نسخة الفيديو النصية
في هذا الدرس، سوف نتناول النمو والتضاؤل الأسي. قبل متابعة الفيديو، ينبغي أن تكون على دراية بالعلاقات الخطية والنمو الخطي بالفعل. سوف نتعلم أيضًا كيف نتعرف على النمو والتضاؤل الأسي في جداول القيم، والمعادلات، والأوصاف. هيا نبدأ بمثال على نموذج النمو الثابت أو دالة خطية.
تصنع آنا مقعدين كل يوم. في البداية، لم تكن قد صنعت أي مقاعد على الإطلاق. بعد يوم واحد، صنعت آنا مقعدين. بعد يومين، أصبح عدد المقاعد أربعة. بمرور ثلاثة أيام، وصل عدد المقاعد إلى ستة، وهكذا. هذا ما نسميه نموذجًا للنمو الثابت. في كل مرة نضيف واحدًا إلى عدد الأيام التي مرت، فإننا نضيف اثنين إلى عدد المقاعد التي صنعتها آنا. وسواء انتقلنا من اليوم الأول إلى اليوم الثاني أو من اليوم الـ ٥٠٠ إلى اليوم الـ ٥٠١، فسيكون عدد المقاعد الإضافية دائمًا اثنين في كل يوم إضافي.
والآن، يمكننا استخدام الأيام باعتبارها قيم الإحداثي ﺱ، وإجمالي عدد المقاعد باعتباره قيم الإحداثي ﺹ، ويمكننا رسم تمثيل بياني. وإذا وصلنا بين النقاط، فإن التمثيل البياني سيبدو هكذا. معادلة هذا الخط هي ﺹ يساوي اثنين ﺱ. أو لنكتبها في صورة: ﺹ يساوي اثنين ﺱ زائد صفر، في الوقت الحالي. يخبرنا معامل الضرب ﺱ بميل هذا التمثيل البياني. وهو ما يعني أنه إذا قمنا بزيادة الإحداثي ﺱ بمقدار واحد، فسيزداد الإحداثي ﺹ المناظر له بمقدار اثنين. الميل يساوي اثنين. كما أن «زائد صفر» الموجود عند الطرف يخبرنا بالموضع الذي يقطع عنده هذا الخط المحور ﺹ. كونه يساوي صفرًا يعني أنه عند ﺱ يساوي صفرًا، فإن ﺹ يساوي صفرًا أيضًا.
وكون هذا خطًّا مستقيمًا يعني أننا نحصل على الزيادة نفسها في قيمة ﺹ مقابل الزيادة نفسها في قيمة ﺱ، بغض النظر عن الموضع على الخط. لذا سواء أكنا نتحدث عن هنا أو هنا أو هنا أو هنا، سيبقى الميل دائمًا كما هو، ومعدل الزيادة سيبقى هو نفسه دائمًا. الآن، النقطة الأساسية التي يجب توضيحها هنا هي أن هذا هو النمو الثابت أو النمو الخطي. وليس النمو الأسي.
سنلقي نظرة على ذلك لاحقًا. لنفكر الآن في حالة مختلفة.
في المختبر، يحتوي طبق بتري على عدد ٥٠٠ من البكتيريا التي تتكاثر. يزداد عدد البكتيريا بنسبة ٥٠ بالمائة كل ساعة. الآن، يمكنك أن ترى جدولًا من القيم التي توضح عدد البكتيريا خلال الساعات الخمس الأولى. لقد قربنا هذه الأعداد في الصف الثاني هنا؛ أي عدد البكتيريا، لأقرب عدد كلي. بالنظر إلى الأعداد الموجودة في الجدول، نلاحظ أن كل ساعة نزيد عدد البكتيريا بنسبة ٥٠ بالمائة. ورغم أننا نطبق نفس نسبة الزيادة كل ساعة؛ أي ٥٠ بالمائة، لأننا نحصل على المزيد من البكتيريا بمرور الوقت، إلا أن نسبة الـ ٥٠ بالمائة التي نضيفها تزداد تدريجيًّا. أي إن نسبة الزيادة التي تحدث كل ساعة تصبح أكبر. فمعدل الزيادة آخذ في النمو. ونطلق على هذا النوع من الحالات النمو الأسي.
