فيديو الدرس: التحويل بين الكسور والأعداد العشرية والنسب المئوية الرياضيات

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحول بين الكسور والأعداد العشرية المنتهية والنسب المئوية. سنبدأ بالتأكد من معرفتنا بالمفردات التي سنستخدمها.

في الرياضيات، يصف الكسر التناسب الذي يقارن بين الجزء ﺃ والكل ﺏ. إننا نسمي ﺃ البسط وﺏ المقام، ثم نكتب الكسر على صورة النسبة ﺃ على ﺏ. يمكن النظر إلى الكسر أيضًا على أنه خارج قسمة؛ أي ﺃ مقسومًا على ﺏ. على سبيل المثال، لننظر إلى الكسر اثنين على خمسة، أو خمسين. يمثل المقام الذي يساوي خمسة عدد الأجزاء المتساوية في الكل، ويمثل البسط الذي يساوي اثنين الجزء من الكل المكون من جزأين. ويمكن توضيح ذلك مرئيًّا عن طريق تظليل جزأين من إجمالي خمسة أجزاء متساوية، كما هو موضح.

دعونا نتذكر الآن تعريف العدد العشري المنتهي. نحن نعلم أن العدد العشري هو طريقة أخرى لكتابة الكسر، والعدد العشري المنتهي هو الذي تنتهي فيه الأعداد عند نقطة ما. وتكافئ الأعداد العشرية المنتهية كسورًا مقاماتها تساوي ١٠ أو ١٠٠ أو ١٠٠٠، وهكذا؛ حيث يوضح لنا عدد الأرقام الموجودة على يمين العلامة العشرية مقام الكسر المكافئ. فالعدد العشري الذي يحتوي على رقم واحد فقط بعد العلامة العشرية يوضح عدد الأجزاء من ١٠. ونسمي هذا عدد الأجزاء من عشرة. على سبيل المثال، العدد العشري ٠٫٧ يساوي سبعة أعشار. وبالمثل، العدد العشري المكون من رقمين بعد العلامة العشرية هو عدد الأجزاء من ١٠٠. ونسمي هذا عدد الأجزاء من مائة. فالعدد العشري ٠٫١٩ يساوي ١٩ على ١٠٠. ويمكن تكرار هذه العملية للأجزاء من ألف. فالعدد ٠٫٠٧٣ يساوي ٧٣ على ١٠٠٠.

ومن الجدير بالذكر أيضًا أن أي أرقام على يسار العلامة العشرية تمثل العدد الكلي في أي عدد كسري. على سبيل المثال، ٨٫٣ يساوي ٨٣ على ١٠، وهو ما يمكن كتابته على صورة العدد الكسري ثمانية وثلاثة أعشار؛ حيث ٨٣ مقسومًا على ١٠ يساوي ثمانية والباقي ثلاثة.

لنتذكر الآن تعريف النسبة المئوية. إننا نكتب النسبة المئوية على صورة ﻡ بالمائة؛ أي ﻡ من ١٠٠. هذا يعني أن النسبة المئوية هي طريقة للتعبير عن تناسب معين ﺃ على ﺏ؛ حيث ﺃ على ﺏ يساوي ﻡ على ١٠٠. دعونا نبدأ بالنظر إلى الكسر ١١ على ٥٠. لتحويل هذا الكسر إلى نسبة مئوية، سنبدأ بإيجاد كسر مكافئ له مقامه يساوي ١٠٠. ‏٥٠ مضروبًا في اثنين يساوي ١٠٠. وبما أننا ضربنا المقام في اثنين، فلا بد أن نفعل الشيء نفسه في البسط. ‏١١ مضروبًا في اثنين يساوي ٢٢. بما أن ١١ على ٥٠ يكافئ ٢٢ على ١٠٠، فهذا يساوي ٢٢ بالمائة. وبالطريقة نفسها، نلاحظ أن الكسر أربعة على ٢٥ يكافئ الكسر ١٦ على ١٠٠. سنضرب كلًّا من البسط والمقام في أربعة. إذن، أربعة على ٢٥ يساوي ١٦ بالمائة.

في هذه المرحلة، من المهم أيضًا ملاحظة أنه عند كتابة كسر مقامه يساوي ١٠ أو ١٠٠ أو ١٠٠٠، وهكذا، يمكننا بسهولة كتابته على صورة عدد عشري منته. في المثالين الموضحين، الكسران ٢٢ على ١٠٠ و١٦ على ١٠٠ يساويان ٠٫٢٢ و٠٫١٦، على الترتيب. لنتناول الآن مثالًا عمليًّا علينا فيه تحويل كسر إلى عدد عشري.

