فيديو الدرس: تطبيقات على قانون الجيب وقانون جيب التمام الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نستخدم قانوني الجيب وجيب التمام لحل مسائل من الحياة اليومية. وبما أننا نركز على تطبيقات هذين القانونين، سنفترض في هذه المرحلة معرفتك بالقانونين. ولن نشرح أساسيات هذين القانونين أو كيفية إثباتهما في هذا الفيديو.

لكننا في البداية، سنذكرك سريعًا بقانوني الجيب وجيب التمام ومتى يمكن استخدامهما. لنفترض أن لدينا مثلثًا اسمه ﺃﺏﺟ كما هو موضح. تذكر أننا نستخدم هذين القانونين بهدف إيجاد الأضلاع المجهولة والزوايا في المثلث. ليس بالضرورة أن تكون أي من زوايا هذا المثلث قائمة. لذا، فإن النقطة الأساسية الأولى التي علينا تذكرها هي أن قانوني الجيب وجيب التمام يتيحان لنا حساب أطوال الأضلاع وقياسات الزوايا في المثلثات غير القائمة الزاوية.

أولًا، قانون الجيب أو قانون الجيوب. وينص على أنه في أي مثلث تكون النسبة بين طول كل ضلع وجيب الزاوية المقابلة له ثابتة، ويمكن كتابته على الصورة ﺃ شرطة على جا ﺃ يساوي ﺏ شرطة على جا ﺏ يساوي ﺟ شرطة على جا ﺟ. حيث يشير ﺃ شرطة وﺏ شرطة وﺟ شرطة إلى أضلاع المثلث.

لسنا بحاجة إلى استخدام الأجزاء الثلاثة من قانون الجيب، يكفي جزآن من علاقة التساوي هذه. المعلومات اللازمة لتطبيق قانون الجيب هي زاويتان وطولا الضلعين المقابلين لهما. من هنا، نجد أننا سنكون بحاجة إلى قانون الجيب عندما نتعامل مع معلومات عن أزواج متقابلة.

هذه الصورة الأولى من قانون الجيب مفيدة بشكل خاص عند حساب طول ضلع مجهول؛ حيث إن أطوال الأضلاع موجودة في بسوط الكسور، لذا يتطلب الأمر إعادة ترتيب أقل. ولدينا أيضًا صورة المقلوب، وتكون مفيدة تحديدًا عند حساب قياس أي زاوية جا ﺃ على ﺃ شرطة يساوي جا ﺏ على ﺏ شرطة يساوي جا ﺟ على ﺟ شرطة. إذن هذا هو قانون الجيب، وسنتناول الآن قانون جيب التمام أو قانون جيوب التمام.

الصورة الأكثر شيوعًا هي تلك المكتوبة على هذا النحو. ‏‏ﺃ شرطة تربيع يساوي ﺏ شرطة تربيع زائد ﺟ شرطة تربيع ناقص اثنين ﺏ شرطة ﺟ شرطة جتا ﺃ. ونستخدمها لحساب طول أحد الأضلاع، وهو في هذه الحالة طول الضلع ﺃ شرطة، عندما يكون لدينا طولا الضلعين الآخرين في المثلث وقياس الزاوية المحصورة بينهما. فنحن نعرف طولي الضلعين ﺏ شرطة وﺟ شرطة وقياس الزاوية ﺃ.

يمكننا أيضًا إعادة ترتيب قانون جيب التمام ليكون بصورة تمكننا من حساب قياس أي زاوية في المثلث إذا كنا نعرف أطوال الأضلاع الثلاثة. عملية إعادة الترتيب مباشرة؛ حيث يصبح لدينا جتا ﺃ يساوي ﺏ شرطة تربيع زائد ﺟ شرطة تربيع ناقص ﺃ شرطة تربيع الكل على اثنين ﺏ شرطة ﺟ شرطة. في هذه الحالة، كما ذكرنا، نحن نعرف أطوال الأضلاع الثلاثة ونريد إيجاد قياس إحدى الزوايا.