ولمعرفة عدد البكتيريا لدينا في الساعة التالية، علينا ضرب عدد البكتيريا في الساعة الأخيرة في ١٫٥. على سبيل المثال، بالانتقال من الساعة الأولى إلى الساعة الثانية، نبدأ بـ ٧٥٠ من البكتيريا، بينما في الساعة الثانية سيكون لدينا ١٠٠ بالمائة من عدد البكتيريا الأصلي و٥٠ بالمائة إضافية منه. لذا، يصبح مقدار البكتيريا لدينا هو ١٥٠ بالمائة من ٧٥٠. ١٥٠ بالمائة تعني ١٥٠ مقسومة على ١٠٠. أي ما يساوي ١٫٥. وعليه، فمعامل الضرب اللازم لإيجاد قيمة ١٥٠ بالمائة من شيء ما يساوي ١٫٥.
إذن ١٫٥ هو النسبة المشتركة. في كل ساعة، نضرب عدد البكتيريا في ١٫٥ لإيجاد عددها في الساعة التالية. وهو ما يجعل من ذلك متتابعة هندسية. لذا سنبدأ في الساعة صفر بـ ٥٠٠ بكتيريا. بعد ساعة، سيصبح لدينا ٥٠٠ مضروبًا في ١٫٥ من البكتيريا. بعد مرور ساعة أخرى، سنأخذ العدد بعد الساعة الأولى، ونضربه في ١٫٥. وبعد ساعة، نضرب هذا الرقم في ١٫٥، وهكذا. حسنًا، هذا يعني أنه بعد ساعة واحدة سنضرب ٥٠٠ في ١٫٥ مرة واحدة، وهو ما يمكننا كتابته على هذا النحو. ٥٠٠ في ١٫٥ أس واحد. بعد ساعتين، ضربنا في ١٫٥ مرتين، وهو ما يمكننا كتابته على هذا النحو. ٥٠٠ في ١٫٥ تربيع. بعد ثلاث ساعات، سيكون لدينا ٥٠٠ في ١٫٥ تكعيب. بعد أربع ساعات، سيكون لدينا ٥٠٠ في ١٫٥ أس أربعة.
والآن، العدد الأول هنا، يمكننا القول إنه العدد نفسه مضروبًا في واحد. حسنًا، ١٫٥ أس صفر يساوي واحدًا. وتوجد طريقة أخرى لكتابة ذلك، وهي ٥٠٠ في ١٫٥ أس صفر. وعليه، يصبح النمط، بعد صفر ساعة، يساوي ٥٠٠ في ١٫٥ أس صفر. وبعد ساعة واحدة، يصبح ٥٠٠ في ١٫٥ أس واحد. بعد ساعتين، يصبح لدينا ٥٠٠ في ١٫٥ أس اثنين، وهكذا. وبعد ثلاث ساعات يصبح أس ثلاثة، وبعد أربع ساعات يصبح أس أربعة.
الآن، يمكننا تلخيص ذلك في صيغة. إذا افترضنا أن ﺱ هي عدد الساعات التي مرت، فإن عدد البكتيريا التي في طبق بتري سيكون ٥٠٠ في ١٫٥ أس ﺱ. تذكر أن ٥٠٠ هو القيمة الابتدائية لعدد البكتيريا، و١٫٥ هو معامل الضرب لكل ساعة. لأننا نضيف ٥٠ بالمائة، فعلينا الضرب في ١٫٥. هذه الصيغة هي ما نسميها النمو الأسي. وإذا رسمنا ذلك على صورة تمثيل بياني، فهذا هو ما يبدو عليه.
لاحظ أنه في الساعة الأولى يزيد عدد البكتيريا بمقدار ٢٥٠. لكن بين الساعة الرابعة والساعة الخامسة، على الرغم من أننا ما زلنا نزيد عدد البكتيريا بنسبة ٥٠ بالمائة، فإن الزيادة في عدد البكتيريا تبلغ الآن ١٢٦٦، مقربة لأقرب عدد كلي. فمعدل النمو آخذ في التزايد. هذا المنحنى يزداد انحدارًا أكثر فأكثر. وبمقارنة ذلك بنموذج معدل النمو الثابت، يمكنك أن ترى أن منحنى النمو الأسي يبعد أكثر فأكثر عن منحنى النمو الثابت. لهذا الخط هنا، نضيف فقط ٢٥٠ إلى عدد البكتيريا كل ساعة، بينما في هذا المنحنى، نضيف ٥٠ بالمائة إلى عدد البكتيريا أيًّا كانت الكمية في بداية تلك الساعة.
