فيديو السؤال: استخدام خواص المتتابعات الهندسية لإيجاد حد مجهول الرياضيات

أوجد قيمة ﻡ في المتتابعة الهندسية −٤، ﻡ، ٢ﻡ + ٣، ⋯.

٠٤:٠١

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد قيمة ﻡ في المتتابعة الهندسية سالب أربعة، ﻡ، اثنين ﻡ زائد ثلاثة، وهكذا.

حسنًا، لدينا هنا أول ثلاثة حدود في متتابعة هندسية. والحدان الثاني والثالث معطيان بدلالة ﻡ. في المتتابعة الهندسية، يمكن إيجاد كل حد بضرب الحد السابق في ثابت. ويسمى هذا الثابت بأساس المتتابعة الهندسية. هذا يعني أنه في المتتابعة لدينا، للانتقال من سالب أربعة إلى ﻡ، علينا ضرب سالب أربعة في ﺭ. وﻡ في ﺭ يعطينا: اثنان ﻡ زائد ثلاثة.

لإيجاد قيمة ﻡ، دعونا نكتب بعض المعادلات. يمكننا القول إن ﻡ يساوي سالب أربعة في ﺭ، وﻡ في ﺭ يساوي اثنين ﻡ زائد ثلاثة. في هذه المرحلة، لدينا معادلتان. لكن بما أننا نريد إيجاد قيمة ﻡ، فسيكون من المفيد أن نعوض بقيمة ﺭ بدلالة ﻡ في المعادلة الثانية. يمكننا فعل ذلك بإعادة كتابة سالب أربعة ﺭ يساوي ﻡ، وقسمة طرفي المعادلة على سالب أربعة، وبذلك نكون قد أعدنا ترتيب المعادلة الأولى لنجد أن ﺭ يساوي سالب ﻡ على أربعة. سنطلق على هذه المعادلة الثالثة.

إذا عوضنا بالمعادلة الثالثة في المعادلة الثانية، فسنحصل على: ﻡ في سالب ﻡ على أربعة يساوي اثنين ﻡ زائد ثلاثة. بضرب العاملين ﻡ معًا، نحصل على: سالب ﻡ تربيع على أربعة يساوي اثنين ﻡ زائد ثلاثة. بعد ذلك، نضرب طرفي المعادلة في أربعة. وبذلك، نجد أن سالب ﻡ تربيع يساوي ثمانية ﻡ زائد ١٢.

وبما أن لدينا ﻡ تربيع، فهذا يعني أننا نتعامل مع معادلة تربيعية. ونحن نريد أن نساوي هذه المعادلة بصفر لنتمكن من حلها. لفعل ذلك، سنضيف ﻡ تربيع إلى طرفي المعادلة. ويصبح لدينا: صفر يساوي ﻡ تربيع زائد ثمانية ﻡ زائد ١٢.

يمكننا حل هذه المعادلة عن طريق التحليل. إننا نحتاج إلى عاملين للعدد ١٢؛ بحيث نحصل على ثمانية عند جمعهما. هذان العاملان هما: اثنان، وستة. ومن ثم، يصبح لدينا: صفر يساوي ﻡ زائد اثنين في ﻡ زائد ستة. إذا جعلنا كلا العاملين مساويًا لصفر، فسنجد أن ﻡ يساوي سالب ستة أو أن ﻡ يساوي سالب اثنين. حسنًا، ماذا يعني هذا في سياق هذه المتتابعة الهندسية؟

حسنًا، هذا يعني أنه إذا كان ﻡ يساوي سالب ستة، فإن المتتابعة تكون: سالب أربعة، سالب ستة، سالب تسعة، وهكذا. أما إذا كان ﻡ يساوي سالب اثنين، فستكون المتتابعة: سالب أربعة، سالب اثنين، سالب واحد. كلتا هاتين المتتابعتين تمثل متتابعة هندسية صحيحة. للانتقال من سالب أربعة إلى سالب اثنين، نضرب في نصف. وللانتقال من سالب اثنين إلى سالب واحد، نضرب في نصف. من ناحية أخرى، للانتقال من سالب أربعة إلى سالب ستة، نضرب في ثلاثة أنصاف. وللانتقال من سالب ستة إلى سالب تسعة، نضرب في ثلاثة أنصاف.

وبما أنه ليس لدينا أي معطيات أخرى حول هذه المتتابعة، فعلينا القول إن هناك حلين صحيحين لـ ﻡ. إما أن ﻡ يساوي سالب ستة، أو أن ﻡ يساوي سالب اثنين.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.