نسخة الفيديو النصية
في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نوجد التكاملات غير المحددة للدوال التي ينتج عنها مقلوب دوال مثلثية.
نتذكر أولًا أن المشتقة بالنسبة إلى ﺱ لقاطع ﺱ، أو قا ﺱ، تساوي قاطع ﺱ في ظل ﺱ، أو قا ﺱ ظا ﺱ. وبما أن التكامل عكس الاشتقاق، فإن تكامل طرفي هذه المعادلة بالنسبة إلى ﺱ يعني إلغاء الاشتقاق مع إضافة ثابت اختياري للتكامل. يمكننا كتابة ذلك على صورة نتيجة قياسية. التكامل غير المحدد لـ قا ﺱ ظا ﺱ بالنسبة إلى ﺱ يساوي قا ﺱ زائد أي ثابت اختياري ﺙ. في المثال الأول، سنستخدم هذه الصيغة لحل تكامل غير محدد.
أوجد التكامل غير المحدد لتسعة ظا ثلاثة ﺱ قا ثلاثة ﺱ بالنسبة إلى ﺱ.
تتضمن الدالة المعطاة التي سيجرى عليها التكامل حاصل ضرب دالة ظل ودالة قاطع، وكلتاهما لها الزاوية نفسها وهو ثلاثة ﺱ. يمكننا تذكر التكامل القياسي التالي. التكامل غير المحدد لـ قا ﺱ ظا ﺱ بالنسبة إلى ﺱ يساوي قا ﺱ زائد ﺙ. لاستخدام هذه النتيجة في هذا المثال، علينا تعديل الزاوية ثلاثة ﺱ للدوال المثلثية. ويمكننا فعل ذلك باستخدام التعويض. نفترض ﻉ يساوي ثلاثة ﺱ.
وبناء عليه، سيصبح ﺩﻉ على ﺩﺱ يساوي ثلاثة. وعلى الرغم من أن ﺩﻉ على ﺩﺱ ليس كسرًا، فيمكننا التعامل معه على أنه كسر. إذن، ﺩﻉ يساوي ثلاثة ﺩﺱ يكافئه ثلث ﺩﻉ يساوي ﺩﺱ. يمكننا الآن التعويض عن ثلاثة ﺱ بـ ﻉ وعن ﺩﺱ بثلث ﺩﻉ وسنحصل على التكامل غير المحدد لتسعة ظا ﻉ قا ﻉ ثلث ﺩﻉ. يبسط الثابت في الدالة التي سيجرى عليها التكامل إلى ثلاثة، ويمكننا بعد ذلك إخراج العامل ثلاثة من علامة التكامل لنحصل على ثلاثة مضروبًا في التكامل غير المحدد لـ ظا ﻉ قا ﻉ بالنسبة إلى ﻉ.
بتطبيق النتيجة القياسية، نحصل على ناتج التكامل ثلاثة قا ﻉ زائد ثابت التكامل ﺙ. الخطوة الأخيرة المتبقية هي إلغاء التعويض واسترجاع المتغير الأصلي ثلاثة ﺱ بدلًا من ﻉ، وهذا يعطينا الإجابة النهائية للمسألة. هكذا نكون قد أوجدنا أن التكامل غير المحدد لتسعة ظا ثلاثة ﺱ قا ثلاثة ﺱ بالنسبة إلى ﺱ يساوي ثلاثة قا ثلاثة ﺱ زائد ثابت التكامل ﺙ.
في المثال التالي، سنوجد تكاملًا غير محدد يتطلب منا تبسيط الدالة التي سيجرى عليها التكامل أولًا.
أوجد التكامل غير المحدد لسالب ثمانية قا سبعة ﺱ مضروبًا في سالب أربعة جتا تربيع سبعة ﺱ زائد ستة ظا سبعة ﺱ بالنسبة إلى ﺱ.
