فيديو السؤال: إيجاد القيمة التي تكون للدالة عندها قيمة عظمى محلية وقيمة صغرى محلية من التمثيل البياني لمشتقتها الأولى الرياضيات

يوضح التمثيل البياني المشتقة الأولى ﺩ′ للدالة المتصلة ﺩ‏. عند أي قيم ﺱ تكون ﺩ لها قيمة عظمى محلية وقيمة صغرى محلية؟

٠٧:٠٣

‏نسخة الفيديو النصية

‏يوضح التمثيل البياني المشتقة الأولى ﺩ شرطة للدالة المتصلة ﺩ‏. عند أي قيم ﺱ تكون ﺩ لها قيمة عظمى محلية وقيمة صغرى محلية؟

بالنظر إلى التمثيل البياني، يمكنك معرفة أن القيمة العظمى المحلية هي عند ﺱ يساوي اثنين وﺱ يساوي خمسة، وأن القيمة الصغرى المحلية هي عند ﺱ يساوي ثلاثة وﺱ يساوي سبعة. لكننا نريد معرفة النقاط التي للدالة ﺩ بها قيمة عظمى محلية وقيمة صغرى محلية. والتمثيل البياني يوضح ﺩ شرطة، أي المشتقة الأولى لـ ﺩ، وليس الدالة ﺩ نفسها.

حسنًا، أوجدنا أن القيمة العظمى المحلية لـ ﺩ شرطة هي عند ﺱ يساوي اثنين وﺱ يساوي خمسة، والقيمة الصغرى المحلية لـ ﺩ شرطة هي عند ﺱ يساوي ثلاثة وﺱ يساوي سبعة. وهذا ليس بسهولة قراءة القيمة العظمى المحلية والقيمة الصغرى المحلية من التمثيل البياني المعطى. لكن يمكننا استخدام هذا التمثيل البياني لـ ﺩ شرطة لإيجاد القيمة العظمى المحلية والقيمة الصغرى المحلية للدالة ﺩ.

أولًا، سنستخدم نظرية فيرما، والتي تنص على أنه إذا كان للدالة ﺩ قيمة عظمى محلية أو قيمة صغرى محلية عند ﺟ وكانت ﺩ شرطة ﺟ موجودة، فإن ﺩ شرطة ﺟ تساوي صفرًا. يمكننا أن نرى أن ﺩ شرطة ﺟ موجودة لكل قيم ﺟ في التمثيل البياني. إذن، تقول لنا نظرية فيرما إن علينا النظر إلى قيم ﺟ التي تكون عندها ﺩ شرطة ﺟ مساوية للصفر. وهذا يقابل نقط تقاطع التمثيل البياني مع المحور ﺱ. وهذا عند ﺱ يساوي واحدًا وﺱ يساوي ستة وﺱ يساوي ثمانية.

بعدما أوجدنا قيم ﺟ التي تكون عندها ﺩ شرطة ﺟ مساوية للصفر، يمكننا قراءة نظرية فيرما مجددًا وتطبيقها على الدالة. إذا كانت للدالة ﺩ قيمة عظمى محلية أو قيمة صغرى محلية عند ﺟ، فإن ﺟ يساوي واحدًا أو ﺟ يساوي ستة أو ﺟ يساوي ثمانية. ومن ثم يمكننا رؤية أن هناك ثلاث قيم محتملة لـ ﺟ يكون لـ ﺩ عندها قيمة عظمى محلية أو قيمة صغرى محلية.

لكن بالرغم من ذلك، لا تقول لنا نظرية فيرما لكل من هذه القيم الثلاث لـ ﺟ إذا ما كان لـ ﺩ قيمة عظمى محلية أو قيمة صغرى محلية أو إذا ما لم يكن لها قيمة عظمى محلية أو قيمة صغرى محلية. ولهذا، نحتاج إلى اختبار المشتقة الأولى. إذا تغيرت إشارة ﺩ شرطة من موجب إلى سالب عند ﺟ، فإن لـ ﺩ قيمة عظمى محلية عند ﺟ. وإذا تغيرت إشارة ﺩ شرطة من سالب إلى موجب عند ﺟ، فإن لـ ﺩ قيمة صغرى محلية عند ﺟ. وإذا لم تتغير إشارة ﺩ شرطة عند ﺟ، فلن يكون لـ ﺩ قيمة عظمى محلية أو قيمة صغرى محلية عند ﺟ.