إذن هذه هي الصيغة العامة للنمو الأسي. ﺹ هي المقدار الابتدائي مضروبًا في معامل الضرب أس ﺱ. ومن هنا يأتي اسم «النمو الأسي»؛ لأنه أس ﺱ في الصيغة. بحيث يخبرنا الأس ﺱ بعدد المرات التي نضرب فيها المقدار الابتدائي في معامل الضرب. جدير بالذكر أيضًا أنه عند ﺱ يساوي صفرًا، فإن معامل الضرب أس صفر يساوي واحدًا. بذلك نحصل على القيمة الابتدائية. ولذلك نتيجة أخرى مثيرة للاهتمام، وهي أنه إذا كان معامل الضرب أكبر من واحد، فإننا نحصل على نمو أسي. تزداد قيم ﺹ تدريجيًّا كلما ازدادت قيمة ﺱ. وسنضيف النسبة المئوية نفسها للمقادير الأكبر عند كل زيادة مقابلة في ﺱ. بمعنى أن الزيادات الفعلية نفسها ستكون أكبر. فكلما كان معامل الضرب أكبر، زادت سرعة تحرك المنحنى نحو الأعلى أيضًا.
وإذا كان معامل الضرب يساوي واحدًا، فإننا نحصل على خط مستقيم مسطح ثابت. إذن، لا يهم عدد المرات التي نضرب فيها اثنين في واحد، فسوف نحصل على اثنين في كل مرة. إذن في هذه المعادلة، لدينا قيمة ابتدائية تساوي اثنين ومعامل الضرب لدينا يساوي واحدًا. لكن بمجرد أن يصبح معامل الضرب أكبر من واحد، نحصل على منحنى نمو أسي. وكلما زاد معامل الضرب، زادت سرعة تحرك المنحنى نحو الأعلى. وعندما تكون معاملات الضرب أكبر، تزداد إحداثيات ﺹ بشكل كبير جدًّا وبسرعة كبيرة جدًّا. وتجدر الإشارة هنا أيضًا إلى أنه عندما يكون معامل الضرب بين صفر وواحد، فإننا نحصل على تضاؤل أسي. أي إننا فعليًّا نقلل الإحداثي ﺹ بنسبة مئوية ثابتة في كل مرة ينمو فيها ﺱ بمقدار معين.
وتجدر الملاحظة أيضًا أنه في حالة التضاؤل الأسي، فإننا نقلل الإحداثي ﺹ بالنسبة المئوية نفسها في كل مرة. إذن، سيكون لدينا تناقصات أصغر فأصغر. ولن نصل إلى الصفر مطلقًا إذا بدأنا بعدد موجب. ولن نحصل أيضًا على إجابة سالبة. ويقترب الإحداثي ﺹ أكثر فأكثر من الصفر. وهذا التأثير؛ أي اقتراب المنحنى أكثر فأكثر من المحور ﺱ دون الوصول إليه مطلقًا، يسمى بالتقارب. إذن المحور ﺱ هنا هو خط تقارب. إنه الخط الذي يقترب منه المنحنى أكثر فأكثر، لكنه لا يمسه أبدًا.
لنلخص الآن ما تعلمناه. الصيغة العامة للنمو الأسي أو التضاؤل الأسي تكون على هذه الصورة. ﺹ يساوي مقدارًا ابتدائيًّا مضروبًا في معامل للضرب مرفوعًا للقوة ﺱ؛ أي أس ﺱ. قيمة معامل الضرب هي عامل أساسي في تحديد إذا ما كان النمو ثابتًا أو عبارة عن نمو أو تضاؤل أسي. إذا كان معامل الضرب يقع بين صفر وواحد، فإننا نحصل على تضاؤل أسي. ويقترب الإحداثي ﺹ أكثر فأكثر من الصفر دون أن يصل إليه مطلقًا. فإذا كان معامل الضرب يساوي واحدًا، فلا نحصل على نمو أو تضاؤل أسي. نحصل على قيمة ثابتة فقط؛ لأننا لا نقوم إلا بضرب القيمة الابتدائية في واحد عدة مرات. وإذا كان معامل الضرب أكبر من واحد، فإننا نحصل على نمو أسي. يصبح الإحداثي ﺹ أكبر فأكبر بمعدل متزايد.
