نسخة الفيديو النصية
قوة التفريق اللوني لمنشور مقدارها 0.076. يتفرق الضوء الأبيض من خلال المنشور. معامل انكسار المنشور للطول الموجي الأطول للضوء المار به 1.37. ما معامل انكسار المنشور للطول الموجي الأقصر للضوء المار به؟ اكتب إجابتك لأقرب منزلتين عشريتين.
في هذا السؤال، نعلم قوة التفريق اللوني للمنشور، ونعلم أيضًا معامل الانكسار للطول الموجي الأطول للضوء المار به. وبمعلومية هذه المعطيات، مطلوب منا حساب معامل انكسار المنشور للطول الموجي الأقصر للضوء المار به. دعونا نفترض أن هذا المثلث يمثل المنشور المذكور في السؤال، وأن هذا السهم السميك يمثل الضوء الأبيض الذي يمر عبر المنشور. ولعلنا نتذكر بعد ذلك أن المنشور الذي له معاملات انكسار مختلفة لأطوال موجية مختلفة للضوء سيفرق أو يشتت الألوان المختلفة التي يتكون منها الضوء الأبيض المار به. وقوة التفريق اللوني للمنشور هي عدد يقيس مقدار تشتيت المنشور لهذه الألوان المختلفة من الضوء. فكلما زاد تشتيت المنشور للضوء، زاد هذا العدد.
نشير عادة إلى قوة التفريق اللوني للمنشور بالرمز 𝜔𝛼. وفي هذا السؤال، نعلم أن قوة التفريق اللوني للمنشور تساوي 0.076. وعليه، يمكننا كتابة أن 𝜔𝛼 يساوي 0.076 لهذا المنشور. ونعلم أيضًا معامل الانكسار للطول الموجي الأطول للضوء المار عبر المنشور. وبما أننا نعلم أن الضوء الأحمر له الطول الموجي الأطول من بين جميع ألوان الضوء المرئي، فإننا نعلم أن هذا هو معامل انكسار الضوء الأحمر. ومن ثم، نعلم أن معامل انكسار الضوء الأحمر يساوي 1.37. وعادة ما نشير إلى معامل الانكسار هذا بالرمز 𝑛 الأصغر؛ حيث إننا نعلم أن الضوء الأحمر يعطي أقل انحراف عن المنشور، ما يعني أنه لا بد وأن يكون له أدنى معامل انكسار من بين جميع ألوان الضوء التي تنكسر بفعل المنشور.
من ناحية أخرى، نعلم أن الضوء الأزرق، الذي له الطول الموجي الأقصر من بين جميع الألوان التي يتكون منها الضوء الأبيض، يعطي أقصى انحراف بفعل المنشور. ومن ثم، نعلم أنه لا بد أن يكون له أقصى معامل انكسار. ولهذا السبب، نشير إلى معامل انكسار الضوء الأزرق بالرمز 𝑛 الأعظم. وهذه بالضبط هي الكمية التي نريد حسابها في هذا السؤال. دعونا إذن نفرغ بعض المساحة على الشاشة ونر كيف يمكننا حساب معامل الانكسار. لدينا الكميات المعطاة لنا في السؤال: قوة التفريق اللوني للمنشور 𝜔𝛼 تساوي 0.076، ومعامل الانكسار للطول الموجي الأطول للضوء، والذي نسميه 𝑛 الأصغر ويساوي 1.37. ونريد إيجاد معامل الانكسار للطول الموجي الأقصر للضوء وهو 𝑛 الأعظم.
