فيديو السؤال: إيجاد معكوس مدور المصفوفة الرياضيات

إذا كان ﺃ⁻^١ = [١‎، ١١‎، ٥‎، ١٧]، فأوجد (ﺃ^(مد))⁻^١.

٠٤:١٥

‏نسخة الفيديو النصية

إذا كان معكوس المصفوفة ﺃ هو المصفوفة التي رتبتها اثنان في اثنين: واحد، ١١، خمسة، ١٧، فأوجد معكوس مدور المصفوفة ﺃ.

في هذا السؤال، لدينا معكوس المصفوفة ﺃ. ومطلوب منا استخدام ذلك لإيجاد معكوس مدور المصفوفة ﺃ. ويوجد العديد من الطرق المختلفة التي يمكننا من خلالها إيجاد ذلك. على سبيل المثال، بما أن لدينا معكوس المصفوفة ﺃ، فيمكننا عكس هذه المصفوفة لإيجاد المصفوفة ﺃ، وإيجاد مدور هذه المصفوفة، ثم عكس ذلك مرة أخرى لإيجاد معكوس مدور المصفوفة ﺃ. وعلى الرغم من أن هذه الطريقة يمكن أن تعطينا الإجابة الصحيحة، ففي الواقع توجد طريقة أسهل باستخدام خصائص معكوسات المصفوفات.

يمكننا، في الواقع، الإجابة عن هذا السؤال بتذكر أنه في أي مصفوفة ﺃ قابلة للعكس، يكون معكوس مدور المصفوفة ﺃ يساوي مدور معكوس المصفوفة ﺃ. وبالطبع، تخبرنا معطيات السؤال أن ﺃ قابلة للعكس. لذا يمكننا استخدام ذلك لحل السؤال. معكوس مدور المصفوفة ﺃ، هو نفسه مدور معكوس المصفوفة ﺃ. يمكننا إذن التعويض بالمصفوفة التي رتبتها اثنان في اثنين المعطاة عن معكوس المصفوفة ﺃ في هذا التعبير. فنحصل على مدور المصفوفة التي رتبتها اثنان في اثنين: واحد، ١١، خمسة، ١٧.

والآن، لم يتبق لدينا سوى إيجاد مدور هذه المصفوفة. ونتذكر أنه لتدوير المصفوفة، علينا كتابة صفوف هذه المصفوفة لتحل محل أعمدة المصفوفة الجديدة. إذن، سيساوي العمود الأول من مدور المصفوفة واحدًا، و١١، والعمود الثاني يساوي خمسة، و١٧. وهذا يعطينا الإجابة النهائية. معكوس مدور المصفوفة ﺃ هو المصفوفة التي رتبتها اثنان في اثنين: واحد، خمسة، ١١، ١٧. وهذا يكفي للإجابة عن أسئلتنا، ومن ثم يمكننا التوقف هنا. ولكن، يمكننا أيضًا مناقشة سبب صحة هذه الخاصية في المقام الأول.

ولمعرفة السبب الذي يجعل هذه الخاصية صحيحة، علينا إثباتها. لنبدأ بالمصفوفة ﻡ القابلة للعكس. وبما أن المصفوفة ﻡ قابلة للعكس، فإنه يمكن إيجاد معكوس المصفوفة ﻡ. وعلى وجه التحديد، فإن المصفوفة ﻡ مضروبة في معكوسها تساوي مصفوفة الوحدة. يمكننا تدوير طرفي هذه المعادلة، ما يعطينا المعادلة الآتية. يمكننا تبسيط الطرف الأيمن من هذه المعادلة بملاحظة أننا نأخذ مدور حاصل ضرب المصفوفتين. ونتذكر أن هذا هو نفسه تبديل ترتيب حاصل الضرب وأخذ مدور كل مصفوفة على حدة. فهو نفسه مدور معكوس المصفوفة ﻡ مضروبًا في مدور المصفوفة ﻡ.

يمكننا إيجاد قيمة الطرف الأيسر من هذه المعادلة بملاحظة أننا ندور مصفوفة الوحدة. وتذكر أن مصفوفة الوحدة هي مصفوفة قطرية. وهذا يسمح لنا بإيجاد مدورها. ويساوي المصفوفة نفسها، أي مصفوفة الوحدة. وهذا يسمح لنا بملاحظة أمر مثير للاهتمام. إننا نضرب مصفوفتين معًا، وحاصل ضربهما هنا هو مصفوفة الوحدة، وهو ما يعني أن كل مصفوفة منهما لا بد أن تكون معكوسًا للأخرى. وعلى وجه التحديد، هذا يعني أن مدور معكوس المصفوفة ﻡ يساوي معكوس مدور المصفوفة ﻡ. وبذلك، نكون قد أثبتنا أن هذا ينطبق على أي مصفوفة ﻡ قابلة للعكس. ويمكننا تطبيق هذا على السؤال لتوضيح أن معكوس مدور المصفوفة ﺃ هو المصفوفة التي رتبتها اثنان في اثنين: واحد، خمسة، ١١، ١٧.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.