اشترت إحدى السيدات أربعة على ٢٠ كيلوجرامًا من التفاح. وضعت هذا التفاح على ميزان رقمي يعرض وزنه (بالكيلوجرام) في صورة عدد عشري. ما الأعداد التي يجب أن تظهر على شاشة الميزان الرقمي؟

في هذا السؤال، نريد تحويل الكسر المعطى إلى عدد عشري. أسهل طريقة لفعل ذلك هي قسمة البسط أربعة على المقام ٢٠ باستخدام الآلة الحاسبة. وهذا يعطينا الإجابة ٠٫٢. لكن من المهم أيضًا أن تكون لدينا طريقة يمكننا استخدامها للتحويل من الكسور إلى الأعداد العشرية يدويًّا دون اللجوء للآلة الحاسبة. نتذكر أن أول ثلاث منازل عشرية على يمين العلامة العشرية تمثل الأجزاء من عشرة والأجزاء من مائة والأجزاء من ألف. هذا يعني أنه لتحويل أي كسر إلى عدد عشري منته، يمكننا إيجاد كسر مكافئ مقامه يساوي ١٠ أو ١٠٠ أو ١٠٠٠. وعند إيجاد الكسور المكافئة، يجب أن نضرب كلًّا من المقام والبسط في المقدار نفسه أو نقسم كلًّا منهما عليه. بما أن ٢٠ مقسومًا على اثنين يساوي ١٠، فعلينا أيضًا قسمة البسط على اثنين. هذا يعني أن الكسر أربعة على ٢٠ يكافئ عشرين. وعلى صورة عدد عشري، يمكننا كتابة ذلك على الصورة ٠٫٢.

هناك طريقة بديلة تتمثل في ضرب المقام في خمسة للحصول على كسر مكافئ مقامه يساوي ١٠٠. بما أن أربعة مضروبًا في خمسة يساوي ٢٠، فإن أربعة على ٢٠ يكافئ ٢٠ على ١٠٠. وعلى صورة عدد عشري، يمكننا كتابة ذلك على الصورة ٠٫٢٠. وبما أن الكسر ٢٠ على ١٠٠ يكافئ عشرين، فإن إجابتنا النهائية هي ٠٫٢. إذن، أربعة على ٢٠ كيلوجرامًا يكافئ ٠٫٢ كيلوجرام.

قبل تناول بعض الأمثلة الأخرى، دعونا نتذكر بإيجاز كيف يمكننا التحويل سريعًا بين الكسور والأعداد العشرية والنسب المئوية. للتعبير عن الكسر ﺃ على ﺏ على صورة نسبة مئوية ﻡ بالمائة، نضرب ببساطة ﺃ على ﺏ في ١٠٠. يمكننا أيضًا التعبير عن النسبة المئوية ﻡ بالمائة على صورة الكسر ﻡ على ١٠٠. ويمكننا بعد ذلك تبسيط هذا الكسر إن أمكن. للتحويل بين الأعداد العشرية والنسب المئوية، نضرب ببساطة في ١٠٠ أو نقسم على ١٠٠. إذا كان لدينا عدد عشري منته، ﺩ، ونسبة مئوية، ﻡ بالمائة، فإن ﻡ يساوي ١٠٠ مضروبًا في ﺩ وﺩ يساوي ﻡ مقسومًا على ١٠٠.

لنتناول الآن بعض الأمثلة التي نحتاج فيها إلى استخدام هذه القواعد.

اكتب ٥٫٠٧ على صورة كسر في أبسط صورة. بعد ذلك، اكتب ٥٫٠٧ على صورة نسبة مئوية.

سنبدأ بالنظر إلى العدد العشري ٥٫٠٧. باستخدام جدول القيمة المكانية العشرية، نلاحظ أن العدد ٥٫٠٧ ينتهي في خانة الأجزاء من مائة. يمكننا إذن كتابة هذا العدد العشري على الصورة ٥٠٧ من ١٠٠، أو ٥٠٧ على ١٠٠. لا يوجد عامل مشترك بين بسط هذا الكسر ومقامه سوى الواحد. لكن يمكننا كتابة هذا الكسر على صورة عدد كسري. لذا، نبدأ بكتابة ٥٠٧ على ١٠٠ على صورة ٥٠٠ على ١٠٠ زائد سبعة على ١٠٠. بما أن ٥٠٠ مقسومًا على ١٠٠ يساوي خمسة، فإن جزء العدد الكلي يساوي خمسة. هذا يعني أن العدد العشري ٥٫٠٧، مكتوبًا على صورة كسر في أبسط صورة، يساوي خمسة وسبعة على ١٠٠.

يطلب منا الجزء الثاني من هذا السؤال التعبير عن العدد العشري ٥٫٠٧ على صورة نسبة مئوية. نتذكر أنه يمكننا تحويل أي عدد عشري، ﺩ، إلى نسبة مئوية، ﻡ بالمائة، بضرب ﺩ في ١٠٠. في هذا السؤال، علينا ضرب ٥٫٠٧ في ١٠٠، وهذا يساوي ٥٠٧. إذن، يمكننا استنتاج أن العدد العشري ٥٫٠٧ يكافئ النسبة المئوية ٥٠٧ بالمائة.

في السؤال التالي، سيكون مطلوبًا منا كتابة نسبة مئوية على صورة كسر في أبسط صورة.

اكتب ١٢٠ بالمائة على صورة كسر في أبسط صورة.

