نسخة الفيديو النصية
في اختبار نهائي خضع له ٢٥ طالبًا، حصل ١٢ طالبًا على سبع نقاط، وحصل ستة طلاب على ثماني نقاط، وحصل سبعة طلاب على تسع نقاط. إذا كان ﺱ يرمز إلى عدد النقاط المسجلة، فأوجد تباين المتغير ﺱ.
عدد النقاط التي حصل عليها الطلاب في هذا الاختبار يمثلها متغير عشوائي متقطع، مشار إليه بالحرف ﺱ. يمكننا كتابة دالة التوزيع الاحتمالي لهذا المتغير العشوائي المتقطع باستخدام المعلومات المعطاة في السؤال. القيم التي يمكن أن يأخذها هذا المتغير العشوائي المتقطع هي عدد النقاط التي حصل عليها الطلاب، وهي إما سبعة وإما ثمانية وإما تسعة. وقيم الاحتمالات المناظرة، التي نعبر عنها باستخدام الدالة ﺩﺱﺭ، جميعها كسور قيمة المقام فيها ٢٥، وهو إجمالي عدد الطلاب الذين خضعوا للاختبار.
حصل ١٢ طالبًا على سبع نقاط، إذن احتمال أن ﺱﺭ يساوي سبعة هو ١٢ على ٢٥. وحصل ستة طلاب على ثماني نقاط، إذن احتمال أن ﺱﺭ يساوي ثمانية هو ستة على ٢٥. وأخيرًا، حصل سبعة طلاب على تسع نقاط، ومن ثم، فإن احتمال أن ﺱﺭ يساوي تسعة هو سبعة على ٢٥. ويمكننا التأكد من أن مجموع قيم هذه الاحتمالات الثلاثة يساوي واحدًا، وهذا يجب أن يكون مجموع قيم كل الاحتمالات في أي دالة توزيع احتمالي.
مطلوب منا حساب التباين لهذا المتغير العشوائي المتقطع ﺱ؛ ولذلك دعونا نتذكر صيغة حساب التباين. إنه يساوي القيمة المتوقعة لـ ﺱ تربيع ناقص مربع القيمة المتوقعة لـ ﺱ. علينا أن نوضح هنا الفرق بين الترميزين. لحساب القيمة المتوقعة لـ ﺱ تربيع، نقوم بتربيع المتغير أولًا ثم إيجاد قيمته المتوقعة، وبالنسبة إلى الحد الثاني، نحسب القيمة المتوقعة لـ ﺱ ثم نقوم بتربيع هذه القيمة.
وصيغتا حساب كل من هذين المقياسين الإحصائيين كالآتي. القيمة المتوقعة لـ ﺱ تساوي مجموع كل قيمة من قيم ﺱﺭ مضروبة في الاحتمال المناظر لها. والقيمة المتوقعة لـ ﺱ تربيع تساوي مجموع كل قيمة من قيم ﺱﺭ بعد تربيعها مضروبة في قيمة احتمال الحصول على قيمة ﺱﺭ هذه. سنضيف بعض الصفوف إلى الجدول لحساب القيم التي نريدها.
في الصف الأول الجديد، سنضرب كل قيمة من قيم ﺱﺭ في قيمة احتمالها. سبعة مضروبة في ١٢ على ٢٥ يساوي ٨٤ على ٢٥. وثمانية مضروبة في ستة على ٢٥ يساوي ٤٨ على ٢٥. وتسعة مضروبة في سبعة على ٢٥ يساوي ٦٣ على ٢٥. إذن، القيمة المتوقعة لـ ﺱ تساوي مجموع هذه القيم الثلاث؛ أي ١٩٥ على ٢٥، أو ٣٩ على خمسة في الصورة المبسطة. والصف الثاني الذي نضيفه إلى الجدول يتضمن قيم ﺱﺭ تربيع، وهي ٤٩ و٦٤ و٨١. أما في الصف الأخير من الجدول فسنضرب هذه القيم في قيم الاحتمالات المناظرة، فنحصل على ٥٨٨ على ٢٥، و٣٨٤ على ٢٥، و٥٦٧ على ٢٥. والقيمة المتوقعة لـ ﺱ تربيع تساوي مجموع القيم الثلاث التي يتضمنها الصف الأخير من الجدول، وهو ما يساوي ١٥٣٩ على ٢٥.
وبذلك، نكون قد أوجدنا القيمة المتوقعة لـ ﺱ والقيمة المتوقعة لـ ﺱ تربيع. إذن، يمكننا الآن التعويض بهاتين القيمتين في صيغة حساب التباين. وعندما نفعل ذلك، نحصل على ١٥٣٩ على ٢٥ ناقص ٣٩ على خمسة تربيع. بحساب ناتج التربيع، نحصل على ١٥٣٩ على ٢٥ ناقص ١٥٢١ على ٢٥، وهو ما يساوي ١٨ على ٢٥. إذن، بكتابة دالة التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي المتقطع ﺱ، الذي يمثل عدد النقاط المسجلة التي حصل عليها الطلاب، وجدنا أن تباين المتغير ﺱ يساوي ١٨ على ٢٥.