لنبدأ بتوزيع القوسين في الدالة التي سيجرى عليها التكامل. بناء عليه، تصبح الدالة التي سيجرى عليها التكامل ٣٢قا سبعة ﺱ جتا تربيع سبعة ﺱ ناقص ٤٨قا سبعة ﺱ ظا سبعة ﺱ. وبما أن قا سبعة ﺱ يساوي واحدًا على جتا سبعة ﺱ، يمكننا التعويض عن الحد الأول بـ ٣٢جتا تربيع سبعة ﺱ على جتا سبعة ﺱ. ويمكننا حذف العامل المشترك جتا سبعة ﺱ من البسط والمقام؛ من ثم يبسط الحد الأول إلى ٣٢جتا سبعة ﺱ. والآن علينا إيجاد التكامل غير المحدد لـ ٣٢جتا سبعة ﺱ ناقص ٤٨قا سبعة ﺱ ظا سبعة ﺱ بالنسبة إلى ﺱ.
يتضمن الحد الأول في الدالة التي سيجرى عليها التكامل دالة جيب تمام، بينما يتضمن الحد الثاني حاصل ضرب دالة قاطع ودالة ظل ولكل منهما الزاوية نفسها وهو سبعة ﺱ. علينا إذن أن نتذكر التكاملين القياسيين التاليين. تكامل جتا ﺱ بالنسبة إلى ﺱ يساوي جا ﺱ زائد ﺙ. وتكامل قا ﺱ ظا ﺱ بالنسبة إلى ﺱ يساوي قا ﺱ زائد ﺙ.
لكن قبل تطبيق هاتين الصيغتين لإيجاد التكامل غير المحدد المعطى، علينا تعديل الزاوية للدوال المثلثية. لفعل ذلك، يمكننا استخدام التعويض. سنجعل ﻉ يساوي سبعة ﺱ، ويترتب على ذلك أن ﺩﻉ على ﺩﺱ يساوي سبعة. وﺩﻉ على ﺩﺱ ليس كسرًا، ولكن يمكننا التعامل معه على أنه كسر. فعلى نحو مكافئ، سبع ﺩﻉ يساوي ﺩﺱ. بإجراء التعويض، نحصل على التكامل غير المحدد لـ ٣٢جتا ﻉ ناقص ٤٨قا ﻉ ظا ﻉ سبع ﺩﻉ.
يمكننا تبسيط ذلك بتقسيم الدالة التي سيجرى عليها التكامل وإخراج العاملين الثابتين ووضعهما أمام علامتي التكامل لنحصل على ٣٢ على سبعة مضروبًا في التكامل غير المحدد لـ جتا ﻉ ﺩﻉ ناقص ٤٨ على سبعة مضروبًا في التكامل غير المحدد لـ قا ﻉ ظا ﻉ ﺩﻉ. بتطبيق النتيجتين القياسيتين، نحصل على ٣٢ على سبعة جا ﻉ زائد ثابت التكامل ﺙ واحد ناقص ٤٨ على سبعة قا ﻉ زائد ثابت التكامل ﺙ اثنين. يمكننا دمج ثابتي التكامل معًا في ثابت اختياري واحد ﺙ. وأخيرًا، علينا إلغاء التعويض واسترجاع المتغير سبعة ﺱ بدلًا من ﻉ. وبذلك نحصل على الإجابة النهائية، وهي ٣٢ على سبعة جا سبعة ﺱ ناقص ٤٨ على سبعة قا سبعة ﺱ زائد ﺙ.
هيا نتناول مثالًا آخر يتضمن حاصل ضرب قا ﺱ وظا ﺱ.
أوجد التكامل غير المحدد لسبعة قا ﺱ مضروبًا في ظا ﺱ ناقص خمسة قا ﺱ بالنسبة إلى ﺱ.
بما أن الدالة التي سيجرى عليها التكامل تتضمن تعبيرًا على الصورة التحليلية، فسنبدأ بتوزيع القوسين، وهو ما يعطينا التكامل غير المحدد لسبعة قا ﺱ ظا ﺱ ناقص ٣٥قا تربيع ﺱ بالنسبة إلى ﺱ. الحد الأول هو حاصل ضرب دالة قاطع ودالة ظل، والحد الثاني هو مربع دالة القاطع. لحل هذه المسألة، علينا أن نتذكر تكاملين قياسيين. التكامل غير المحدد لـ قا ﺱ ظا ﺱ بالنسبة إلى ﺱ يساوي قا ﺱ زائد ﺙ. والتكامل غير المحدد لـ قا تربيع ﺱ بالنسبة إلى ﺱ يساوي ظا ﺱ زائد ﺙ.