والآن، دعونا نحاول التعرف على بعض حالات النمو والتضاؤل الأسي من بعض جداول القيم والأوصاف وبعض المعادلات.
لدينا هنا قيم ﺱ: صفر، وواحد، واثنان، وثلاثة. وقيم ﺹ المناظرة لها هي: ١٠، ٢٠، ٤٠، ٨٠. والآن تشهد الزيادات نموًّا مع زيادة ﺱ بمقدار واحد. إذن يوجد نمو، ويوجد نمو متزايد. لكن العامل المهم هنا هو أنه عند زيادة ﺱ بمقدار واحد، نضاعف دائمًا قيمة الإحداثي ﺹ. لدينا النسبة المشتركة اثنان بين هذين الحدين. وهذا يجعل من ذلك متتابعة هندسية.
والأمر المهم الآن هو أنه عند ﺱ يساوي واحدًا، ضربت القيمة الابتدائية لـ ﺹ في اثنين مرة واحدة. وعند ﺱ يساوي اثنين، ضربت القيمة الابتدائية لـ ﺹ في اثنين مرتين. بينما عند ﺱ يساوي ثلاثة، ضربت القيمة الابتدائية لـ ﺹ في اثنين ثلاث مرات. إذن، لدينا صيغة تبدو هكذا. ﺹ يساوي ١٠؛ أي القيمة الابتدائية، مضروبًا في اثنين؛ أي المضاعف، أس ﺱ. وهو ما يجعل منه نموًّا أسيًّا. وتكون الصيغة على صورة النمو الأسي. لدينا مقدار ابتدائي هو ١٠، ومعامل الضرب أكبر من واحد. إذن، الإجابة هي نمو أسي.
في المثال الآتي، لدينا نفس إحداثيات ﺱ: صفر، وواحد، واثنان، وثلاثة. وإحداثيات ﺹ المناظرة لها، وهي: ١٠، ٢٠، ٦٠، ٢٤٠. تزداد الآن إحداثيات ﺹ. ولا تزداد بمعدل ثابت بل بمعدل متزايد. إذن، فهي ليست علاقة خطية. ويحتمل أن يكون هذا نموًّا أسيًّا. لذا، لدينا نمو متزايد، لكن ليس لدينا النسبة المشتركة نفسها. إذا كنا ننتقل من ﺱ يساوي صفرًا إلى ﺱ يساوي واحدًا، فإننا نضاعف الإحداثي ﺹ. وبين ﺱ يساوي واحدًا، وﺱ يساوي اثنين، نزيد الإحداثي ﺹ ثلاثة أمثال. وبين ﺱ يساوي اثنين، وﺱ يساوي ثلاثة، نضرب إحداثيات ﺹ في أربعة.
إذن، بما أنه لا توجد نسبة مشتركة، وفق هذه الصيغة هنا: ﺹ تساوي القيمة الابتدائية مضروبة في معامل ضرب ما أس ﺱ، لن يكون لدينا معامل ضرب مشترك. إذن، هذا لا يصلح. إنه ليس نموًّا أسيًّا.
الآن، في هذه الحالة، لدينا الإحداثيات ﺱ نفسها، وإحداثيات ﺹ متزايدة. لكن معدل زيادة الإحداثي ﺹ هنا هو معدل خطي؛ لأنه يزيد دائمًا بالمقدار نفسه؛ أي ١٠. إذن، تزيد إحداثيات ﺹ بالمقدار نفسه. معاملات الضرب ليست ثابتة؛ إنها تتجه لأسفل. إذن، فهو ليس نموًّا أسيًّا، بل نموًّا خطيًّا.
