فيديو السؤال: إيجاد إحداثيات النقاط على قطعة مستقيمة وإيجاد معادلة خط مستقيم الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

تقع رءوس مضلع رباعي عند النقاط ﺃ سالب خمسة، ثلاثة؛ ﺏ صفر، سالب اثنين؛ ﺟ سالب اثنين، سالب ستة؛ د سالب ثمانية، سالب اثنين. بينما تقع النقطة ﻫ على القطعة المستقيمة ﺃﺟ بحيث تكون النسبة بين طولي ﺃﻫ وﺟﻫ هي واحدًا إلى اثنين. وتقع النقطة و على القطعة المستقيمة ﺏد بحيث تكون النسبة بين طولي ﺏو ودو هي واحدًا إلى ثلاثة. أوجد إحداثيات النقطة ﻫ. أوجد إحداثيات النقطة و. أوجد ميل الخط المستقيم ﻫو. أوجد معادلة الخط المستقيم ﻫو، على الصورة ﺹ يساوي ﻡﺱ زائد ﺟ.

يبدو من المنطقي أن نبدأ برسم إحداثيات النقاط الأربع المعطاة لنا في المضلع الرباعي. يمكننا بعد ذلك توصيل النقاط الأربع لتكوين المضلع الرباعي ﺃﺏﺟد. يمكننا الآن أن نبدأ بالنظر إلى الجزء الأول من السؤال الذي يطلب منا إيجاد إحداثيات النقطة ﻫ.

نعلم أن النقطة ﻫ تقع على القطعة المستقيمة ﺃﺟ. علينا تحديد إحداثيات النقطة ﻫ، بحيث تكون النسبة بين طولي القطعتين المستقيمتين ﺃﻫ، ﺟﻫ واحدًا إلى اثنين. لفعل ذلك، يمكننا استخدام صيغة التقسيم. تمكننا صيغة التقسيم من إيجاد إحداثيات النقطة التي تقسم القطعة المستقيمة بنسبة معطاة. إذن لدينا هنا النقطة ﻫ، التي تقسم القطعة المستقيمة بين ﺃ، ﺟ بنسبة واحد إلى اثنين. قد يكون من المفيد تحديد قيم ﺱ واحد، ﺹ واحد؛ ﺱ اثنين، ﺹ اثنين؛ ﻡ واحد، ﻡ اثنين، التي سنعوض بها في صيغة التقسيم.

وعليه، فإن قيمة الإحداثي ﺱ للنقطة ﻫ تساوي واحدًا في سالب اثنين زائد اثنين في سالب خمسة على اثنين زائد واحد. وقيمة الإحداثي ﺹ تساوي واحدًا في سالب ستة زائد اثنين في ثلاثة على اثنين زائد واحد. بالتبسيط، يصبح لدينا النقطة سالب اثنين ناقص ١٠ على ثلاثة، سالب ستة زائد ستة على ثلاثة. هذا يعطينا سالب ١٢ على ثلاثة، وهو ما يساوي سالب أربعة. وقيمة الإحداثي ﺹ، وهي صفر على ثلاثة، وهو ما يساوي صفرًا. وبذلك نكون قد عرفنا الآن أن النقطة ﻫ تقع على المحور ﺱ. وأوجدنا إجابة الجزء الأول من السؤال.

سنفرغ الآن بعض المساحة للنظر في حل الجزء الثاني من السؤال. في هذا الجزء من السؤال مطلوب منا إيجاد إحداثيات النقطة و التي تقع على القطعة المستقيمة ﺏد. والنسبة بين ﺏو، ودو تساوي واحدًا إلى ثلاثة. لاحظ أنه إذا فعلنا ذلك على الشكل، فستظهر النسبة ثلاثة إلى واحد؛ حيث يمثل طول ﺏو جزءًا واحدًا من النسبة، ويمثل طول دو ثلاثة أجزاء. سنطبق صيغة التقسيم مرة أخرى للإجابة عن هذا السؤال وإيجاد إحداثيات النقطة و.

