تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

فيديو السؤال: تحديد إذا ما كانت دالتان كل منهما معكوس للأخرى من تمثيليهما البياني الرياضيات

بعد رسم التمثيلين البيانيين للدالتين ﺩ(ﺱ) = ٢ﺱ^٢، ﺭ(ﺱ) = الجذر التربيعي لـ (ﺱ‏/‏٢)؛ حيث ﺱ ≥ ٠، حدد إذا ما كانت هاتان الدالتان عكسيتين.

٠٩:٠٧

‏نسخة الفيديو النصية

بعد رسم التمثيلين البيانيين للدالتين ﺩﺱ تساوي اثنين ﺱ تربيع وﺭﺱ تساوي الجذر التربيعي لـ ﺱ على اثنين؛ حيث ﺱ أكبر من أو يساوي صفرًا، حدد إذا ما كانت هاتان الدالتان عكسيتين.

حسنًا، تذكر أن الدالة العكسية بشكل أساسي تعكس تأثير الدالة الأصلية. على سبيل المثال، افترض أن لدينا الدالة ﺩﺱ. الدالة العكسية ﺩ لـ ﺩﺱ تساوي ﺱ لجميع قيم ﺱ التي تقع ضمن مجال الدالة. لكن ما الذي يعنيه ذلك عندما نتحدث عن التمثيلات البيانية للدوال؟ سنفترض أن لدينا التمثيل البياني لـ ﺹ يساوي ﺩﺱ. وفي هذه الحالة، يمكن الحصول على التمثيل البياني لدالتها العكسية ﺹ يساوي معكوس ﺩﺱ من خلال انعكاس التمثيل البياني الأصلي حول الخط المستقيم ﺹ يساوي ﺱ، والعكس صحيح.

هذا يعني أنه لكل نقطة محددة على التمثيل البياني، يتبدل موضعا قيمتي زوج الإحداثيات ﺱ وﺹ. افترض، على سبيل المثال، أن لدينا النقطة ﺃ، ﺏ التي تقع على التمثيل البياني للدالة ﺹ يساوي ﺩﺱ. إذن، على التمثيل البياني للدالة العكسية ﺹ يساوي معكوس ﺩﺱ، تتحول هذه النقطة إلى النقطة التي إحداثياتها ﺏ، ﺃ. والآن، دعونا نرسم التمثيلين البيانيين للدالتين ﺩﺱ وﺭﺱ.

يمكننا ملاحظة أن مجال كل من الدالتين يقتصر على الأعداد الحقيقية غير السالبة. وهذه ملاحظة مهمة لأن ﺩﺱ هي في الواقع دالة متعددة القيم. هذا يعني أننا إذا لم نقيد مجالها، فسيكون معكوسها واحدًا إلى متعدد. وبالطبع، عندما يكون التحويل هو واحدًا إلى متعدد، فإنه لا يمثل دالة. لذا علينا تقييد المجال للتأكد من أن اثنين ﺱ تربيع هو دالة أحادية حتى نتمكن من عكسها. على وجه التحديد، التمثيل البياني لـ ﺹ يساوي ﺩﺱ أو ﺹ يساوي اثنين ﺱ تربيع يبدو هكذا. إنه يمر بنقطة الأصل؛ أي النقطة صفر، صفر. ويمكننا أيضًا اختيار نقطة أخرى تقع على المنحنى، على سبيل المثال، النقطة التي إحداثياتها اثنان، ثمانية.

لكن كيف يبدو التمثيل البياني للجذر التربيعي لـ ﺱ على اثنين؟ حسنًا، نحن نعلم الشكل العام للتمثيل البياني للدالة ﺹ يساوي الجذر التربيعي لـ ﺱ. لذلك يمكننا إجراء تحويل هندسي بسيط لرسم ذلك على التمثيل البياني لـ ﺹ يساوي الجذر التربيعي لـ ﺱ على اثنين. هذا التحويل هو تمدد أفقي بمعامل قياس مقداره اثنان. هذا يعني أن الشكل يظل كما هو تقريبًا. وفي الواقع، يمكننا توضيح ذلك على التمثيل البياني كما هو موضح. يبدو لنا هنا بالطبع أنه يمكن تحويل أي من الدالتين ﺩﺱ وﺭﺱ إلى الأخرى بانعكاس أي منهما حول الخط المستقيم ﺹ يساوي ﺱ، لكن علينا التحقق من ذلك.

