نسخة الفيديو النصية
أوجد قيمة كل من ﺃ وﺏ إذا كانت الدالة ﺩ قابلة للاشتقاق عند ﺱ يساوي واحدًا؛ حيث ﺩﺱ تساوي سالب ﺱ تربيع زائد أربعة، إذا كان ﺱ أقل من أو يساوي واحدًا، وﺩﺱ تساوي سالب اثنين ﺃﺱ ناقص ﺏ، إذا كان ﺱ أكبر من واحد.
حسنًا، لدينا هنا دالة متعددة التعريف؛ ﺩﺱ. وعلمنا من المعطيات أن هذه الدالة ﺩ قابلة للاشتقاق عند ﺱ يساوي واحدًا. علينا استخدام ذلك لإيجاد قيمتي ﺃ وﺏ. أول ما نلاحظه بشأن ذلك هو أنه عند ﺱ يساوي واحدًا، نجد أننا عند طرفي فترة الدالة المتعددة التعريف. بعبارة أخرى، عند ﺱ يساوي واحدًا، تتغير الدالة ﺩﺱ من كونها تساوي سالب ﺱ تربيع زائد أربعة لتساوي سالب اثنين ﺃﺱ ناقص ﺏ.
وفي هذه المرحلة، نجد أن هناك بعض الطرق المختلفة التي يمكننا استخدامها لمحاولة الإجابة عن هذا السؤال. على سبيل المثال، قد نفكر في استخدام تعريف ﺩ مباشرة؛ أي قابليتها للاشتقاق عند ﺱ يساوي واحدًا. وقد تصلح هذه الطريقة. لكن بما أن ﺩﺱ دالة متعددة التعريف، وأن ﺱ يساوي واحدًا هو أحد طرفي هذه الفترة، فيمكننا في الواقع فعل ذلك بطريقة أبسط.
دعونا نسترجع أولًا أنه إذا كانت الدالة قابلة للاشتقاق عند نقطة ما، فلا بد أنها أيضًا متصلة عند هذه النقطة. بعبارة أخرى، بما أننا نعلم أن ﺩ قابلة للاشتقاق عند ﺱ يساوي واحدًا، فإننا نعلم أن ﺩ لا بد أن تكون متصلة أيضًا عند ﺱ يساوي واحدًا. ويمكننا ملاحظة أمر مثير للاهتمام بشأن الدالة ﺩﺱ. نلاحظ هنا أن جزأي هذه الدالة كثيرتا حدود. ونحن نعلم أن كثيرات الحدود متصلة لجميع القيم الحقيقية لـ ﺱ. إذن، الدالة ﺩﺱ دالة متصلة متعددة التعريف.
ولكي تكون الدالة المتصلة المتعددة التعريف متصلة عند طرفيها، لا بد أن يكون طرفاها متطابقين. بعبارة أخرى، النهاية عندما يقترب ﺱ من واحد من اليسار لـ ﺩﺱ لا بد أن تساوي النهاية عندما يقترب ﺱ من واحد من اليمين لـ ﺩﺱ.
والآن، يمكننا إيجاد قيمة هذه النهاية مباشرة. لكن، علينا أن نتذكر أن ﺩﺱ دالة متصلة متعددة التعريف. وبما أن جزأيها هما دالتان متصلتان، فيمكننا إيجاد قيمة كل من هاتين النهايتين باستخدام التعويض المباشر. إذن، نعوض عن ﺱ بواحد في سالب ﺱ تربيع زائد أربعة لإيجاد قيمة النهاية عندما يقترب ﺱ من واحد من اليسار لـ ﺩﺱ. ونحصل بذلك على سالب واحد تربيع زائد أربعة.
ويمكننا فعل الأمر نفسه لإيجاد قيمة النهاية عندما يقترب ﺱ من واحد من اليمين. سالب اثنين ﺃﺱ ناقص ﺏ دالة متصلة. يمكننا إذن إيجاد قيمة النهاية باستخدام التعويض المباشر. ليس علينا الآن سوى التعويض عن ﺱ بواحد في سالب اثنين ﺃﺱ ناقص ﺏ. وهذا يعطينا سالب اثنين ﺃ في واحد ناقص ﺏ. وبما أننا نعلم أن ﺩ دالة متصلة، فإننا نعلم أن هاتين النهايتين لا بد أن تكونا متساويتين.
والآن، دعونا نبسط طرفي هذه المعادلة. لدينا أولًا سالب واحد تربيع زائد أربعة يساوي ثلاثة. ويمكننا تبسيط الطرف الأيمن من هذه المعادلة لنحصل بذلك على سالب اثنين ﺃ ناقص ﺏ. لكن هذه معادلة واحدة فقط تحتوي على متغيرين. لذا نحتاج إلى مزيد من المعلومات لإيجاد قيمتي ﺃ وﺏ. لفعل ذلك، علينا استخدام حقيقة أن ﺩ دالة قابلة للاشتقاق عند ﺱ يساوي واحدًا. ونحن نعلم طرقًا مختلفة لتوضيح أن ﺩ دالة قابلة للاشتقاق عند ﺱ يساوي واحدًا. لكن إحدى هذه الطرق يسهل استخدامها كثيرًا مع الدالة ﺩﺱ.