سنبدأ بتذكر أن أي نسبة مئوية، ﻡ بالمائة، يمكن التعبير عنها على صورة الكسر ﻡ على ١٠٠. هذا يعني أنه يمكن كتابة ١٢٠ بالمائة على الصورة ١٢٠ على ١٠٠. لتبسيط هذا الكسر، علينا إيجاد العوامل المشتركة بين البسط والمقام. وعلى الرغم من أنه يمكننا فعل ذلك في عدة خطوات، يمكننا أيضًا أن نفعل ذلك في خطوة واحدة بإيجاد العامل المشترك الأكبر للعددين ١٢٠ و١٠٠. وهذا العامل يساوي ٢٠ ؛ لذا يمكننا قسمة كل من البسط والمقام على ٢٠. ‏١٢٠ مقسومًا على ٢٠ يساوي ستة، و١٠٠ مقسومًا على ٢٠ يساوي خمسة. إذن، يمكننا تبسيط الكسر ١٢٠ على ١٠٠ إلى ستة على خمسة، أو ستة أخماس.

يمكننا في الواقع إجراء خطوة إضافية هنا؛ حيث يمكننا تحويل ستة أخماس إلى عدد كسري. بما أن ستة أخماس يساوي خمسة أخماس زائد خمس، فإنه يمكن كتابة هذا الكسر على صورة العدد الكسري واحد وخمس. ومن ثم، يمكننا استنتاج أن النسبة ١٢٠ بالمائة، مكتوبة على صورة كسر في أبسط صورة، تساوي واحدًا وخمسًا.

سنتناول الآن سؤالًا أخيرًا في هذا الفيديو.

إذا كان ٠٫٠٥ يساوي ﺃ بالمائة، وهو ما يساوي ﺏ على ٢٠، فأوجد ﺃ وﺏ.

في الجزء الأول من هذا السؤال، علينا التعبير عن العدد العشري ٠٫٠٥ على صورة نسبة مئوية. نتذكر أنه يمكن كتابة أي عدد عشري، ﺩ، على صورة نسبة مئوية، ﻡ بالمائة، عن طريق ضرب ﺩ في ١٠٠. هذا يعني أنه في هذا السؤال، ﺃ يساوي ٠٫٠٥ مضروبًا في ١٠٠. بما أن الضرب في ١٠٠ ينقل جميع الأرقام خانتين إلى اليسار، فإن ٠٫٠٥ مضروبًا في ١٠٠ يساوي خمسة. وعليه، فإن ٠٫٠٥ يساوي خمسة بالمائة. إذن، ﺃ يساوي خمسة. علينا أيضًا كتابة هذا العدد العشري على صورة كسر. بما أن ٠٫٠٥ يكافئ خمسة على ١٠٠، فسنحصل على الكسر خمسة على ١٠٠.

يطلب منا السؤال كتابة ذلك على صورة ﺏ على ٢٠. بما أن ٢٠ مضروبًا في خمسة يساوي ١٠٠، فهذا يعني أننا قد قسمنا مقام هذا الكسر على خمسة. لذا، يجب أن نفعل الشيء نفسه في البسط. بما أن خمسة مقسومًا على خمسة يساوي واحدًا، فإن الكسر خمسة على ١٠٠ يكافئ واحدًا على ٢٠. ومن ثم، يمكننا استنتاج أن ﺏ يساوي واحدًا. إذن، العدد العشري ٠٫٠٥ يكافئ خمسة بالمائة وواحدًا على ٢٠، على صورة كسر في أبسط صورة.

سنلخص الآن النقاط الرئيسية التي تناولناها في هذا الفيديو. لقد رأينا في هذا الفيديو أن جدول القيمة المكانية العشرية مفيد عند التحويل بين عدد عشري وكسر ونسبة مئوية. للتحويل من كسر إلى عدد عشري منته، نوجد كسرًا مكافئًا مقامه يساوي ١٠ أو ١٠٠ أو ١٠٠٠، وهكذا. لتحويل عدد عشري منته إلى كسر، نستخدم أرقام العدد العشري بسطًا لهذا الكسر؛ بحيث يساوي المقام ١٠ إذا كان العدد العشري ينتهي في خانة الأجزاء من عشرة، ويساوي المقام ١٠٠ إذا كان العدد العشري ينتهي في خانة الأجزاء من مائة، وهكذا.

للتعبير عن كسر على صورة نسبة مئوية، نضرب الكسر في ١٠٠. يمكن التعبير عن النسبة المئوية ﻡ بالمائة على صورة الكسر ﻡ على ١٠٠، ويمكننا بعد ذلك كتابة الكسر في أبسط صورة، إذا لزم الأمر. للتعبير عن أي عدد عشري على صورة نسبة مئوية، نضرب العدد العشري في ١٠٠. يتطلب ذلك نقل الأرقام خانتين إلى اليسار. وأخيرًا، للتعبير عن أي نسبة مئوية على صورة عدد عشري، نقسم النسبة المئوية على ١٠٠. ويتطلب ذلك نقل الأرقام خانتين إلى اليمين.