فيديو السؤال: اشتقاق الدوال التي تتضمن مقلوب نسب الدوال المثلثية والدوال الجذرية باستخدام قاعدة السلسلة الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

إذا كانت ﺹ تساوي الجذر التربيعي لـ ١٩ قتا ﺱ زائد ١٨، فأوجد ﺩﺹ على ﺩﺱ.

حسنًا، لدينا ﺹ دالة في المتغير ﺱ، ومطلوب منا إيجاد ﺩﺹ على ﺩﺱ. وهي المشتقة الأولى لـ ﺹ بالنسبة إلى ﺱ. إذن، علينا اشتقاق تعبير يدل على ﺹ بالنسبة إلى ﺱ. وبالنظر إلى هذا التعبير، يمكننا ملاحظة أنه الجذر التربيعي لدالة مثلثية. بعبارة أخرى، ﺹ هي دالة ناتجة عن تركيب دالتين. ولاشتقاق الدالة الناتجة عن تركيب دالتين، يمكننا استخدام قاعدة السلسلة، وسينجح ذلك. لكن بما أن الدالة الخارجية هي دالة أسية، فيمكننا فعل ذلك باستخدام قاعدة القوة العامة. في الواقع لا يهم أي طريقة سنستخدم؛ فكلتا الطريقتين ستعطياننا الإجابة نفسها؛ إنها مسألة تفضيل شخصي. في هذه الحالة، سنستخدم قاعدة القوة العامة.

لاستخدام قاعدة القوة العامة، سنحتاج أولًا إلى استخدام قوانين الأسس لإعادة كتابة ﺹ على الصورة ١٩ قتا ﺱ زائد ١٨ الكل أس نصف. دعونا نتذكر الآن قاعدة القوة العامة. تنص هذه القاعدة على أنه لأي ثابت حقيقي ﻥ ودالة قابلة للاشتقاق ﺩﺱ، إذا كان ﺹ يساوي ﺩﺱ الكل أس ﻥ، فإن ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي ﻥ في ﺩ شرطة ﺱ مضروبًا في ﺩﺱ الكل أس ﻥ ناقص واحد. ويمكننا هنا ملاحظة أن الدالة ﺹ مكتوبة على هذه الصورة؛ فالأس ﻥ يساوي نصفًا وﺩﺱ؛ وهي الدالة المثلثية الداخلية، تساوي ١٩ قتا ﺱ زائد ١٨.

لكن لاستخدام قاعدة القوة العامة، علينا أولًا إيجاد تعبير لـ ﺩ شرطة ﺱ. وﺩ شرطة ﺱ ستكون مشتقة ١٩ قتا ﺱ زائد ١٨ بالنسبة إلى ﺱ. وهناك بعض الطرق لإيجاد قيمة هذه المشتقة. على سبيل المثال، يمكننا إعادة كتابة قتا ﺱ باستخدام متطابقة فيثاغورس ليصبح واحدًا على جا ﺱ. ويمكننا اشتقاق ذلك باستخدام قاعدة القوة العامة أو قاعدة السلسلة، أو يمكننا فعل ذلك باستخدام قاعدة القسمة. وأي طريقة من هذه الطرق ستنجح. لكن، يمكننا أيضًا تذكر الناتج التالي لاشتقاق مقلوب الدوال المثلثية.

مشتقة قتا ﺱ بالنسبة إلى ﺱ تساوي سالب ظتا ﺱ مضروبًا في قتا ﺱ. ويمكننا استخدام ذلك لاشتقاق ﺩﺱ حدًّا تلو الآخر. في البداية، سنجد أن مشتقة ١٩ قتا ﺱ بالنسبة إلى ﺱ ستساوي سالب ١٩ ظتا ﺱ في قتا ﺱ. ونعرف بعد ذلك أن مشتقة الثابت ١٨ بالنسبة إلى ﺱ ستساوي صفرًا.

والآن بعد أن أوجدنا تعبيرًا لـ ﺩ شرطة، ونعلم قيمة ﻥ وتعبيرًا للدالة ﺩﺱ، يمكننا استخدام قاعدة القوة العامة لإيجاد قيمة ﺩﺹ على ﺩﺱ. بالتعويض بما لدينا من تعبيرات لـ ﺱ، وﺩ شرطة ﺱ، وﻥ يساوي نصفًا في قاعدة القوة العامة، نحصل على ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي نصفًا في سالب ١٩ ظتا ﺱ في قتا ﺱ مضروبًا في ١٩ قتا ﺱ زائد ١٨، الكل أس نصف ناقص واحد.

يمكننا تبسيط ذلك. بالنسبة إلى الأس لدينا، نصف ناقص واحد يساوي سالب نصف. يمكننا بعد ذلك تبسيط المعامل. لكن تذكر أنه وفقًا لقوانين الأسس، نجد أن ﺃ أس سالب نصف يساوي واحدًا مقسومًا على الجذر التربيعي لـ ﺃ. لذا بدلًا من الضرب في ١٩ قتا ﺱ زائد ١٨ الكل أس سالب نصف، يمكننا القسمة على الجذر التربيعي لـ ١٩ قتا ﺱ زائد ١٨.

وعندما نفعل ذلك ونعيد الترتيب قليلًا، نحصل على الحل النهائي. إذن، باستخدام قاعدة القوة العامة، تمكنا من توضيح أنه إذا كان ﺹ يساوي الجذر التربيعي لـ ١٩ قتا ﺱ زائد ١٨، فإن ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي سالب ١٩ ظتا ﺱ في قتا ﺱ الكل مقسومًا على اثنين في الجذر التربيعي لـ ١٩ قتا ﺱ زائد ١٨.