مرة أخرى، لن نتناول البراهين والتطبيق الأساسي لهذين القانونين في هذا الفيديو. بدلًا من ذلك، سنركز على تطبيق هذين القانونين على بعض المسائل من الحياة اليومية. لنلق نظرة على السؤال الأول.

قطعت طائرة مسافة ٨٠٠ متر على طول ممر الطائرات قبل أن تقلع بزاوية قياسها ١٠ درجات. وقطعت مسافة إضافية قدرها ١٠٠٠ متر بالزاوية نفسها الموضحة في الشكل. احسب المسافة التي قطعتها الطائرة من نقطة البداية. قرب إجابتك لأقرب منزلتين عشريتين.

بالنظر إلى الشكل، يمكننا أن نرى أن لدينا مثلثًا. ونريد حساب المسافة التي قطعتها الطائرة من نقطة البداية. هذا يمثل الطول هنا، والذي نشير إليه بـ ﺩ من الأمتار. نحن نعرف طولي الضلعين الآخرين في هذا المثلث. فطولاهما ٨٠٠ متر و١٠٠٠ متر. وباستخدام حقيقة أن مجموع قياسات الزوايا الواقعة على خط مستقيم واحد هو ١٨٠ درجة، يمكننا إيجاد قياس هذه الزاوية هنا. إنه ١٨٠ درجة ناقص ١٠ درجات؛ أي ١٧٠ درجة.

بما أن هذا المثلث غير قائم الزاوية، فعلينا حل هذه المسألة باستخدام قانون الجيب أو قانون جيب التمام. إذن، الخطوة الأولى هي أن نقرر أي قانون منهما سنستخدمه. وهذا يعتمد على المعطيات الموجودة لدينا وعلى ما نريد حسابه.

في هذا المثلث، نحن نعرف طولي ضلعين وقياس الزاوية المحصورة بينهما. ونريد حساب طول الضلع الثالث. إننا نتذكر أن هذا يعني أن علينا استخدام قانون جيب التمام. دعونا نسترجع قانون جيب التمام. إنه ﺃ شرطة تربيع يساوي ﺏ شرطة تربيع زائد ﺟ شرطة تربيع ناقص اثنين ﺏ شرطة ﺟ شرطة جتا ﺃ. والآن، لا داعي حقًا لتسمية المثلث بالأحرف ﺃ وﺏ وﺟ. بدلًا من ذلك، علينا فقط تذكر أن ﺏ شرطة وﺟ شرطة يمثلان طولي الضلعين المعلومين لدينا، وأن ﺃ يمثل الزاوية المحصورة بينهما.

إذن بالتعويض عن طولي الضلعين ﺏ شرطة وﺟ شرطة بالقيمتين ٨٠٠ و١٠٠٠ وعن قياس الزاوية ﺃ بالقيمة ١٧٠ درجة، يصبح لدينا المعادلة ﺩ تربيع يساوي ٨٠٠ تربيع زائد ١٠٠٠ تربيع ناقص اثنين في ٨٠٠ في ١٠٠٠ في جتا ١٧٠ درجة. يمكننا كتابة هذا مباشرة على الآلة الحاسبة، أو قد يكون من الجيد تقسيم العملية الحسابية إلى عدة مراحل. في كلتا الحالتين، نحصل على ﺩ تربيع يساوي ٣٢١٥٦٩٢٫٤٠٥.

والآن، علينا أن نتذكر أن هذه هي قيمة ﺩ تربيع. وليست ﺩ، ما يعني أننا لم ننته بعد. علينا حساب الجذر التربيعي لإيجاد قيمة ﺩ. من الأخطاء الشائعة أن ننسى حساب ذلك. وبحساب الجذر التربيعي، نحصل على ﺩ يساوي ١٧٩٣٫٢٣٥١٧٨. يطلب منا السؤال تقريب الإجابة لأقرب منزلتين عشريتين. إذن، بالتقريب كما هو مطلوب، نكون قد أوجدنا المسافة التي قطعتها الطائرة من نقطة البداية. إنها ١٧٩٣٫٢٤ مترًا لأقرب منزلتين عشريتين.

