فيديو السؤال: حل معادلات تتضمن الدوال الكسرية الرياضيات

حل ‪𝑦 = (2𝑥 + 1)/(3𝑥 + 4)‬‏ بمقدار يمثل ‪𝑥‬‏ بدلالة ‪𝑦‬‏.

١٠:٢٤

‏نسخة الفيديو النصية

حل: ‪𝑦‬‏ يساوي اثنين ‪𝑥‬‏ زائد واحد على ثلاثة ‪𝑥‬‏ زائد أربعة بمقدار يمثل ‪𝑥‬‏ بدلالة ‪𝑦‬‏.

المعادلة الواردة في السؤال تعطينا ‪𝑦‬‏ بدلالة ‪𝑥‬‏‏: ‪𝑦‬‏ في الطرف الأيسر وحده ومقداران يتضمنان ‪𝑥‬‏ في الطرف الأيمن. يطلب منا السؤال أخذ تلك المعادلة وإعادة ترتيبها حتى نحصل على ‪𝑥‬‏ في الطرف الأيسر وحده وحدود ‪𝑦‬‏ في الطرف الأيمن.

أولًا، نلاحظ أن متغير ‪𝑥‬‏ يظهر في هذا المقام. وينبغي أن نتذكر أيضًا أنه علينا تجميع كل الحدود المتشابهة معًا في البسط وتجميع كل الحدود المتشابهة معًا في المقام. والآن، نريد حذف هذا المقام من الطرف الأيمن من المعادلة. ونستطيع القيام بذلك عن طريق ضرب الطرف الأيمن من المعادلة في المعكوس الضربي لواحد على ثلاثة ‪𝑥‬‏ زائد أربعة؛ لأن واحدًا على ثلاثة ‪𝑥‬‏ زائد أربعة في ثلاثة ‪𝑥‬‏ زائد أربعة على واحد يساوي واحدًا.

بقسمة البسط على ثلاثة ‪𝑥‬‏ زائد أربعة، نحصل على واحد. وبقسمة المقام على ثلاثة ‪𝑥‬‏ زائد أربعة، نحصل على واحد. إذن، لدينا واحد في واحد على واحد في واحد، أي واحد. وبالتالي، فإن هذين الحدين يلغي كل منهما الآخر. ولكن المشكلة الآن أن المعادلة أصبحت غير متوازنة. لقد ضربنا هذا الطرف في ثلاثة ‪𝑥‬‏ زائد أربعة على واحد؛ لذا لم يعد مساويًا لهذا الطرف. علينا استخدام خاصية الضرب للتساوي. وهذا يعني أنه إذا ضربنا أحد طرفي المعادلة في شيء، فعلينا ضرب الطرف الآخر في الشيء نفسه ليظل الطرفان متساويين.

هذا يعني أن علينا ضرب الطرف الأيسر من المعادلة في ثلاثة ‪𝑥‬‏ زائد أربعة على واحد كذلك. والآن، عند القيام بذلك نلاحظ أن ‪𝑦‬‏ ليس لها مقام وثلاثة ‪𝑥‬‏ زائد أربعة على واحد هو نفسه ثلاثة ‪𝑥‬‏ زائد أربعة. وهذا يعني أننا في الطرف الأيسر لدينا ‪𝑦‬‏ في ثلاثة ‪𝑥‬‏ زائد أربعة. والآن يمكننا استخدام خاصية التوزيع في الطرف الأيسر للمعادلة لنحصل على ‪𝑦‬‏ في ثلاثة ‪𝑥‬‏ و‪𝑦‬‏ في أربعة.

‏‏‪𝑦‬‏ في ثلاثة ‪𝑥‬‏ يمكن كتابته بالصورة: ثلاثة ‪𝑥𝑦‬‏. و‪𝑦‬‏ في أربعة يمكن كتابته بالصورة: زائد أربعة ‪𝑦‬‏. وهذا بالطبع يساوي اثنين ‪𝑥‬‏ زائد واحد في الطرف الأيمن من المعادلة. والآن لنحاول تذكر ما كنا نحاول القيام به. نحن نحاول عزل ‪𝑥‬‏ في الطرف الأيسر من المعادلة. الخطوة التالية المفيدة هي التخلص من اثنين ‪𝑥‬‏ من الطرف الأيمن من المعادلة. ويمكنني القيام بهذا عن طريق استخدام خاصية الطرح للتساوي؛ يمكنني طرح اثنين ‪𝑥‬‏ من كلا الطرفين.