بتقسيم الدالة التي سيجرى عليها التكامل، وإخراج العاملين الثابتين ووضعهما أمام علامتي التكامل، نحصل على سبعة مضروبًا في التكامل غير المحدد لـ قا ﺱ ظا ﺱ بالنسبة إلى ﺱ ناقص ٣٥ مضروبًا في التكامل غير المحدد لـ قا تربيع ﺱ بالنسبة إلى ﺱ. يمكننا الآن تطبيق النتيجتين القياسيتين على هذه المسألة. عند إجراء التكامل، نحصل على سبعة قا ﺱ زائد ثابت التكامل ﺙ واحد ناقص ٣٥ظا ﺱ زائد ثابت التكامل ﺙ اثنين. بدمج الثابتين الاختياريين في ثابت واحد ﺙ، نحصل على الإجابة النهائية. التكامل غير المحدد لسبعة قا ﺱ مضروبًا في ظا ﺱ ناقص خمسة قا ﺱ بالنسبة إلى ﺱ يساوي سبعة قا ﺱ ناقص ٣٥ظا ﺱ زائد ﺙ.
في الأمثلة التي تناولناها حتى الآن، استخدمنا صيغة التكاملات غير المحددة التي تعطي نتائج تتضمن دالتي القاطع والظل. نتناول الآن نوعًا مختلفًا من التكامل غير المحدد يتضمن مقلوب دالة مثلثية مختلفة.
تذكر أن مشتقة قتا لـ ﺱ، أو قتا ﺱ، بالنسبة إلى ﺱ تساوي سالب قتا ﺱ في ظتا ﺱ. بتكامل كلا الطرفين بالنسبة إلى ﺱ كما فعلنا من قبل، نحصل على تكامل قياسي آخر. التكامل غير المحدد لـ قتا ﺱ ظتا ﺱ بالنسبة إلى ﺱ يساوي سالب قتا ﺱ زائد ﺙ. لاحظ التشابه بين هذا التكامل القياسي والتكامل السابق. وبالتعويض عن كل دالة مثلثية في التكامل بالدالة المتممة لها، نحصل على النتيجة نفسها، باستثناء أننا نبدل الإشارة السالبة إلى موجبة. هذا التشابه ليس مصادفة.
تذكر أن الدوال المثلثية المتممة، دالة جيب التمام ودالة ظل التمام ودالة قاطع التمام، تأخذ الزوايا المتممة للزوايا الخاصة بالدوال المناظرة لها. بعبارة أخرى، جتا ﺱ يساوي جا 𝜋 على اثنين ناقص ﺱ، وظتا ﺱ يساوي ظا 𝜋 على اثنين ناقص ﺱ، وقتا ﺱ يساوي قا 𝜋 على اثنين ناقص ﺱ. بالعودة إلى التكامل القياسي، يمكننا إعادة كتابة التكامل غير المحدد لـ قتا ﺱ ظتا ﺱ بالنسبة إلى ﺱ على صورة التكامل غير المحدد لـ قا 𝜋 على اثنين ناقص ﺱ ظا 𝜋 على اثنين ناقص ﺱ بالنسبة إلى ﺱ. يمكننا بعد ذلك التعويض بـ ﻉ يساوي 𝜋 على اثنين ناقص ﺱ، بحيث يصبح ﺩﻉ على ﺩﺱ يساوي سالب واحد أو على نحو مكافئ سالب ﺩﻉ يساوي ﺩﺱ.
بتطبيق هذا التعويض في التكامل أعلاه، نحصل على تكامل قتا ﺱ ظتا ﺱ بالنسبة إلى ﺱ يساوي سالب تكامل قا ﻉ ظا ﻉ بالنسبة إلى ﻉ. وباستخدام التكامل القياسي قا ﻉ ظا ﻉ بالنسبة إلى ﻉ، نحصل على سالب قا ﻉ زائد ﺙ. وبالتعويض عن ﻉ بـ 𝜋 على اثنين ناقص ﺱ، نحصل على سالب قا 𝜋 على اثنين ناقص ﺱ زائد ﺙ. وأخيرًا، بتبديل كل من زاوية الدالة المتممة والدالة المتممة، نحصل على سالب قتا ﺱ زائد ﺙ. إن إدراج الإشارة السالبة هنا مقارنة بالتكاملين القياسيين السابقين يرجع إلى التعويض بـ ﻉ يساوي 𝜋 على اثنين ناقص ﺱ، ما نتج عنه سالب ﺩﻉ يساوي ﺩﺱ، وبالتالي تظل الإشارة السالبة متواجدة حتى نهاية الحل.