في هذا المثال، كان لدينا شكل لاستخدامه. لن يكون الأمر كذلك في أغلب الحالات، وبالتالي سنحتاج إلى استخدام المعطيات من الوصف المكتوب لرسم شكل يساعدنا في حل السؤال. سنتناول الآن مثالًا على ذلك.

تبحر سفينة في اتجاه الجنوب بسرعة ٣٦ كيلومترًا لكل ساعة. ويوجد جبل جليدي يقع عند ٢٤ درجة باتجاه الشمال الشرقي. بعد مرور ساعة واحدة، كانت السفينة عند ٣٣ درجة في اتجاه الجنوب الغربي للجبل الجليدي. أوجد المسافة بين السفينة والجبل الجليدي في هذه اللحظة لأقرب كيلومتر.

تكمن المهارة في حل هذا السؤال في رسم الشكل. لنبدأ برسم بوصلة توضح الاتجاهات الأربعة. بعد ذلك سنتناول كل عبارة على حدة، وسنفكر في كيفية تمثيلها. في البداية، نحن نعلم أن السفينة تبحر في اتجاه الجنوب. ونعلم من السؤال أنه يوجد جبل جليدي عند ٢٤ درجة في اتجاه الشمال الشرقي لنقطة بداية السفينة.

وسيكون الشرق على يمين السفينة مباشرة على الشكل لدينا. ‏‏٢٤ درجة باتجاه الشمال الشرقي تعني أن الجبل الجليدي يقع في مكان ما على الخط المستقيم هكذا. بعد ذلك، علمنا أنه بعد مرور ساعة واحدة كانت السفينة عند ٣٣ درجة في اتجاه الجنوب الغربي للجبل الجليدي. حسنًا، اتجاه الغرب سيكون في الاتجاه يسار الجبل الجليدي مباشرة. وباستخدام الزاويتين المتبادلتين في مستقيمين متوازيين، نعلم أن قياس الزاوية المتكونة هنا هو ٢٤ درجة.

نحن نعلم أن قياس الزاوية الكاملة بين الخط الأفقي والموضع الذي تحركت إليه السفينة الآن هو ٣٣ درجة. ويمكننا الآن ملاحظة أن لدينا مثلثًا. يمكننا إيجاد قياسات زوايا المثلث. على سبيل المثال، قياس هذه الزاوية هنا هو الفرق بين ٣٣ درجة و٢٤ درجة. إنه تسع درجات. يمكننا أيضًا إيجاد قياس هذه الزاوية هنا، فهو ٢٤ درجة زائد قياس الزاوية بين الجنوب والشرق وهو ٩٠ درجة، ما يعطينا إجماليًا ١١٤ درجة.

المعلومة الوحيدة التي لم نستخدمها بعد هي أن السفينة تبحر بسرعة ٣٦ كيلومترًا لكل ساعة. ونحن نعلم أن السفينة تستغرق ساعة واحدة لكي تبحر من موضعها الأصلي إلى موضعها الجديد. إذن ستكون السفينة قد قطعت ٣٦ كيلومترًا في هذه اللحظة. ونحن نعرف كذلك طول ضلع واحد في المثلث.

المطلوب حسابه هو المسافة بين السفينة والجبل الجليدي في ذلك الوقت المحدد. يمثل ذلك هذا الضلع هنا، والذي يمكننا الإشارة إليه بـ ﺩ من الكيلومترات. لقد رسمنا الشكل الآن، ونرى أن لدينا مثلثًا غير قائم الزاوية، ما يعني أننا سنطبق إما قانون الجيب وإما قانون جيب التمام. لنلق نظرة على مجموعة المعطيات الموجودة لدينا.

