نسخة الفيديو النصية
افترض أن 𝜃 زاوية محصورة بين مستقيمين يمران بالنقطة أربعة، سالب اثنين. إذا كان ظا 𝜃 يساوي واحدًا على ٢١، وميلا المستقيمين هما ﻡ، وأربعة أخماس ﻡ؛ حيث ﻡ أكبر من صفر، فأوجد معادلتي هذين المستقيمين.
دعونا نتذكر أن المقصود بالزاوية المحصورة بين مستقيمين هو أصغر الزاويتين قياسًا. يمكننا تسمية المستقيمين ﻝ واحدًا وﻝ اثنين. لدينا بعض المعطيات عن هذين المستقيمين، أولًا أنهما يمران بالنقطة أربعة، سالب اثنين. علمنا من السؤال أيضًا أن ظل الزاوية المحصورة بين المستقيمين يساوي واحدًا على ٢١. ونعلم أيضًا أن ميلي هذين المستقيمين أو انحداريهما هما ﻡ وأربعة أخماس ﻡ؛ حيث ﻡ أكبر من صفر.
قبل إيجاد معادلتي ﻝ واحد وﻝ اثنين، علينا أولًا إيجاد قيمة ﻡ. ولفعل ذلك، يمكننا تذكر أن صيغة ظل الزاوية الحادة 𝜃 المحصورة بين مستقيمين هي ظا 𝜃 يساوي القيمة المطلقة لـ ﻡ واحد ناقص ﻡ اثنين على واحد زائد ﻡ واحد ﻡ اثنين؛ حيث ﻡ واحد وﻡ اثنين هما ميلا المستقيمين. ومن ثم يمكننا التعويض في الصيغة بالقيم المعطاة لـ ظا 𝜃 وﻡ واحد وﻡ اثنين. هذا يعطينا واحدًا على ٢١ يساوي القيمة المطلقة لـ ﻡ ناقص أربعة أخماس ﻡ على واحد زائد ﻡ في أربعة أخماس ﻡ.
يمكننا بعد ذلك تبسيط الطرف الأيسر وضرب كل من البسط والمقام في خمسة، فنحصل على واحد على ٢١ يساوي ﻡ على خمسة زائد أربعة ﻡ تربيع. يمكننا ملاحظة أنه بما أن قيمة ﻡ موجبة، فإن الطرف الأيسر لهذه المعادلة يكون موجبًا أيضًا. باستخدام الضرب التبادلي، نحصل على خمسة زائد أربعة ﻡ تربيع يساوي ٢١ﻡ. بإعادة ترتيب المعادلة بعد ذلك، يصبح لدينا معادلة تربيعية في المتغير ﻡ يمكننا حلها لإيجاد قيمة ﻡ. في هذه المرحلة، قد ندرك أنه لا يمكننا حل هذه المعادلة باستخدام التحليل، ولذلك يمكننا استخدام طريقة ما، على سبيل المثال، القانون العام، لمساعدتنا في فعل ذلك.
ينص القانون العام على أن ﺱ يساوي سالب ﺏ زائد أو ناقص الجذر التربيعي لـ ﺏ تربيع ناقص أربعة ﺃﺟ الكل مقسوم على اثنين ﺃ، وذلك بالنسبة إلى المعادلات التي تكون على الصورة ﺃﺱ تربيع زائد ﺏﺱ زائد ﺟ يساوي صفرًا. في المعادلة التي أوجدناها، لدينا المتغير ﻡ بدلًا من ﺱ. لكننا نلاحظ من المعادلة أن ﺃ يساوي أربعة، وﺏ يساوي سالب ٢١، وﺟ يساوي خمسة. ومن ثم، يمكننا التعويض بهذه القيم في القانون العام ثم التبسيط. عندما نفعل ذلك، نحصل على قيمتين مختلفتين لـ ﻡ. عند حل هذه المعادلة، من المفيد أن نتذكر أن الجذر التربيعي لـ ٣٦١ يساوي ١٩. إذن، قيمتا ﻡ هما خمسة وربع.
من المهم ملاحظة أنه في هذه المرحلة، على الرغم من أننا أوجدنا قيمتين مختلفتين للميل ﻡ، فإنهما مختلفتان عن ميلي المستقيمين الأصليين اللذين نعلم أنهما ﻡ وأربعة أخماس ﻡ. في الواقع، سنحصل في نهاية الحل على مجموعتي معادلتي مستقيمين مختلفتين تحققان جميع شروط السؤال. يمكننا الآن إفراغ بعض المساحة لإيجاد مجموعتي المعادلتين المختلفتين لـ ﻝ واحد، وﻝ اثنين.
