ذلك ليصبح ‪𝑥‬‏ زائد ‪139‬‏ يساوي ‪180‬‏. وبطرح ‪139‬‏ من طرفي هذه المعادلة، نحصل على ‪𝑥‬‏ يساوي ‪41‬‏. يمكننا إذن استنتاج أن قياس الزاوية ‪𝐴𝐵𝐸‬‏ يساوي ‪41‬‏ درجة.

يتضمن السؤال التالي زاويتين متبادلتين أيضًا.

باستخدام المعطيات في الشكل التالي، أوجد قياس الزاوية ‪𝐴𝐸𝐶‬‏.

الزاوية ‪𝐴𝐸𝐶‬‏ موضحة في الشكل. ويمكن تقسيمها إلى مجموع قياسي زاويتين أخريين، الزاوية ‪𝐴𝐸𝐹‬‏ والزاوية ‪𝐶𝐸𝐹‬‏. يمكننا استخدام خصائص الزوايا المتعلقة بمستقيمات متوازية لحساب هاتين القيمتين. المستقيمات ‪𝐴𝐵‬‏ و‪𝐸𝐹‬‏ و‪𝐶𝐷‬‏ متوازية كما هو موضح في الشكل. ونعلم أن الزاويتين المتبادلتين متطابقتان. ويشار لهما أحيانًا بأنهما الزاويتان اللتان تصنعان حرف ‪𝑍‬‏. هذا يعني أن قياس الزاوية ‪𝐵𝐴𝐸‬‏ يساوي قياس الزاوية ‪𝐴𝐸𝐹‬‏. كلاهما يساوي ‪92‬‏ درجة.

مجموع قياسي الزاويتين الداخليتين أو المتكاملتين يساوي ‪180‬‏ درجة. وتعرفان عادة بأنهما الزاويتان اللتان تصنعان حرف ‪𝐶‬‏. في هذا السؤال، قياس الزاوية ‪𝐶𝐸𝐹‬‏ زائد ‪131‬‏ درجة يساوي ‪180‬‏ درجة. هذا يعني أن قياس الزاوية الناقصة ‪𝑦‬‏، أي الزاوية ‪𝐶𝐸𝐹‬‏، يساوي ‪49‬‏ درجة. يمكننا إذن حساب قياس الزاوية ‪𝐴𝐸𝐶‬‏ بجمع ‪92‬‏ درجة و‪49‬‏ درجة. وهذا يساوي ‪141‬‏ درجة.

السؤال الأخير الذي سنتناوله يتضمن خصائص زوايا متوازي الأضلاع.

أوجد قياس الزاوية ‪𝐹𝐺𝐸‬‏.

يوضح الشكل متوازي أضلاع، حيث الضلعان ‪𝐸𝐹‬‏ و‪𝐺𝐻‬‏ متوازيان. والضلعان ‪𝐸𝐻‬‏ و‪𝐹𝐺‬‏ متوازيان أيضًا. إذن، يمكننا استخدام خصائص الزوايا المتعلقة بالمستقيمات المتوازية لإيجاد قياس الزاوية ‪𝐹𝐺𝐸‬‏. نبدأ بتذكر أن الزاويتين المتبادلتين متطابقتان. ويشار لهما عادة بأنهما الزاويتان اللتان تصنعان حرف ‪𝑍‬‏. في هذا السؤال، قياس الزاوية ‪𝐻𝐺𝐸‬‏ يساوي قياس الزاوية ‪𝐺𝐸𝐹‬‏. كلاهما يساوي ‪31‬‏ درجة.

الشكل ‪𝐸𝐹𝐺‬‏ عبارة عن مثلث. ونعلم أن مجموع قياسات زوايا المثلث يساوي ‪180‬‏ درجة. هذا يعني أن ‪𝑥‬‏ زائد ‪31‬‏ زائد ‪106‬‏ يساوي ‪180‬‏. بتبسيط ذلك نحصل على ‪𝑥‬‏ زائد ‪137‬‏ يساوي ‪180‬‏. وأخيرًا، بطرح ‪137‬‏ من طرفي المعادلة نحصل على ‪𝑥‬‏ يساوي ‪43‬‏. ومن ثم يمكننا استنتاج أن قياس الزاوية ‪𝐹𝐺𝐸‬‏ يساوي ‪43‬‏ درجة.

والآن، سنختتم هذا الفيديو بتلخيص نقاطه الرئيسية.

لدينا ثلاث خصائص رئيسية للزوايا المتعلقة بالمستقيمات المتوازية. الأولى هي أن الزاويتين المتناظرتين أو اللتين تصنعان حرف ‪𝐹‬‏ متطابقتان. والزاويتان المتبادلتان متطابقتان أيضًا. وتعرفان بأنهما الزاويتان اللتان تصنعان حرف ‪𝑍‬‏. ومجموع قياسي الزاويتين الداخليتين أو المتكاملتين يساوي ‪180‬‏ درجة. وتعرفان أيضًا بأنهما الزاويتان اللتان تصنعان حرف ‪𝐶‬‏. عند حل أي مسائل تتضمن مستقيمات متوازية، علينا أن نكون على دراية أيضًا بخصائص المثلثات والأشكال الرباعية والمستقيمات والزوايا المتقابلة بالرأس.

تنص نظرية المستقيمات المتوازية على أنه عندما يقطع مستقيم قاطع مستقيمين متوازيين، تكون أزواج الزوايا المتناظرة متطابقة وأزواج الزوايا المتبادلة متطابقة. هذا موضح في هذا الشكل حيث المستقيمان ‪𝐿‬‏ واحد و‪𝐿‬‏ اثنان متوازيان والمستقيم ‪𝐿‬‏ ثلاثة هو المستقيم القاطع. تكون الزوايا ‪𝑎‬‏، و‪𝑐‬‏، و‪𝑒‬‏، و‪𝑔‬‏ متساوية في القياس، وكذلك الزوايا ‪𝑏‬‏، و‪𝑑‬‏، و‪𝑓‬‏، و‪ℎ‬‏ متساوية في القياس. وتكون الزوايا الأربعة عند تقاطع المستقيمين ‪𝐿‬‏ واحد و‪𝐿‬‏ ثلاثة متطابقة مع الزوايا الأربعة عند تقاطع المستقيمين ‪𝐿‬‏ اثنين و‪𝐿‬‏ ثلاثة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.