نحن نعلم أن كلًّا من جزأي ﺩﺱ كثيرة حدود. ونعلم بالفعل كيف نشتق كثيرات الحدود حدًّا تلو الآخر باستخدام قاعدة القوة للاشتقاق. ومن ثم، بدلًا من تطبيق تعريف مشتقة الدالة ﺩﺱ مباشرة، يمكننا التفكير في الميل عندما يقترب ﺱ من واحد من اليسار لـ ﺩﺱ، وأيضًا التفكير في الميل عندما يقترب ﺱ من واحد من اليمين لـ ﺩﺱ. بعبارة أخرى، نحن نعلم أنه إذا كانت ﺩ قابلة للاشتقاق عند ﺱ يساوي واحدًا، فإن الميل عندما يقترب ﺱ من واحد من اليسار لـ ﺩﺱ لا بد أن يساوي الميل عندما يقترب ﺱ من واحد من اليمين لـ ﺩﺱ. وسنستخدم ذلك هنا؛ لأننا يمكننا بسهولة إيجاد تعبير لـ ﺩ شرطة ﺱ عند ﺱ أقل من واحد، وعند ﺱ أكبر من واحد.
كل ما علينا فعله هو اشتقاق كل جزء من ﺩﺱ على حدة. ونحصل بذلك على ﺩ شرطة ﺱ تساوي مشتقة سالب ﺱ تربيع زائد أربعة بالنسبة إلى ﺱ إذا كان ﺱ أقل من واحد، وﺩ شرطة ﺱ تساوي مشتقة سالب اثنين ﺃﺱ ناقص ﺏ بالنسبة إلى ﺱ إذا كان ﺱ أكبر من واحد. وعلينا أن نؤكد هنا أننا لا نذكر ما تساويه ﺩ شرطة ﺱ عند ﺱ يساوي واحدًا. نحن فقط نحاول إيجاد تعبير للميل لجميع قيم ﺱ الأخرى.
والآن، يمكننا إيجاد قيمتي هاتين المشتقتين باستخدام قاعدة القوة للاشتقاق. علينا أن نضرب في أس ﺱ، ونطرح واحدًا من هذا الأس. لدينا المشتقة سالب ﺱ تربيع زائد أربعة بالنسبة إلى ﺱ تساوي سالب اثنين ﺱ. بعد ذلك، لاشتقاق الدالة الثانية، يمكننا مرة أخرى استخدام قاعدة القوة للاشتقاق حدًّا تلو الآخر. لكن هذه دالة خطية أيضًا. ومن ثم، يمكننا اشتقاق هذه الدالة بكتابة معامل ﺱ؛ أي سالب اثنين ﺃ. وهذا يعطينا ﺩ شرطة ﺱ تساوي سالب اثنين ﺱ إذا كان ﺱ أقل من واحد، وﺩ شرطة ﺱ تساوي سالب اثنين ﺃ إذا كان ﺱ أكبر من واحد.
يمكننا الآن إيجاد قيمة الميل عندما يقترب ﺱ من واحد من اليسار لـ ﺩﺱ، والميل عندما يقترب ﺱ من واحد من اليمين لـ ﺩﺱ. عندما يقترب ﺱ من واحد من اليسار، نجد أن ﺩ شرطة ﺱ تساوي سالب اثنين ﺱ. وبالطبع، سالب اثنين ﺱ دالة متصلة. إذن، يمكننا إيجاد قيمة هذه الدالة باستخدام التعويض المباشر. سنعوض عن ﺱ بواحد. ونحصل بذلك على سالب اثنين في واحد، وهو ما يساوي سالب اثنين.
يمكننا فعل الأمر نفسه عندما يقترب ﺱ من واحد من اليمين. هذه المرة، ﺩ شرطة ﺱ تساوي سالب اثنين ﺃ. لكن نجد هنا أن سالب اثنين ﺃ ثابت. إذن، هذا ببساطة يساوي سالب اثنين ﺃ. وتذكر أننا نعلم أن ﺩﺱ قابلة للاشتقاق عند ﺱ يساوي واحدًا. إذن، الميل عندما يقترب ﺱ من واحد من اليسار لـ ﺩﺱ لا بد أن يساوي الميل عندما يقترب ﺱ من واحد من اليمين لـ ﺩﺱ. بعبارة أخرى، يمكننا مساواة هاتين القيمتين. ونحصل بذلك على سالب اثنين يساوي سالب اثنين ﺃ.
إذا قسمنا طرفي المعادلة على سالب اثنين، فسنجد أن ﺃ لا بد أن يساوي واحدًا. والآن، لإيجاد قيمة ﺏ، سنعوض عن ﺃ بواحد في المعادلة ثلاثة يساوي سالب اثنين ﺃ ناقص ﺏ. وبالتعويض عن ﺃ بواحد، نحصل على ثلاثة يساوي سالب اثنين في واحد ناقص ﺏ. وبتبسيط هذه المعادلة وإعادة ترتيبها، نجد أن ﺏ يساوي بالتأكيد سالب خمسة.
إذن، إذا كانت الدالة ﺩﺱ تساوي سالب ﺱ تربيع زائد أربعة عند ﺱ أقل من أو يساوي واحدًا، وكانت ﺩﺱ تساوي سالب اثنين ﺃﺱ ناقص ﺏ عند ﺱ أكبر من واحد، وكانت الدالة قابلة للاشتقاق عند ﺱ يساوي واحدًا؛ فقد أوضحنا أن ﺃ لا بد أن يساوي واحدًا، وﺏ لا بد أن يساوي سالب خمسة.