دعونا نبدأ بتذكر المعادلة التي تربط بين هذه الكميات الثلاث. تقرأ هذه المعادلة على الصورة: 𝜔𝛼، أي قوة التفريق اللوني للمنشور، يساوي 𝑛 الأعظم ناقص 𝑛 الأصغر مقسومًا على 𝑛 الأعظم زائد 𝑛 الأصغر مقسومًا على اثنين ناقص واحد. بما أن الكمية التي نريد حسابها هي 𝑛 الأعظم، فإن هدفنا هو إعادة ترتيب هذه المعادلة بحيث نجعل 𝑛 الأعظم في أحد طرفي المعادلة بمفرده. لكن نظرًا لأن 𝑛 الأعظم يظهر مرتين في الطرف الأيمن من هذه المعادلة، في كل من أعلى الكسر وأسفله، فلا بد من إجراء عدة خطوات لإعادة ترتيب هذه المعادلة لجعل 𝑛 الأعظم في طرف بمفرده. ومن ثم، لتبسيط ذلك قليلًا، دعونا نبدأ بالتعويض بالقيم التي نعلمها.
علمنا من المعطيات أن قوة التفريق اللوني للمنشور 𝜔𝛼 تساوي 0.076. وبما أن الطرف الأيسر من المعادلة يساوي 𝜔𝛼 فقط، يمكننا كتابة أن الطرف الأيسر من المعادلة يساوي القيمة 0.076 فحسب. ونعلم أيضًا أن 𝑛 الأصغر يساوي 1.37. وعليه، يمكننا التعويض عن كلتا قيمتي 𝑛 الأصغر في الطرف الأيمن من المعادلة بهذه القيمة. وبذلك، نحصل على معادلة تبدو على هذه الصورة. أصبح الآن المتغير المجهول الوحيد لدينا هو 𝑛 الأعظم، وهو بالضبط ما نريد إيجاده. دعونا الآن نحاول تبسيط مقام الطرف الأيمن من المعادلة. ويمكننا البدء بتقسيم الكسر الذي يظهر في المقام إلى جزأين. وبعبارة أخرى، يمكننا كتابة الكسر 𝑛 الأعظم زائد 1.37 مقسومًا على اثنين في صورة كميتين: 𝑛 الأعظم مقسومًا على اثنين، زائد 1.37 مقسومًا على اثنين.
بعد ذلك، يمكننا حساب 1.37 مقسومًا على اثنين والتعويض عنه بقيمته العددية، وهي 0.685. التبسيط الأخير الذي يمكننا إجراؤه قبل إعادة ترتيب هذه المعادلة هو دمج العددين الموجودين في المقام، وهما 0.685 ناقص واحد، وبحساب ذلك نحصل على سالب 0.315. ومن ثم، لدينا الآن معادلة يكون فيها 𝑛 الأعظم هو المتغير المجهول الوحيد المتبقي، وتقرأ هذه المعادلة على الصورة 0.076 يساوي 𝑛 الأعظم ناقص 1.37 مقسومًا على 𝑛 الأعظم على اثنين ناقص 0.315. نحن الآن جاهزون لإعادة ترتيب هذه المعادلة بحيث نجعل 𝑛 الأعظم في طرف بمفرده.
الخطوة الأولى لإعادة ترتيب المعادلة هذه هي ضرب كلا طرفي المعادلة في كل حدود مقام الطرف الأيمن. وعليه، نضرب كلا طرفي المعادلة في 𝑛 الأعظم مقسومًا على اثنين ناقص 0.315. والهدف من فعل ذلك هو تبسيط الطرف الأيمن من المعادلة. وبما أن الحد 𝑛 الأعظم مقسومًا على اثنين ناقص 0.315 يظهر في كل من بسط الطرف الأيمن ومقامه، فإن هذا المقدار سيحذف. ويتبقى لدينا طرف أيمن يقرأ ببساطة على الصورة 𝑛 الأعظم ناقص 1.37. وبذلك تقرأ المعادلة المبسطة الآن على الصورة 𝑛 الأعظم مقسومًا على اثنين ناقص 0.315، الكل مضروب في 0.076 يساوي 𝑛 الأعظم ناقص 1.37.
