فيديو السؤال: إيجاد معامل الاحتكاك بين جسم ومستوى مائل خشن حيث يكون الجسم على وشك الانزلاق عندما تؤثر عليه قوة الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

جسم يزن ٢٠ نيوتن يستند على مستوى مائل خشن. تؤثر على الجسم قوة مائلة ﻕ اتجاهها لأعلى؛ بحيث يكون خط عملها موازيًا لخط أكبر ميل للمستوى. إذا كان الجسم على وشك التحرك لأعلى المستوى عندما كان ﻕ يساوي ٢٢ نيوتن، وكان على وشك التحرك لأسفل المستوى عندما كان ﻕ يساوي ١٠ نيوتن؛ فأوجد معامل الاحتكاك بين الجسم والمستوى.

لدينا الكثير من المعطيات في هذا السؤال، لذا سنبدأ برسم الجزء الأول من المعطيات. لدينا جسم يزن ٢٠ نيوتن يستند على مستوى مائل. وبما أن وزن الجسم يساوي ٢٠ نيوتن، فإن هذه هي القوة المؤثرة رأسيًا على المنحدر نحو الأسفل. نحن لا نعرف ميل المستوى؛ لذا دعونا نسمه 𝜃. ولدينا القوة المائلة لأعلى ﻕ المؤثرة على الجسم. تؤثر هذه القوة في اتجاه مواز لخط أكبر ميل للمستوى، كما هو موضح.

حسنًا، نحن نعلم بالفعل أنه عند ﻕ يساوي ٢٢ نيوتن، يكون الجسم على وشك التحرك لأعلى المستوى. لكن ما يمنعه من التحرك لأعلى المستوى هو الاحتكاك. تذكر أننا نعلم من المعطيات أن المستوى خشن ومائل. يؤثر الاحتكاك في الاتجاه المعاكس للاتجاه الذي يحاول الجسم أن يتحرك نحوه، كما هو موضح. وفي الواقع، هناك قوة أخرى تعنينًا، وهي قوة رد فعل المستوى على الجسم. وهي تؤثر عموديًا على المستوى.

قبل أن ننتقل إلى الجزء الثاني من المعطيات، سنستخدم ما لدينا لإيجاد قيمة ﻡ. وهو معامل احتكاك المستوى. للقيام بذلك، سنحلل القوى إلى مركبات عمودية على المستوى ومركبات موازية له. عادة ما نبدأ بالمركبات العمودية للقوى. ولكن تكمن المشكلة في أن القوة التي تمثل وزن الجسم لا تؤثر في اتجاه مواز للمستوى أو عمودي عليه. لذا، نضيف هذا المثلث القائم الزاوية. ونفكر في مركبتيه كل على حدة؛ فلنسمهما ﺱ وﺹ.

يمكننا تسمية أضلاع المثلث، كما هو موضح، واستخدام حساب المثلثات القائمة الزاوية لإيجاد تعبيرين لـ ﺱ وﺹ بدلالة 𝜃. سنبدأ باستخدام نسبة جيب التمام. نعلم أن جتا 𝜃 يساوي طول الضلع المجاور على طول الوتر. إذن، جتا 𝜃 هنا يساوي ﺱ على ٢٠ أو ﺱ يساوي ٢٠ جتا 𝜃. وباستخدام النسبة نفسها بطريقة مماثلة، نوجد تعبيرًا لـ ﺹ بدلالة 𝜃؛ وهو ٢٠ جا 𝜃. أصبحنا الآن نعرف أن الجسم على وشك الحركة. وعليه، فإن المجموع الاتجاهي الكلي للقوى المؤثرة عليه يساوي صفرًا. عموديًا على المستوى، لدينا قوة رد فعل تؤثر لأعلى وقوة مقدارها ٢٠ جتا 𝜃 تؤثر في الاتجاه المعاكس عموديًا على المستوى. إذن، ﺭ ناقص ٢٠ جتا 𝜃 يساوي صفرًا، وهو ما يعني أن ﺭ يساوي ٢٠ جتا 𝜃.