أحد الأمور التي يمكننا فعلها للتأكد هو أن نرى إذا ما كانت النقطة التي إحداثياتها ثمانية، اثنان تقع على منحنى الدالة ﺭﺱ. ولفعل ذلك، سنفترض أن ﺱ يساوي ثمانية. تذكر أننا نفعل ذلك لأننا نعلم أن النقطة اثنين، ثمانية تقع على منحنى ﺩﺱ تساوي اثنين ﺱ تربيع. ‏ﺭ لثمانية تساوي الجذر التربيعي لثمانية مقسومًا على اثنين. وهذا يعطينا الجذر التربيعي لأربعة، والذي يساوي ببساطة اثنين. وبهذا، نكون قد تأكدنا أن النقطة اثنين، ثمانية تتحول إلى النقطة ثمانية، اثنين بالانعكاس حول الخط المستقيم ﺹ يساوي ﺱ. إننا نعلم أن كلًّا من منحنيي الدالتين يمر بالنقطة صفر، صفر. لكن ما النقطة الأخرى التي يتقاطعان عندها؟

حسنًا، دعونا نحل المعادلتين ﺹ يساوي ﺱ وﺹ يساوي اثنين ﺱ تربيع آنيًّا. هذا سيوضح لنا النقطة التي يتقاطع عندها الخط المستقيم ﺹ يساوي ﺱ مع الدالة الأولى. وبعد ذلك، يمكننا تحديد إذا ما كانت هذه النقطة تقع أيضًا على منحنى الدالة ﺭﺱ تساوي الجذر التربيعي لـ ﺱ على اثنين. لحل هاتين المعادتين آنيًّا، سنساوي إحداهما بالأخرى. وبهذا، يصبح لدينا اثنان ﺱ تربيع يساوي ﺱ. سنطرح ﺱ من الطرفين، ثم سنحلل الطرف الأيمن. وهذا يعطينا ﺱ في اثنين ﺱ ناقص واحد يساوي صفرًا.

أحد حلي هذه المعادلة هو ﺱ يساوي صفرًا. ونحن نعلم بالفعل أن منحنى الدالة الأولى يتقاطع مع الخط المستقيم عند نقطة الأصل. الحل الآخر المحتمل لدينا هو عندما يكون اثنان ﺱ ناقص واحد يساوي صفرًا. لذا، إذا أضفنا واحدًا إلى كلا الطرفين وقسمناهما على اثنين، فسنجد أن ﺱ يساوي نصفًا. وبالتعويض بذلك في أي من المعادلتين، على سبيل المثال المعادلة ﺹ يساوي ﺱ، سنجد أن الخط المستقيم ﺹ يساوي ﺱ ومنحنى الدالة ﺹ يساوي اثنين ﺱ تربيع يتقاطعان عند النقطة نصف، نصف.

حسنًا، ليس من المهم أن يكون التمثيل البياني مرسومًا بمقياس رسم؛ فهذا مجرد رسم. لكن ما علينا التحقق منه هو إذا ما كانت النقطة نصف، نصف تقع على منحنى الدالة ﺭﺱ تساوي الجذر التربيعي لـ ﺱ على اثنين. لذا، سنعوض مرة أخرى في هذه الدالة. لكن هذه المرة سنعوض بـ ﺱ يساوي نصفًا. ‏ﺭ لنصف تساوي الجذر التربيعي لنصف مقسومًا على اثنين، أو الجذر التربيعي لربع. لإيجاد الجذر التربيعي لكسر ما، يمكننا ببساطة إيجاد جذر كل من البسط والمقام. وهذا يعطينا نصفًا. هذا يؤكد لنا أن النقطة نصف، نصف تقع على منحنى الدالة ﺭﺱ تساوي الجذر التربيعي لـ ﺱ على اثنين.

إذن بإيجاز، ما فعلناه في هذا المثال هو أننا رسمنا كل تمثيل بياني على حدة وأوضحنا إذا ما كان من الممكن تحويل أحد التمثيلين البيانيين إلى الآخر بالانعكاس حول الخط المستقيم ﺹ يساوي ﺱ. ومن ثم، تحققنا من ذلك باستخدام نقطة واحدة. لاحظنا هنا أن النقطة اثنين، ثمانية تحولت إلى النقطة ثمانية، اثنين. وبما أنه تم تبديل موضعي قيمتي زوج الإحداثيات ﺱ وﺹ، علمنا أن هذا يمثل انعكاسًا حول الخط المستقيم ﺹ يساوي ﺱ. وتأكدنا أيضًا من أن الدالتين ﺩﺱ وﺭﺱ تتقاطعان عند نفس النقطتين على طول الخط المستقيم ﺹ يساوي ﺱ. وبذلك، نكون قد أوضحنا أن الدالتين ﺩﺱ وﺭﺱ كل منهما معكوس للأخرى.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.