فيديو السؤال: إيجاد معادلة الكرة بمعلومية نصف قطرها والمسافة بين نقطة والمستوى ‪ﺱﺹ‬‏ الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

كرة نصف قطرها ٥٠ ومركزها يقع عند نقطة على المحور ‪ﻉ‬‏ تبعد مسافة مقدارها ١٧ عن المستوى ‪ﺱﺹ‬‏. ما معادلة الكرة؟

في هذا السؤال، مطلوب منا تحديد معادلة الكرة. نعلم أن نصف قطر الكرة يساوي ٥٠. ولدينا أيضًا بعض المعطيات عن مركز الكرة. مركز الكرة يقع عند نقطة على المحور ‪ﻉ‬‏ تبعد مسافة مقدارها ١٧ عن المستوى ‪ﺱﺹ‬‏. إذن للإجابة عن هذا السؤال، دعونا نبدأ بتذكر كيفية تمثيل كرة بمعادلة.

نتذكر أن الكرة التي مركزها النقطة ‪ﺃ‬‏، ‪ﺏ‬‏، ‪ﺟ‬‏، ونصف قطرها ‪نق‬‏ تكون معادلتها ‪ﺱ‬‏ ناقص ‪ﺃ‬‏ الكل تربيع زائد ‪ﺹ‬‏ ناقص ‪ﺏ‬‏ الكل تربيع زائد ‪ﻉ‬‏ ناقص ‪ﺟ‬‏ الكل تربيع يساوي ‪نق‬‏ تربيع. نسمي هذا الصورة القياسية لمعادلة الكرة. لإيجاد معادلة الكرة هذه، كل ما علينا معرفته هو مركز الكرة. كما يتعين علينا أيضًا معرفة نصف قطر الكرة.

في هذا السؤال، نعلم بالفعل أن نصف قطر الكرة يساوي ٥٠. إذن، يمكننا التعويض عن ‪نق‬‏ بـ ٥٠ في هذه المعادلة. إذن، كل ما علينا إيجاده هو إحداثيات مركز الكرة. لفعل ذلك، سنحتاج إلى الاستعانة بحقيقة أن مركز الكرة هو النقطة التي تقع على المحور ‪ﻉ‬‏، وتبعد مسافة مقدارها ١٧ عن المستوى ‪ﺱﺹ‬‏.

كي نتمكن من إيجاد هذه النقطة، دعونا نرسم المعطيات المعطاة في الشكل. سنبدأ برسم المستوى ‪ﺱﺹ‬‏ على مجموعة محاور ثلاثية الأبعاد، حيث يكون المحور ‪ﻉ‬‏ مستقيمًا رأسيًّا يتماشى مع الشاشة. علينا إيجاد النقاط التي تقع على المحور ‪ﻉ‬‏، وتبعد عن هذا المستوى بمسافة مقدارها ١٧. تذكر، عندما نتحدث عن المسافة بين نقطة ومستوى، فإننا نعني المسافة العمودية بين النقطة والمستوى.

وهذا مفيد جدًّا حقًّا في هذه الحالة لأن المستوى ‪ﺱﺹ‬‏ يجب أن يكون عموديًّا على المحور ‪ﻉ‬‏. ومن ثم، إذا أردنا إيجاد المسافة العمودية بين نقطة على المحور ‪ﻉ‬‏ والمستوى ‪ﺱﺹ‬‏، فلن نحتاج إلا إلى إيجاد الإحداثي ‪ﻉ‬‏ فقط لأن المحور ‪ﻉ‬‏ عمودي بالفعل على المستوى ‪ﺱﺹ‬‏. ومن ثم، فإن النقطة التي تقع على المحور ‪ﻉ‬‏ والتي سيساوي الإحداثي ‪ﻉ‬‏ لها ١٧، تكون على مسافة مقدارها ١٧ من المستوى ‪ﺱﺹ‬‏.

ولكن، هذا ليس الخيار الوحيد. فلدينا أيضًا النقطة التي تقع على المحور ‪ﻉ‬‏ والإحداثي ‪ﻉ‬‏ لها يساوي سالب ١٧. والمسافة العمودية بين هذه النقطة والمستوى ‪ﺱﺹ‬‏ تساوي ١٧ أيضًا. هذا يعطينا نقطتين محتملتين لمركز الكرة، النقطة صفر، صفر، ١٧ أو النقطة صفر، صفر، سالب ١٧. وكلتاهما ستعطياننا معادلتين صحيحتين للكرة بناء على المعلومات المعطاة في السؤال. لذا علينا التعويض بهاتين النقطتين في معادلة الكرة.

عند التعويض عن مركز الكرة بالنقطة صفر، صفر، ١٧ وعن نصف القطر بالقيمة ٥٠ في الصورة القياسية لمعادلة الكرة، نحصل على المعادلة ‪ﺱ‬‏ ناقص صفر الكل تربيع زائد ‪ﺹ‬‏ ناقص صفر الكل تربيع زائد ‪ﻉ‬‏ ناقص ١٧ الكل تربيع يساوي ٥٠ تربيع. وإذا أوجدنا قيمة هذا التعبير وبسطناه، فسنحصل على ‪ﺱ‬‏ تربيع زائد ‪ﺹ‬‏ تربيع زائد ‪ﻉ‬‏ ناقص ١٧ الكل تربيع يساوي ٢٥٠٠.

يمكننا فعل الأمر نفسه بالتعويض عن مركز الكرة بالنقطة صفر، صفر، سالب ١٧ وعن نصف القطر بالقيمة ٥٠. وهذا يعطينا معادلة بديلة وهي ‪ﺱ‬‏ تربيع زائد ‪ﺹ‬‏ تربيع زائد ‪ﻉ‬‏ زائد ١٧ الكل تربيع يساوي ٢٥٠٠. كلتا هاتين المعادلتين ستكونان معادلتين صحيحتين لدائرة نصف قطرها ٥٠، ومركزها عند نقطة تقع على المحور ‪ﻉ‬‏، وتبعد مسافة مقدارها ١٧ عن المحور ‪ﺱﺹ‬‏.