بما أن لدينا نقطة يمر بها هذان المستقيمان ولدينا ميلا المستقيمين، يمكننا استخدام صيغة الميل ونقطة لمعادلة الخط المستقيم. ﺹ ناقص ﺹ صفر يساوي ﻡ في ﺱ ناقص ﺱ صفر؛ حيث ﻡ هو الميل، والمستقيم يمر عبر النقطة التي إحداثياتها ﺱ صفر، ﺹ صفر. علينا أن ننتبه جيدًا عند استخدام صيغة الميل ونقطة حتى لا يختلط علينا الأمر مع هذا الحرف العام ﻡ المذكور في الصيغة، والمتغير ﻡ وأربعة أخماس ﻡ المعطيين في السؤال. دعونا نتناول الحالة التي يكون فيها ﻡ يساوي خمسة. نعلم الآن أن ميل أحد المستقيمين هو ﻡ، ويساوي خمسة.
بافتراض أن هذا المستقيم يمر بالنقطة أربعة، سالب اثنين، فإنه عند استخدام صيغة الميل ونقطة، سنحصل على ﺹ ناقص سالب اثنين يساوي خمسة في ﺱ ناقص أربعة. بتبسيط هذه المعادلة ثم جمع الحدين المتشابهين، نجد أن معادلة المستقيم واحد هي سالب خمسة ﺱ زائد ﺹ زائد ٢٢ يساوي صفرًا. لا نزال بحاجة إلى إيجاد معادلة المستقيم اثنين عندما يكون ﻡ يساوي خمسة. لكننا هذه المرة نعلم أن الميل يساوي أربعة أخماس ﻡ. وبما أن ﻡ يساوي خمسة، إذن، ميل المستقيم اثنين سيساوي أربعة. المستقيم اثنان يمر أيضًا بالنقطة أربعة، سالب اثنين. ومن ثم، في الطرف الأيسر، سنضرب القيمة أربعة فيما بين القوسين. بتبسيط ذلك، نكون قد أوجدنا معادلة المستقيم، وهي أربعة ﺱ ناقص ﺹ ناقص ١٨ يساوي صفرًا.
يشكل هذان المستقيمان إحدى مجموعتي المستقيمين اللتين تحققان الشرطين المذكورين في السؤال. لكننا نعلم أن هذين الشرطين سيتحققان أيضًا عندما يكون ﻡ يساوي ربعًا. إذن، دعونا نستخدم صيغة الميل ونقطة لمعادلة الخط المستقيم مرة أخرى لإيجاد المعادلتين الأخريين. بالنسبة إلى معادلة المستقيم واحد، نعلم أن ميله ﻡ، وهو ما يساوي ربعًا. يمكننا بعد ذلك إعادة ترتيب هذه المعادلة، فنحصل على معادلة المستقيم واحد، مع ملاحظة أنه إذا أردنا أن نحصل عليها بالصورة القياسية عند إعادة الترتيب، فعلينا ضرب المعادلة في أربعة. يمكننا تكرار العملية نفسها لإيجاد المعادلة الثانية.
كما عرفنا سابقًا، نتذكر أنه في هذا المستقيم قيمة ﻡ التي سنعوض بها في صيغة الميل ونقطة لا تساوي ربعًا؛ لأننا نعلم أن ميل المستقيم اثنين يساوي أربعة أخماس ﻡ. أربعة أخماس الربع يساوي خمسًا. عندما نعوض بهذه القيمة والنقطة التي إحداثياتها أربعة، سالب اثنين، نحصل على معادلة المستقيم اثنين. ومن ثم نكون قد أوجدنا مجموعتي المعادلتين الممكنتين. إنهما المعادلة ﺱ ناقص أربعة ﺹ ناقص ١٢ يساوي صفرًا، والمعادلة ﺱ ناقص خمسة ﺹ ناقص ١٤ يساوي صفرًا، أو المعادلة سالب خمسة ﺱ زائد ﺹ زائد ٢٢ يساوي صفرًا، والمعادلة أربعة ﺱ ناقص ﺹ ناقص ١٨ يساوي صفرًا.
لتوضيح الاختلاف بين مجموعتي المعادلتين هاتين، يمكننا رسم مخطط سريع لكل حالة. يصبح لدينا هذا التمثيل البياني بعد رسم أول مستقيمين، ويصبح لدينا هذا التمثيل البياني بعد رسم ثاني مستقيمين. في كلا التمثيلين البيانيين، يكون الانحدار أو الميل أكبر من صفر، كما هو مطلوب. ومن الجدير بالذكر أيضًا أن الدالة العكسية لـ ظا واحد على ٢١ تعطينا زاوية صغيرة للغاية تقاس بالدرجات. وقياس هذه الزاوية يساوي ٢٫٧ درجة تقريبًا.
إذن، بتطبيق الصيغة لإيجاد الزاوية الحادة المحصورة بين مستقيمين وبمعلومية العلاقة بين ميليهما، نكون قد أوجدنا مجموعتي معادلتي مستقيمين مختلفتين يمران بالنقطة التي إحداثياتها أربعة، سالب اثنين.