وباستخدام هذه المجموعة من البيانات، بما أن إحداثيات ﺱ تزيد بمقدار واحد في كل مرة، فإن إحداثيات ﺹ تتناقص. لكنها تتناقص أكثر فأكثر في كل مرة. في الواقع، كل حد لـ ﺹ يساوي نصف حد ﺹ السابق له. يمكننا الآن كتابة صيغة عامة لهذه الأعداد على هذه الصورة. لدينا ﺹ يساوي القيمة الابتدائية ٣٢ مضروبة في معامل ضرب النسبة المشتركة ٠٫٥ أس ﺱ. ويقع معامل الضرب هذا بين صفر وواحد. وهذه المجموعة من العوامل تخبرنا بأن لدينا تضاؤلًا أسيًّا.
ثمة برنامج ادخاري يدفع فائدة بمعدل ٠٫٩ بالمائة سنويًّا. هل هذا يمثل نموًّا خطيًّا أم أسيًّا؟
حسنًا، بمعدل فائدة ٠٫٩ بالمائة، فإنه برنامج ادخاري ليس سخيًّا للغاية. لكن في كل عام، سيكون لديك ١٠٠ بالمائة مما كان لديك العام الماضي زائد ٠٫٩ بالمائة. لذا في نهاية إحدى السنوات، سيكون لديك ١٠٠٫٩ بالمائة من المبلغ الذي كان لديك في نهاية السنة السابقة. تذكر أن ١٠٠٫٩ بالمائة تعني ١٠٠٫٩ مقسومًا على ١٠٠؛ أي إنه لإيجاد نسبة مئوية، لدينا معامل ضرب يساوي ١٠٠٫٩. ١٫٠٠٩ أكبر من واحد، إذن هذا سيكون نموًّا أسيًّا.
لنلق نظرة على الصيغة. أولًا، علينا تعريف بعض المتغيرات. افترض أن ﺱ يساوي عدد السنوات. وﺹ تساوي المبلغ في حساب المدخرات بالدولار. و𝑎 هو المبلغ الابتدائي الذي استثمرناه في هذا الحساب بالدولار. إذن، سيصبح مبلغ المدخرات التي لدينا في الحساب، بعد السنة ﺱ، هو المبلغ الابتدائي ١٫٠٠ في ١٫٠٠٩؛ أي معامل الضرب، أس ﺱ. ومعامل الضرب أكبر من واحد. وهو ما يعني أن النمو سيكون أسيًّا.
بعد ذلك، هل الدالة الأسية ﺹ تساوي ٠٫٧ في ١٫٣ أس ﺱ تتزايد أم تتضاءل؟
حسنًا، يخبرنا السؤال بأنها دالة أسية، كما ينطبق عليها النمط. القيمة الابتدائية هي ٠٫٧، ومعامل الضرب يساوي ١٫٣. وبالطبع، ١٫٣ أكبر من واحد، وهو ما يخبرنا بأن لدينا نموًّا أسيًّا. من ثم، فإن إجابة هذا السؤال أن الدالة متزايدة. أعد هذا السؤال ليكون سؤالًا مخادعًا بعض الشيء. القيمة الابتدائية هنا تقع بين صفر وواحد. لكن تذكر أن قيمة معامل الضرب هي الأمر الحاسم في تحديد إذا ما كان هذا نمو أم تضاؤل أسي. وبما أن معامل الضرب أكبر من واحد، فقد كان هذا النمو أسيًّا.
لدينا سؤال أخير: ﺹ يساوي ستة أس ﺱ. هل هذا يمثل نموًّا أم تضاؤلًا أسيًّا أم خطيًّا؟
مرة أخرى، هذا سؤال مخادع بعض الشيء؛ لأن هذه الصيغة ليست بالصيغة التي اعتدنا عليها، لكن يمكننا كتابتها بهذه الطريقة. وهذا يتطابق مع ﺹ يساوي واحدًا في ستة أس ﺱ. القيمة الابتدائية تساوي واحدًا، ومعامل الضرب أكبر من واحد. ويتبع ذلك الصيغة العامة للمعادلة الأسية. لذا، ينطبق عليها النمو الأسي من جميع النواحي.