في الطرف الأيمن، اثنان ‪𝑥‬‏ زائد واحد ناقص اثنين ‪𝑥‬‏. اثنان ‪𝑥‬‏ ناقص اثنين ‪𝑥‬‏ يساوي صفرًا. ويتبقى لدينا موجب واحد. والآن إذا نظرنا إلى الطرف الأيسر من المعادلة، فلن نجد أي حدود ‪𝑥‬‏ بسيطة يمكننا طرح اثنين ‪𝑥‬‏ منها. إذن، لدينا ثلاثة ‪𝑥𝑦‬‏ زائد أربعة ‪𝑦‬‏ ناقص اثنين ‪𝑥‬‏.

والآن نحتاج أن تكون الحدود التي تتضمن ‪𝑥‬‏ وحدها في الطرف الأيسر من المعادلة. لذلك، سنحاول التخلص من حد ‪𝑦‬‏ هذا من الطرف الأيسر من المعادلة. ويمكننا مرة أخرى القيام بذلك عن طريق استخدام خاصية الطرح للتساوي وطرح أربعة ‪𝑦‬‏ من كلا طرفي المعادلة. وهذا يعني أنه سيكون لدينا في الطرف الأيسر من المعادلة ثلاثة ‪𝑥𝑦‬‏ زائد أربعة ‪𝑦‬‏ ناقص اثنين ‪𝑥‬‏ ناقص أربعة ‪𝑦‬‏. حسنًا، أربعة ‪𝑦‬‏ ناقص أربعة ‪𝑦‬‏ يساوي صفرًا. إذن، يتبقى لدينا ثلاثة ‪𝑥𝑦‬‏ ناقص اثنين ‪𝑥‬‏. وفي الطرف الأيمن، لدينا واحد ناقص أربعة ‪𝑦‬‏.

إذن، أصبح لدينا كل حدود ‪𝑥‬‏ في الطرف الأيسر من المعادلة ولا يوجد أي حد ‪𝑥‬‏ في الطرف الأيمن من المعادلة. لكننا نريد حدود ‪𝑥‬‏ فقط في الطرف الأيسر من المعادلة، ويوجد حد ‪𝑥𝑦‬‏ هناك حاليًا. ولكن تذكروا، ثلاثة ‪𝑥𝑦‬‏ يساوي ثلاثة في ‪𝑥‬‏ في ‪𝑦‬‏ واثنان ‪𝑥‬‏ يساوي اثنين في ‪𝑥‬‏. إذن، يمكننا رؤية أن لدينا عاملًا مشتركًا ‪𝑥‬‏ بين هذين الحدين. لذا يمكننا استخدام خاصية التوزيع لأخذ العامل المشترك ‪𝑥‬‏ من هذين الحدين. هذا يعني أن لدينا ‪𝑥‬‏ في ثلاثة ‪𝑦‬‏ ناقص اثنين يساوي واحدًا ناقص أربعة ‪𝑦‬‏.

والآن تذكر أن واحدًا على ثلاثة ‪𝑦‬‏ ناقص اثنين هو المعكوس الضربي لثلاثة ‪𝑦‬‏ ناقص اثنين. لذا إذا ضربت كلا الطرفين في واحد على ثلاثة ‪𝑦‬‏ ناقص اثنين، فسيلغي المقداران كل منهما الآخر؛ وهو ما يعطينا واحدًا. ويصبح الطرف الأيسر من المعادلة ‪𝑥‬‏. وفي الطرف الأيمن، لدينا واحد ناقص أربعة ‪𝑦‬‏ في واحد. إذن، هذا واحد ناقص أربعة ‪𝑦‬‏ على ثلاثة ‪𝑦‬‏ ناقص اثنين. وفي الحقيقة، نحن لا نحتاج إلى هذين القوسين. لدينا الآن إجابة سؤالنا: مقدار لـ ‪𝑥‬‏ بدلالة ‪𝑦‬‏. ‏‏‪𝑥‬‏ يساوي واحدًا ناقص أربعة ‪𝑦‬‏ على ثلاثة ‪𝑦‬‏ ناقص اثنين.