نحن نعلم أن هناك زاوية قياسها تسع درجات والضلع المقابل لها طوله ٣٦ كيلومترًا. ونعلم أيضًا أن هناك زاوية قياسها ١١٤ درجة. ونريد حساب طول الضلع المقابل الذي طوله ﺩ من الكيلومترات. لدينا إذن أزواج متقابلة من الأضلاع والزوايا، ما يخبرنا أن علينا استخدام قانون الجيب للإجابة عن هذا السؤال.

تذكر أنه ينص على أن النسبة بين طول كل ضلع وجيب الزاوية المقابلة له ثابتة. ‏‏ﺃ شرطة على جا ﺃ يساوي ﺏ شرطة على جا ﺏ يساوي ﺟ شرطة على جا ﺟ. نحتاج فقط إلى استخدام جزأين من هذه النسبة. ولن نحتاج إلى تسمية أطوال أضلاع المثلث بالأحرف ﺃ شرطة وﺏ شرطة وﺟ شرطة طالما أننا نعرف بوضوح ما تمثله.

الضلع الذي طوله ﺩ لدينا يقابل الزاوية التي قياسها ١١٤ درجة، والضلع الذي طوله ٣٦ كيلومترًا يقابل الزاوية التي قياسها تسع درجات. إذن لدينا ﺩ على جا ١١٤ درجة يساوي ٣٦ على جا تسع درجات. يمكننا حل هذه المعادلة بضرب كلا الطرفين في جا ١١٤ درجة، وهي مجرد قيمة. وبذلك نحصل على ﺩ يساوي ٣٦ جا ١١٤ درجة على جا تسع درجات. بحساب ذلك على الآلة الحاسبة والتأكد من أن الآلة الحاسبة مضبوطة على وضع الدرجات، يصبح لدينا ٢١٠٫٢٣٢٦٧.

يطلب منا السؤال تقريب الإجابة لأقرب كيلومتر. إذن عند التقريب كما هو مطلوب، نجد أن المسافة بين السفينة والجبل الجليدي في هذه اللحظة تساوي ٢١٠ كيلومترات.

رأينا الآن مثالًا على استخدام قانون الجيب ومثالًا على استخدام قانون جيب التمام لحساب طول ضلع. في المثال التالي، سنرى كيف يمكننا تطبيق قانون جيب التمام في حساب جميع الزوايا المجهولة في المثلث عند معرفة أطوال أضلاعه الثلاثة.

تقع مدينة لوس أنجلوس على مسافة ١٧٤٤ ميلًا من مدينة شيكاغو، وتقع مدينة شيكاغو على مسافة ٧١٢ ميلًا من مدينة نيويورك، وتقع مدينة نيويورك على مسافة ٢٤٥١ ميلًا من مدينة لوس أنجلوس. أوجد قياسات الزوايا في المثلث الذي تقع رءوسه عند هذه المدن الثلاث.

على الرغم من أن المعرفة بجغرافية الولايات المتحدة الأمريكية قد تكون مفيدة هنا قليلًا، فهي ليست ضرورية لحل هذه المسألة. يمكننا فقط رسم مثلث باستخدام الأطوال الثلاثة المعطاة في السؤال. وإذا كان هذا المثلث مقلوبًا، فالأمر لن يسبب مشكلة. يجب أن يبدو المثلث بهذا الشكل، ويمكننا كتابة المسافات الثلاث.

حسنًا، يبدو أن هذا المثلث ليس مثلثًا قائم الزاوية بالتأكيد. إذن علينا أن نطبق إما قانون الجيب وإما قانون جيب التمام على هذه المسألة. نحن نعلم أطوال الأضلاع الثلاثة، ونريد حساب قياس كل زاوية من الزوايا، ما يخبرنا أن علينا استخدام قانون جيب التمام. الصورة المعاد ترتيبها لهذا القانون، والتي تفيد في حساب قياسات الزوايا، هي: جتا ﺃ يساوي ﺏ شرطة تربيع زائد ﺟ شرطة تربيع ناقص ﺃ شرطة تربيع الكل على اثنين ﺏ شرطة ﺟ شرطة. إذا لم يكن بإمكانك تذكر ذلك، فعليك إجراء إعادة الترتيب بنفسك باستخدام قانون جيب التمام في صورته المعروفة.