خطوتنا التالية تتمثل في البدء بتبسيط الطرف الأيسر من المعادلة بضرب ما بداخل القوسين. ونفعل ذلك بضرب كلا الحدين داخل القوسين في 0.076. وهذا يعطينا حدين في الطرف الأيسر، وهما 0.076 في 𝑛 الأعظم على اثنين ناقص 0.076 في 0.315. أصبح لدينا الآن بعض الأعداد التي يمكننا تجميعها في الطرف الأيسر. دعونا نبدأ إذن بتجميع 0.076 على اثنين الموجودة لدينا في الحد الأول. وهذا التجميع يعطينا 0.038، ومن ثم فإن الحد الأول هو 0.038 في 𝑛 الأعظم. ويمكننا أيضًا حساب حاصل ضرب 0.076 في 0.315، ويساوي 0.02394.
بعد ذلك، نريد وضع كلا الحدين اللذين يشتملان على 𝑛 الأعظم في الطرف نفسه من المعادلة، وكلا الحدين اللذين يمثلان مجرد أعداد في الطرف الآخر من المعادلة. يمكننا البدء بإضافة 1.37 إلى كلا طرفي المعادلة. ونفعل ذلك حتى نحصل على سالب 1.37 زائد 1.37 في الطرف الأيمن من المعادلة. ومن ثم، يعطينا هذا صفرًا. وفي الطرف الأيسر، يمكننا تجميع الحدين العدديين سالب 0.02394 زائد 1.37، وهو ما يعطينا معًا حدًّا عدديًّا يقرأ موجب 1.34606. دعونا ننقل هذه المعادلة لأعلى الشاشة قليلًا، ونحاول الآن وضع كلا الحدين اللذين يتضمنان 𝑛 الأعظم في الطرف الأيمن من المعادلة.
نفعل ذلك عن طريق طرح الحد 0.038 في 𝑛 الأعظم من كلا طرفي المعادلة. وهذا يعطينا 0.038𝑛 الأعظم ناقص 0.038𝑛 الأعظم في الطرف الأيسر، ومن ثم يعطينا هذان الحدان صفرًا ويحذفان. وفي الطرف الأيمن، لدينا كلا الحدين اللذين يتضمنان 𝑛 الأعظم، وهذا هو الطرف الوحيد الذي يظهر فيه 𝑛 الأعظم في المعادلة. وتصبح المعادلة الآن على الصورة 1.34606 يساوي 𝑛 الأعظم ناقص 0.038 في 𝑛 الأعظم. بما أن الطرف الأيمن لا يتضمن سوى الحدود التي تشمل 𝑛 الأعظم، دعونا نحلل 𝑛 الأعظم من هذين الحدين. ونفعل ذلك عن طريق ضرب 𝑛 الأعظم في جميع الكميات التي تظهر أمام 𝑛 الأعظم في السطر الأعلى. ولدينا واحد من هذا الحد وهو ما يساوي ببساطة 𝑛 الأعظم وسالب 0.038 من هذا الحد.
هذا الناتج مفيد للغاية لأن هذا القوس المضروب في 𝑛 الأعظم يحتوي فقط على أعداد. ومن ثم، يمكننا تبسيطه أكثر، وذلك بحساب واحد ناقص 0.038 يساوي 0.962. وعليه، نحصل على ما نريده بالضبط، وهو 𝑛 الأعظم بمفرده. ولكي نتوصل إلى قيمته، دعونا نقسم طرفي المعادلة على 0.962. يتيح لنا هذا حذف 0.962 من أعلى وأسفل الطرف الأيمن، ويتبقى لدينا 𝑛 الأعظم فحسب. وأخيرًا، أصبح لدينا معادلة للكمية التي نريدها، وهي 𝑛 الأعظم. وبحساب هذا الكسر على الآلة الحاسبة، يمكننا القول إن 𝑛 الأعظم يساوي 1.39923 وهكذا مع توالي الأرقام.
هذه هي الإجابة النهائية تقريبًا. ولكن لعلنا نتذكر أن السؤال يطلب منا تقريب الإجابة لأقرب منزلتين عشريتين. وعند إجراء هذا التقريب، يمكننا تقديم الحل لمعامل انكسار المنشور للطول الموجي الأقصر الذي يمر به؛ وهو أن 𝑛 الأعظم يساوي 1.40.