والآن قبل أن ننهي الإجابة، أريد أن أقول: إنه لو كانت اختياراتنا اختلفت بعض الشيء خلال الحل، لكنا حصلنا على نتيجة مختلفة. على سبيل المثال، في هذه المرحلة هنا، لو كنا طرحنا ثلاثة ‪𝑥𝑦‬‏ من الطرفين بدلًا من اثنين ‪𝑥‬‏، لكنا جمعنا كل حدود ‪𝑥‬‏ معًا في الطرف الأيمن من المعادلة. وطرحنا واحدًا من كلا الطرفين للتخلص من هذا الحد، ثم أخذنا العامل المشترك ‪𝑥‬‏ مجددًا باستخدام خاصية التوزيع، وأخيرًا ضربنا في المعكوس الضربي لاثنين ناقص ثلاثة ‪𝑦‬‏، وهو ما يعطينا في النهاية ‪𝑥‬‏ يساوي أربعة ‪𝑦‬‏ ناقص واحد على اثنين ناقص ثلاثة ‪𝑦‬‏.

هذه الإجابة مشابهة جدًا للإجابة التي حصلنا عليها هنا. لكن لدينا أربعة ‪𝑦‬‏ ناقص واحد في البسط بدلًا من واحد ناقص أربعة ‪𝑦‬‏، ولدينا اثنان ناقص ثلاثة ‪𝑦‬‏ في المقام بدلًا من ثلاثة ‪𝑦‬‏ ناقص اثنين. فأي النتيجتين هي الإجابة الصحيحة؟ النتيجتان صحيحتان، فكلتاهما نسخة مكافئة لإجابة واحدة.

فإذا ضربت كلتا النتيجتين في واحد، أعتقد أنكم ستتفقون معي في أن هذا لا يغير أي شيء فيهما. لكن إذا ضربت هذه النتيجة في واحد بشكل آخر، أي سالب واحد مقسومًا على سالب واحد. سالب واحد مقسومًا على سالب واحد يساوي واحدًا. ثم استخدمت خاصية التوزيع لضرب حدود البسط في سالب واحد، وكذلك حدود المقام. سالب واحد في واحد يساوي سالب واحد، وسالب واحد في سالب أربعة ‪𝑦‬‏ يساوي موجب أربعة ‪𝑦‬‏. إذن، البسط هو سالب واحد زائد أربعة ‪𝑦‬‏. وسالب واحد في ثلاثة ‪𝑦‬‏ يساوي سالب ثلاثة ‪𝑦‬‏، وسالب واحد في سالب اثنين يساوي موجب اثنين. إذن، المقام هو سالب ثلاثة ‪𝑦‬‏ زائد اثنين.

نذكر أن الجمع عملية إبدالية، فلا يهم الترتيب الذي نجمع به الحدود؛ لذا سالب واحد زائد أربعة ‪𝑦‬‏ هو نفسه أربعة ‪𝑦‬‏ زائد سالب واحد أو أربعة ‪𝑦‬‏ ناقص واحد. وفي المقام، سالب ثلاثة ‪𝑦‬‏ زائد اثنين هو نفسه اثنان زائد سالب ثلاثة ‪𝑦‬‏ أو اثنان ناقص ثلاثة ‪𝑦‬‏. لذا سواء حصلت على هذه الإجابة أو تلك، يمكننا رؤية أن المقدار هو نفسه.

من المهم تذكر الوسيلة المساعدة المتمثلة في ضرب الإجابة في واحد، أي الصورة سالب واحد على سالب واحد، وذلك إذا أردنا إعادة ترتيب المعادلة بصيغة مختلفة قليلًا. أحيانًا، ستقابلك أنواع مختلفة من الأسئلة. على سبيل المثال، «أثبت أن ‪𝑦‬‏ يساوي اثنين ‪𝑥‬‏ زائد واحد على ثلاثة ‪𝑥‬‏ زائد أربعة» يمكن تمثيلها بالصيغة ‪𝑥‬‏ يساوي أربعة ‪𝑦‬‏ ناقص واحد على اثنين ناقص ثلاثة ‪𝑦‬‏.

إذا حصلت على الإجابة بهذه الصيغة، فستحتاج إلى استخدام هذه المعلومة لإعادة ترتيب تلك النتيجة لتحصل على الصيغة المطلوبة في السؤال. لذا، حتى إذا بدا الأمر غريبًا في البداية، أنصحك بالتدرب على استخدام هذه الطريقة لحل بعض الأسئلة بمفردك.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.