في هذا السؤال دعونا نستخدم ﺃ لتمثل لوس أنجلوس وﺟ لتمثل شيكاغو وﺏ لتمثل نيويورك. سنستخدم الحروف المناظرة مع اضافة علامة شرطة لتمثيل أطوال الأضلاع المقابلة لحساب قياس الزاوية الأولى، وهي هذه الزاوية هنا، نعوض بالقيم ذات الصلة. ما يعطينا جتا ﺃ يساوي ١٧٤٤ تربيع زائد ٢٤٥١ تربيع ناقص ٧١٢ تربيع الكل على اثنين مضروبًا في ١٧٤٤ مضروبًا في ٢٤٥١.

يمكننا حساب ذلك باستخدام الآلة الحاسبة. ولإيجاد قيمة ﺃ، علينا استخدام الدالة العكسية لجيب التمام. وبذلك نحصل على ﺃ يساوي ٢٫٣٣٤ درجة. ونكون قد أوجدنا قياس الزاوية الأولى في المثلث. وسنكتب الحل لأقرب منزلتين عشريتين.

لكي نحسب قياس الزاوية التالية في هذا المثلث، حيث سنستخدم الزاوية ﺟ هذه المرة، ليس علينا إعادة تسمية المثلث. علينا فقط أن نتذكر أن الحرفين ﺏ شرطة وﺟ شرطة يمثلان طولي الضلعين اللذين يحصران الزاوية، وأن الحرف ﺃ شرطة يمثل طول الضلع المقابل. سنستخدم هنا ١٧٤٤ و٧١٢ لطولي الضلعين اللذين يحصران الزاوية، و٢٤٥١ لطول الضلع المقابل. وهو ما يعطينا جتا ﺟ يساوي سالب ٠٫٩٩٠١. ومرة أخرى، بتطبيق الدالة العكسية لجيب التمام، نجد أن قياس الزاوية ﺟ يساوي ١٧١٫٩٣٩ درجة.

بذلك نكون قد أوجدنا قياسي زاويتين في المثلث. ولإيجاد قياس الزاوية الثالثة، يمكننا طرح قياسي الزاويتين اللتين حسبناهما من ١٨٠ درجة. لكننا إذا لم نستخدم هذه الطريقة، فستكون هذه خطوة مفيدة للتحقق. وبالطريقة نفسها تمامًا، لكن هذه المرة باستخدام ٧١٢ و٢٤٥١ كطولي الضلعين اللذين يحصران الزاوية و١٧٤٤ كطول الضلع المقابل، نجد أن قياس الزاوية ﺏ يساوي ٥٫٧٢٦ من الدرجات.

بجمع قياسات الزوايا الثلاث التي أوجدناها، مع تقريب كل منها لأقرب منزلتين عشريتين، نجد أن مجموعها بالفعل يساوي ١٨٠ درجة. وبالتالي، يمكننا الوثوق في إجابتنا. إذن قياسات الزوايا الثلاث في المثلث المكونة من هذه المدن الثلاث، وكل قياس منها مقرب لأقرب منزلتين عشريتين، هي ٢٫٣٣ من الدرجات و٥٫٧٣ من الدرجات و١٧١٫٩٤ من الدرجات.

في المثال الأخير، سنرى كيف يمكننا استخدام قانون الجيب وقانون جيب التمام لحل مسائل في سياقات رياضية أخرى.

لدينا دائرة مركزها ﻡ، وكل من ﺃ وﺏ وﺟ نقاط على محيطها. إذا كان ﺏﺟ يساوي ١٣ سنتيمترًا وقياس الزاوية ﺟﻡﺏ يساوي ٨٤ درجة، فأوجد مساحة الدائرة ﻡ لأقرب سنتيمتر مربع.

