فيديو السؤال: حل المسائل الكلامية التي تتضمن العامل المشترك الأكبر وأعدادًا عشرية الرياضيات

لدى سامح ‪4‬‏ قطع خشبية أطوالها ‪160 cm‬‏، ‪0.8 m‬‏، ‪40 cm‬‏، ‪2.4 m‬‏. يريد تقطيعها؛ بحيث تكون قطعًا متساوية الطول دون أن يتبقى أي شيء منها. من خلال إيجاد ع.م.أ، أوجد أكبر طول ممكن لكل قطعة.

٠٦:٢٠

‏نسخة الفيديو النصية

لدى سامح أربع قطع خشبية أطوالها 160 سنتيمترًا و0.8 متر و40 سنتيمترًا و2.4 متر. يريد تقطيعها؛ بحيث تكون قطعًا متساوية الطول دون أن يتبقى أي شيء منها. من خلال إيجاد ع.م.أ، أوجد أكبر طول ممكن لكل قطعة.

إن ع.م.أ هو اختصار للعامل المشترك الأكبر. والعامل المشترك الأكبر سيعطينا أكبر طول ممكن لكل قطعة ينبغي لسامح استخدامها باعتبار أن هذا العدد هو أكبر عدد يمكن قسمة جميع الأطوال الأربعة عليه. هذا يعني أن الطول الكامل لكل قطعة سيستخدم بحيث لا يكون هناك أي إهدار.

والطول هنا معبر عنه باستخدام وحدتين مختلفتين. فهناك طولان معبر عنهما بوحدة السنتيمتر وآخران بوحدة المتر. لذا، أولًا، علينا التحويل إلى وحدة مشتركة. ولكي نقوم بذلك، علينا أن نراجع كيفية التحويل بين الأمتار والسنتيمترات، إذ إن المتر الواحد يساوي 100 سنتيمتر. سنحول هنا الطولين اللذين عبر عنهما بالأمتار إلى سنتيمترات. أولًا، 0.8 متر يساوي 0.8 في 100 سنتيمتر. إذن، فهو يساوي 80 سنتيمترًا. و2.4 مترًا يمكن تحويله بالطريقة نفسها تمامًا. إذ سنضربه في 100 لنحصل على 240 سنتيمترًا.

بعد ذلك، يجب أن نفكر في كيفية إيجاد العامل المشترك الأكبر لجميع الأعداد الأربعة. ولكي نقوم بذلك، سنستعين بشجرة العوامل. لنبدأ بالعدد 40. يجب أن نفكر في كيفية تحليل هذا العدد إلى عوامله الأولية. وسنبدأ بحاصل ضرب أربعة في 10. هذا يعطينا أول فرع في شجرة العوامل. 40 يمكن إعادة كتابته على هيئة أربعة في 10. ولا يعد أي من هذين العددين عددًا أوليًا. حسنًا، يجب علينا مواصلة رسم شجرة العوامل. أربعة يمكن كتابته على هيئة حاصل ضرب اثنين في اثنين و10 يمكن كتابته على هيئة حاصل ضرب خمسة في اثنين. اثنان وخمسة كلاهما عدد أولي، وهذا يعني أنه لا يمكن تمديد شجرة العوامل أكثر من ذلك.

وهكذا نكون قد أوجدنا جميع العوامل الأولية للعدد 40. بعد ذلك، يجب علينا أن نكرر الشيء نفسه مع الأطوال الثلاثة الأخرى. أولًا، يمكن كتابة 160 على هيئة حاصل ضرب 16 في 10. ولا يعد أي من هذين العددين عددًا أوليًا. حسنًا، علينا مواصلة رسم شجرة العوامل. 16 يمكن كتابته على هيئة حاصل ضرب ثمانية في اثنين و10 يمكن كتابته على هيئة حاصل ضرب خمسة في اثنين. اثنان وخمسة هما عددان أوليان. هكذا، ستتوقف فروع شجرة العوامل هنا. ولكن ثمانية ليست عددًا أوليًا. وبالتالي، يجب علينا مواصلة رسم هذا الفرع. فيمكن كتابة ثمانية على هيئة حاصل ضرب أربعة في اثنين، مع الوضع في الاعتبار أن الاثنين عدد أولي. أما أربعة، فبحاجة إلى تحليلها إلى حاصل ضرب اثنين في اثنين.

وهكذا، نكون قد أوجدنا جميع العوامل الأولية للعدد 160. يمكنكم الآن إيقاف الفيديو قليلًا ورسم شجرة العوامل لكل من الطولين الآخرين: 80 سنتيمترًا و240 سنتيمترًا. إليك شجرتا العوامل اللتان رسمتهما للعددين 240 و80. قد تبدو شجرتاك مختلفتين قليلًا ولا بأس في ذلك. فعلى سبيل المثال، لعلك قررت أن تحلل 240 إلى حاصل ضرب أربعة في 60 في البداية. وهذا يعني أن فروع شجرة العوامل ستبدو مختلفة قليلًا. إلا أن الأعداد الأولية التي ستصل إليها عند طرف الفروع لا بد أن تكون مماثلة أو ذات ترتيب مختلف قليلًا.

الآن، قد صار لدينا أشجار العوامل الأربعة، وعلينا أن نتذكر كيف نستعين بهذه الأشجار لنوجد العامل المشترك الأكبر الخاص بالأعداد الأربعة. العامل المشترك الأكبر يساوي حاصل ضرب جميع العوامل المشتركة بين الأعداد الأربعة جميعها. هكذا، نحن بحاجة إلى تحديد العوامل المشتركة.

بداية، تحتوي أشجار العوامل الأربعة على اثنين كعامل مشترك. وتحتوي أيضًا على عامل اثنين ثان. وفي الواقع، تحتوي على عامل اثنين ثالث. وتشترك الأعداد 160 و240 و80 في عامل اثنين رابع. ولكن نظرًا لأن العدد 40 لا يشترك معها في هذا العامل، فإنه ليس بعامل مشترك لجميع الأعداد الأربعة. وعند إلقاء نظرة ثانية على أشجار العوامل، نلاحظ أن ثمة عاملًا مشتركًا آخر بين جميع الأعداد الأربعة، وهو العدد خمسة. حسنًا، هل توجد أي عوامل مشتركة أخرى؟ في الواقع، هذا مستحيل لأننا استخدمنا جميع العوامل الخاصة بالعدد 40.

إن العامل المشترك الأكبر للأعداد الأربعة هو حاصل ضرب العوامل المشتركة الأربعة في بعضها. أي، اثنان في اثنان في اثنان في خمسة. وحاصل ضرب تلك الأعداد الأربعة هو 40. لعلك تلاحظ أن الأعداد 40 و80 و160 و240 هي جميعها مضاعفات مألوفة تمامًا للعدد 40.

إذن، أكبر طول ممكن لكل قطعة ينبغي على سامح أن يقطع به الخشب هو 40 سنتيمترًا.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.