لنطبق اختبار المشتقة الأولى على أول عدد حرج لدينا، وهو ﺟ يساوي واحدًا. نعرف أنه عند ﺟ يساوي واحدًا، تكون ﺩ شرطة ﺟ مساوية للصفر. لكن ما إشارة ﺩ شرطة على كلا جانبي ﺟ؟ بالنظر إلى التمثيل البياني، يمكننا رؤية أن إشارة ﺩ شرطة تتغير من سالب إلى موجب عند ﺟ يساوي واحدًا. وبالنظر إلى اختبار المشتقة الأولى، نجد أن التمثيل البياني يفيد بأن ﺩ لها قيمة صغرى محلية عند ﺟ يساوي واحدًا.

حسنًا، والآن ماذا عن العدد الحرج الثاني، ﺟ يساوي ستة؟ ننظر إلى التمثيل البياني مرة أخرى. لكن هذه المرة، إشارة ﺩ شرطة تتغير من موجب إلى سالب عند ﺟ يساوي ستة. إذن، لـ ﺩ قيمة عظمى محلية عند ستة.

وأخيرًا، نستخدم العدد الحرج الأخير، ﺟ يساوي ثمانية؛ حيث نرى أن إشارة ﺩ شرطة تتغير من سالب إلى موجب. وبالمثل كما هو الحال عند ﺟ يساوي واحدًا، فإن لـ ﺩ قيمة صغرى محلية عند ثمانية. إذن ها هي إجابتنا: لـ ﺩ نقطة قيمة عظمى محلية عند ﺱ يساوي ستة ونقطتا قيمة صغرى محلية عند ﺱ يساوي واحدًا وﺱ يساوي ثمانية.

لقد استخدمنا نظرية فيرما لتوضيح أنه يمكن أن يكون لدينا قيمة عظمى محلية أو قيمة صغرى محلية لـ ﺩ عند الأعداد الحرجة واحد، وستة، وثمانية؛ عندما تكون مشتقة ﺩ مساوية للصفر. ثم طبقنا اختبار المشتقة الأولى عند كل من هذه الأعداد الحرجة لتحديد إذا ما كانت للدالة قيمة عظمى محلية أو قيمة صغرى محلية أو ليس لها أي منهما.

وليس المهم فقط أن تتمكنوا من تطبيق نظرية فيرما واختبار المشتقة الأولى، بل أن تتمكنوا كذلك من تذكرهما وفهم لم هما صحيحان بديهيًا. بالقرب من نقطة القيمة العظمى المحلية لدالة، يبدو التمثيل البياني للدالة بهذا الشكل؛ حيث تقع نقطة القيمة العظمى في أعلى المنحنى. يمكننا رؤية أن المماس للتمثيل البياني عند هذه القيمة العظمى المحلية أفقي، وبالتالي فإن ميله يساوي صفرًا. ولذلك يجب أن تكون مشتقة الدالة عند هذه النقطة مساوية للصفر.

ومن ثم إذا كانت القيمة العظمى المحلية على التمثيل البياني تقع عند النقطة ﺟ ﺩﺟ، فإن ﺩ شرطة ﺟ تساوي صفرًا. وينطبق الأمر نفسه على النقطة الصغرى المحلية. المماس للتمثيل البياني عند هذه النقطة أفقي، وبالتالي فإن ميله يساوي صفرًا. وبذلك تكون مشتقة الدالة عند تلك النقطة مساوية للصفر.

وبالنظر إلى الرسم، يبدو من المعقول أن نظرية فيرما تنطبق هنا. إذا كان لـ ﺩ نقطة قيمة عظمى محلية أو نقطة قيمة صغرى محلية عند ﺟ، فإن ﺩ شرطة ﺟ، أي مشتقة ﺩ عند ﺟ، تساوي صفرًا.

ماذا عن اختبار المشتقة الأولى؟ لننظر إلى رسم نقطة القيمة العظمى المحلية. لمماس التمثيل البياني عند قيمة ﺱ أقل من ﺟ ميل موجب، بينما عند قيمة ﺱ أعلى من ﺟ بقليل له ميل سالب. إذن، إشارة ﺩ شرطة تتغير من موجب إلى سالب عند ﺟ، بينما عند نقطة القيمة الصغرى المحلية تتغير إشارة ﺩ شرطة من السالب إلى الموجب.

لذا إذا لم تستطيعوا تذكر إذا ما كانت إشارة ﺩ شرطة تتغير من سالب إلى موجب أو العكس لتكون هذه نقطة عظمى محلية أو نقطة صغرى محلية باستخدام اختبار المشتقة الأولى، فلا داعي للقلق، فقط ارسموا شكلًا كما فعلنا هنا. وما عليك تذكره هو أن مشتقة الدالة ﺩ عند النقطة ﺱ هي ميل مماس التمثيل البياني للدالة ﺩ عند تلك النقطة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.