نحن نعرف أن مساحة الدائرة تساوي 𝜋نق تربيع. إذن ، تدور هذه المسألة حول إيجاد نصف قطر هذه الدائرة. لنبدأ بوضع المعطيات لدينا على الشكل. طول ﺏﺟ يساوي ١٣ سنتيمترًا، وقياس الزاوية ﺟﻡﺏ يساوي ٨٤ درجة. نحن لا نعلم طول ﻡﺟ أو ﻡﺏ، لكن كلًا منهما يمثل نصف قطر الدائرة.

حسنًا، هناك طرق عديدة مختلفة يمكن أن نتبعها. لكن إحدى الطرق هي تطبيق قانون جيب التمام في المثلث ﺟﻡﺏ. ينص هذا القانون على أن ﺃ شرطة تربيع يساوي ﺏ شرطة تربيع زائد ﺟ شرطة تربيع ناقص اثنين ﺏ شرطة ﺟ شرطة جتا ﺃ؛ حيث ﺏ شرطة وﺟ شرطة يمثلان طولي ضلعين في مثلث وﺃ يمثل الزاوية المحصورة بينهما. في هذا المثلث، ﺃ شرطة يساوي ١٣ سنتيمترًا. قياس الزاوية ﺃ يساوي ٨٤ درجة. والضلعان اللذان يحصران هذه الزاوية هما نصفا قطر الدائرة نق.

حسنًا، يمكننا تكوين معادلة. ‏‏١٣ تربيع يساوي نق تربيع زائد نق تربيع ناقص اثنين نق تربيع جتا ٨٤ درجة. يمكننا حل هذه المعادلة لإيجاد قيمة نق تربيع، والتي يمكننا التعويض بها مباشرة في صيغة المساحة بعد ذلك. بأخذ نق تربيع في الطرف الأيسر من المعادلة كعامل مشترك، يصبح لدينا ١٦٩ يساوي نق تربيع مضروبًا في اثنين ناقص اثنين جتا ٨٤ درجة. وبقسمة الطرفين على القيمة بين القوسين، يصبح لدينا نق تربيع يساوي ١٦٩ على اثنين ناقص اثنين جتا ٨٤ درجة. وسنبقي على قيمة نق تربيع كما هي بالضبط.

يمكننا بعد ذلك التعويض بقيمة نق تربيع في صيغة المساحة وحساب قيمة ذلك على الآلة الحاسبة. بتقريب الإجابة، نجد أن مساحة الدائرة ﻡ لأقرب سنتيمتر مربع تساوي ٢٩٦ سنتيمترًا مربعًا.

وكما ذكرت، هناك العديد من الطرق لحل هذه المسألة، ويمكنك تجربتها بنفسك إن أردت. كان بإمكاننا تطبيق قانون الجيب في المثلث ﺟﻡﺏ. أو بإمكاننا تقسيم المثلث إلى نصفين لتكوين مثلثين قائمي الزاوية، ثم استخدام حساب المثلثات للمثلث القائم الزاوية.

سنلخص الآن النقاط الأساسية التي تناولناها في هذا الفيديو. يمكن استخدام قانوني الجيب وجيب التمام لحساب أطوال الأضلاع وقياسات الزوايا في المثلثات غير القائمة الزاوية. يمكن استخدام قانون الجيب بأي من صورتيه لحساب طول ضلع أو قياس زاوية عندما تكون لدينا معلومات عن أزواج متقابلة. يمكن استخدام قانون جيب التمام في صورته الأولى لحساب طول ضلع عندما نعرف طولي الضلعين الآخرين وقياس الزاوية المحصورة بينهما. وفي صورته المعاد ترتيبها، يمكن استخدامه لحساب قياس أي زاوية عندما نعرف أطوال الأضلاع الثلاثة.

يمكننا تطبيق قانوني الجيب وجيب التمام على العديد من المسائل التي تتضمن مثلثات. وعلى الرغم من أننا لم نر مثالًا على ذلك، يمكننا أيضًا تطبيق كلا القانونين في المسألة نفسها.