لنتناول الآن مثالًا لتكامل غير محدد باستخدام هذه الصيغة.
أوجد التكامل غير المحدد لاثنين قتا ثلاثة ﺱ ظتا ثلاثة ﺱ بالنسبة إلى ﺱ.
الدالة المعطاة التي سيجرى عليها التكامل هي حاصل ضرب دالة قاطع التمام ودالة ظل التمام، وكل منهما له الزاوية ثلاثة ﺱ. علينا تذكر التكامل القياسي لحاصل ضرب دوال قاطع التمام ودوال ظل التمام. التكامل غير المحدد لـ قتا ﺱ مضروبًا في ظتا ﺱ بالنسبة إلى ﺱ يساوي سالب قتا ﺱ زائد ﺙ. في الدالة المعطاة التي سيجرى عليها التكامل، زاوية كلتا الدالتين هي ثلاثة ﺱ وليس ﺱ. إذن، لتطبيق التكامل القياسي، علينا استخدام التعويض.
سنجعل ﻉ يساوي ثلاثة ﺱ، وهو ما يترتب عليه أن ﺩﻉ على ﺩﺱ يساوي ثلاثة. ومن ثم، ثلث ﺩﻉ يساوي ﺩﺱ. وبتغيير المتغير في التكامل، نحصل على التكامل غير المحدد لاثنين قتا ﻉ ظتا ﻉ ثلث ﺩﻉ. وبإخراج العامل الثابت ثلثين ووضعه أمام علامة التكامل ثم تطبيق النتيجة القياسية، نحصل على سالب ثلثين قتا ﻉ زائد ثابت التكامل ﺙ. الخطوة الأخيرة هي إلغاء التعويض باسترجاع ثلاثة ﺱ بدلًا من ﻉ.
وبذلك نحصل على الإجابة النهائية. الفترة غير المحددة لاثنين قتا ثلاثة ﺱ ظتا ثلاثة ﺱ بالنسبة إلى ﺱ تساوي سالب ثلثين قتا ثلاثة ﺱ زائد ﺙ.
في الصيغة الأخيرة، نريد تحديد التكامل غير المحدد لـ قتا تربيع ﺱ بالنسبة إلى ﺱ. سنبدأ بتذكر أن تكامل قا تربيع ﺱ بالنسبة إلى ﺱ يساوي ظا ﺱ زائد ﺙ. وكما ذكرنا من قبل، يمكننا الحصول على تكامل الدوال المتممة المناظرة لهذه النتيجة من خلال التعويض عن قا تربيع ﺱ وظا ﺱ بالدالتين المتممتين لهما، قتا تربيع ﺱ وظتا ﺱ. لكن بعد ذلك، علينا أيضًا إضافة العامل سالب واحد في الطرف الأيمن من المعادلة.
وهذا يعطينا التكامل القياسي الأخير. التكامل غير المحدد لـ قتا تربيع ﺱ بالنسبة إلى ﺱ يساوي سالب ظتا ﺱ زائد ﺙ. وإذا أردنا تكامل ظا تربيع ﺱ أو ظتا تربيع ﺱ، فإنه يمكننا استخدام المتطابقتين المثلثيتين ظا تربيع ﺱ يساوي قا تربيع ﺱ ناقص واحد، وظتا تربيع ﺱ يساوي قتا تربيع ﺱ ناقص واحد لإعادة كتابة هذين التكاملين بدلالة التكاملات القياسية التي نعرفها بالفعل.
وإذا لم تتمكن من تذكر أي من هاتين المتطابقتين، يمكن استنتاج كل منهما من متطابقة فيثاغورس جا تربيع ﺱ زائد جتا تربيع ﺱ يساوي واحدًا. في المثال الأخير، سنوجد قيمة تكامل غير محدد يتضمن ظتا تربيع ﺱ من خلال تطبيق هذه المتطابقة المثلثية أولًا، ثم تطبيق صيغة المشتقة العكسية لـ قتا تربيع ﺱ ثانيًا.
أوجد التكامل غير المحدد لسالب خمسة مضروبًا في ظتا تربيع أربعة ﺱ زائد سبعة زائد واحد بالنسبة إلى ﺱ.