بالتوصل إلى هذه المعلومة، يمكننا تحليل القوى إلى مركبات موازية للمستوى. هذه المرة، لدينا قوة مقدارها ٢٢ نيوتن تؤثر لأعلى وموازية للميل، ولدينا قوة الاحتكاك ومركبة الوزن. إذن يمكننا القول إن ٢٢ ناقص الاحتكاك ناقص ٢٠ جا 𝜃 يساوي صفرًا. لكننا نعلم أن الاحتكاك يساوي ﻡﺭ، حيث ﻡ هو معامل الاحتكاك. لذا، نعوض عن الاحتكاك بـ ﻡﺭ. ولكن، علينا أن نتذكر أيضًا أن ﺭ يساوي ٢٠ جتا 𝜃. وبذلك، تصبح المعادلة ٢٢ ناقص ٢٠‏ﻡ‏ جتا 𝜃 ناقص ٢٠ جا 𝜃 يساوي صفرًا.

وبهذا نكون استفدنا من الجزء الأول من المعطيات بأكبر قدر ممكن. سنتناول الآن ما يحدث عند ﻕ يساوي ١٠ نيوتن. عند ﻕ يساوي ١٠ نيوتن، يكون الجسم على وشك التحرك لأسفل المستوى. وهذا يعني أن الاحتكاك يؤثر لأعلى المستوى. تذكر أن الاحتكاك يؤثر في الاتجاه المعاكس للاتجاه الذي يحاول الجسم أن يتحرك نحوه. وهذه المرة، عندما نحلل القوى إلى مركبات موازية للمستوى، نحصل على ١٠ نيوتن وقوة احتكاك تؤثر لأعلى وقوة مقدارها ٢٠ جا 𝜃 تؤثر لأسفل في اتجاه مواز للمستوى.

وبالتعويض عن الاحتكاك مرة أخرى بـ ٢٠‏ﻡ‏ جتا 𝜃، تصبح المعادلة الثانية ١٠ زائد ٢٠‏ﻡ‏ جتا 𝜃 ناقص ٢٠ جا 𝜃 يساوي صفرًا. لاحظ أنه أصبح لدينا معادلتان آنيتان بدلالة ﻡ و𝜃. لنفرغ بعض المساحة ونحلهما. سنبدأ بحذف ﻡ. وهذا سيعطينا معادلة بدلالة 𝜃 فقط. لحذف ﻡ، سنجمع المعادلتين. عندما نفعل ذلك، نجد أن ٣٢ ناقص ٤٠ جا 𝜃 يساوي صفرًا. وبإعادة ترتيب المعادلة، نجد أن جا 𝜃 يساوي ٣٢ على ٤٠. إذن، 𝜃 هي الدالة العكسية لـ جا لهذا الكسر وتساوي ٥٣ درجة تقريبًا.

والآن، سنستخدم القيمة الدقيقة لـ 𝜃 في الجزء التالي من العملية الحسابية. سنعوض بقيمة 𝜃 في أي من المعادلتين. نختار المعادلة الثانية. هذا يعطينا ١٠ زائد ٢٠‏ﻡ‏ جتا ٥٣٫١٣ ناقص ٢٠ جا ٥٣٫١٣ يساوي صفرًا. للحصول على القيمة ٥٣٫١٣، حسبنا الدالة العكسية لـ جا للكسر ٣٢ على ٤٠. إذن، جا ٥٣٫١٣ يجب أن يساوي ٣٢ على ٤٠ أو أربعة أخماس. ومن ثم، يمكننا تبسيط المعادلة قليلًا لتصبح ١٠ زائد ٢٠‏ﻡ‏ جتا ٥٣٫١٣ وهكذا مع توالي الأرقام ناقص ١٦ يساوي صفرًا. ‏‏جتا ٥٣٫١٣ يساوي ثلاثة أخماس.

ربما لاحظت أنه كان بإمكاننا أن نجري هذه العملية الحسابية دون استخدام الآلة الحاسبة. فبرسم مثلث قائم الزاوية واستخدام حقيقة أن جا 𝜃 يساوي ٣٢ على ٤٠ أو أربعة أخماس، نجد أن الضلع الثالث في هذا المثلث القائم الزاوية يساوي ثلاثة. وبما أن جتا يساوي طول الضلع المجاور على طول الوتر، فإننا نحصل على جتا 𝜃 يساوي ثلاثة أخماس. يمكن تبسيط هذه المعادلة إلى سالب ستة زائد ١٢‏ﻡ‏ يساوي صفرًا. نضيف ستة إلى كلا الطرفين ثم نقسمهما على ١٢. ونجد أن ﻡ يساوي نصفًا. بعبارة أخرى، معامل الاحتكاك بين الجسم والمستوى يساوي نصفًا.