يمكننا تحديد قيم ﺱ واحد، ﺹ واحد؛ ﺱ اثنين، ﺹ اثنين؛ ﻡ واحد، ﻡ اثنين من إحداثيات النقطتين ﺏ، د، ومن النسبة واحد إلى ثلاثة. بالتعويض بهذه القيم في صيغة التقسيم، نحصل على و يساوي واحدًا في سالب ثمانية زائد ثلاثة في صفر على ثلاثة زائد واحد. والإحداثي ﺹ يساوي واحدًا في سالب اثنين زائد ثلاثة في سالب اثنين على ثلاثة زائد واحد. نحصل إذن على النقطة سالب ثمانية زائد صفر على أربعة، سالب اثنين ناقص ستة على أربعة. وبما أن سالب ثمانية على أربعة تبسط إلى سالب اثنين، سيكون لدينا النقطة سالب اثنين، سالب اثنين. وبذلك نكون قد أجبنا عن الجزء الثاني الذي يطلب منا إيجاد إحداثيات النقطة و، وهي سالب اثنين، سالب اثنين.

سنفرغ الآن بعض المساحة لإيجاد ميل الخط المستقيم ﻫو. توصلنا إلى أن إحداثيي النقطة ﻫ هما سالب أربعة، صفر. وإحداثيا النقطة و هما سالب اثنين، سالب اثنين. يمكننا أن نتذكر أن ميل أو انحدار الخط المستقيم الواصل بين الإحداثيين ﺱ واحد، ﺹ واحد والإحداثيين ﺱ اثنين، ﺹ اثنين يعطى بالعلاقة ﺹ اثنان ناقص ﺹ واحد على ﺱ اثنين ناقص ﺱ واحد.

عندما نستخدم هذه الصيغة، لا يهم أي الزوجين الإحداثيين نختار ليكون الزوج الإحداثي الأول، وأيهما نختار ليكون الزوج الإحداثي الثاني. بالتعويض بالقيم التي لدينا، يصبح لدينا الميل يساوي سالب اثنين ناقص صفر على سالب اثنين ناقص سالب أربعة. في المقام، طرح سالب أربعة يكافئ إضافة أربعة. إذن لدينا الكسر سالب اثنين على اثنين، وهو ما يساوي سالب واحد. ومن ثم، فإن ميل الخط المستقيم ﻫو يساوي سالب واحد.

في الجزء الأخير من السؤال، مطلوب منا إيجاد معادلة الخط المستقيم ﻫو على الصورة ﺹ يساوي ﻡﺱ زائد ﺟ. عندما تكون المعادلة بهذه الصورة، فإن ﻡ يمثل الميل أو الانحدار. وقيمة ﺟ هي الجزء المقطوع من المحور ﺹ. وبما أننا بدأنا بالفعل من عند الخط المستقيم ﻫو، يمكننا من الناحية النظرية متابعة هذا الخط لنرى أين يقطع الخط المستقيم المحور ﺹ. يبدو أن الجزء المقطوع من المحور ﺹ سيكون عند سالب أربعة. لكن دعونا نر إذا ما كان يمكننا توضيح هذا أكثر باستخدام طريقة رياضية.

يمكننا البدء بكتابة الصورة العامة للمعادلة ﺹ يساوي ﻡﺱ زائد ﺟ. وبما أننا نعلم أن الميل يساوي سالب واحد، يمكننا التعويض بالقيمة ﻡ يساوي سالب واحد لنحصل على ﺹ يساوي سالب واحد ﺱ زائد ﺟ. أو ببساطة أكثر، ﺹ يساوي سالب ﺱ زائد ﺟ. لا نعلم حتى الآن ﺟ، الجزء المقطوع من المحور ﺹ. لكن يمكننا التعويض بإحدى النقطتين اللتين نعرفهما.

بالتعويض بقيمتي الإحداثيين ﺱ وﺹ للنقطة ﻫ، يمكننا التعويض بـ ﺱ يساوي سالب أربعة وﺹ يساوي صفرًا في المعادلة، وهو ما يعطينا صفرًا يساوي سالب سالب أربعة زائد ﺟ. إذن، صفر يساوي أربعة زائد ﺟ. وبطرح أربعة من كلا الطرفين، نحصل على سالب أربعة يساوي ﺟ. إذن، ﺟ يساوي سالب أربعة. يمكننا بعد ذلك التعويض بهذا في المعادلة ﺹ يساوي سالب ﺱ زائد ﺟ، لنحصل على ﺹ يساوي سالب ﺱ ناقص أربعة. وأخيرًا، يمكننا أخذ السالب عاملًا مشتركًا لنحصل على ﺹ يساوي سالب ﺱ زائد أربعة.

وبذلك، نكون قد حصلنا على إجابة الجزء الأخير من السؤال. معادلة الخط المستقيم ﻫو هي ﺹ يساوي سالب ﺱ زائد أربعة.