أولًا، بما أن سالب خمسة ثابت، يمكننا إخراجه من الدالة التي سيجرى عليها التكامل. ثانيًا، بما أن زاوية الدالة المثلثية هو أربعة ﺱ زائد سبعة وليس ﺱ، فيمكننا التعويض. يمكننا أن نجعل ﻉ يساوي أربعة ﺱ زائد سبعة. ومن ثم، ﺩﻉ على ﺩﺱ يساوي أربعة أو يكافئ ذلك أن ربع ﺩﻉ يساوي ﺩﺱ. وعند تغيير المتغير في التكامل، نحصل على سالب خمسة مضروبًا في التكامل غير المحدد لـ ظتا تربيع ﻉ زائد واحد ربع ﺩﻉ، والذي يمكننا كتابته على الصورة: سالب خمسة على أربعة مضروبًا في التكامل غير المحدد لـ ظتا تربيع ﻉ زائد واحد بالنسبة إلى ﻉ.
نلاحظ أن الدالة التي سنجري عليها التكامل تحتوي على مربع دالة ظل التمام. والمشتقة العكسية لـ ظتا تربيع ﺱ يصعب إيجادها بسهولة، لكننا نعلم أنه يمكننا التعبير عن ظتا تربيع ﺱ بدلالة قتا تربيع ﺱ، التي نعرف مشتقتها العكسية. لعلنا نتذكر أن ظتا تربيع ﺱ يساوي قتا تربيع ﺱ ناقص واحد. ويمكن الحصول على ذلك باستخدام متطابقة فيثاغورس. ومن ثم، تصبح الدالة التي سنجري عليها التكامل قتا تربيع ﻉ ناقص واحد زائد واحد أو ببساطة قتا تربيع ﻉ. يمكننا الآن المتابعة بتذكر النتيجة القياسية التي تنص على أن التكامل غير المحدد لـ قتا تربيع ﺱ بالنسبة إلى ﺱ يساوي سالب ظتا ﺱ زائد ﺙ.
بتطبيق هذه النتيجة، نحصل على سالب خمسة على أربعة مضروبًا في سالب ظتا ﻉ زائد ﺙ. وبإلغاء التعويض واسترجاع أربعة ﺱ زائد سبعة بدلًا من ﻉ، نحصل على الإجابة النهائية، وهي أن التكامل غير المحدد لسالب خمسة مضروبًا في ظتا تربيع أربعة ﺱ زائد سبعة زائد واحد بالنسبة إلى ﺱ يساوي خمسة على أربعة مضروبًا في ظتا أربعة ﺱ زائد سبعة زائد ﺙ.
هيا نلخص الآن بعض النقاط الرئيسية الواردة في هذا الفيديو. أولًا، التكامل غير المحدد لحاصل ضرب قا ﺱ وظا ﺱ بالنسبة إلى ﺱ يساوي قا ﺱ زائد ﺙ. ولإيجاد تكامل دالة مثلثية متممة، نعوض عن كل دالة بالدالة المتممة المناظرة لها، ونغير إشارة المشتقة العكسية. على سبيل المثال، في حالة تكامل الدالة المتممة للدالة الموضحة في النقطة الرئيسية الأولى، فإن التكامل غير المحدد لـ قتا ﺱ مضروبًا في ظتا ﺱ بالنسبة إلى ﺱ يساوي سالب قتا ﺱ زائد ﺙ. وبالمثل، في حالة تكامل قتا تربيع ﺱ بالنسبة إلى ﺱ، نستخدم ما نعرفه عن التكامل القياسي لـ قا تربيع ﺱ بالنسبة إلى ﺱ، لنحصل على سالب ظتا ﺱ زائد ﺙ.
وأخيرًا، النتائج القياسية لتكامل ظا تربيع ﺱ وظتا تربيع ﺱ يصعب إيجادها بسهولة، ولكن يمكننا استخدام المتطابقتين المثلثيتين ظا تربيع ﺱ زائد واحد يساوي قا تربيع ﺱ وظتا تربيع ﺱ زائد واحد يساوي قتا تربيع ﺱ، للتعبير عن أي تكامل لـ ظا تربيع ﺱ أو ظتا تربيع ﺱ بدلالة التكاملين القياسيين اللذين نعرفهما بالفعل لـ قا تربيع ﺱ وقتا تربيع ﺱ.
