فيديو الدرس: عدد أويلر (ﻫ) في صورة نهاية الرياضيات

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نستخدم تعريف عدد أويلر (ﻫ) لنوجد قيم بعض النهايات الخاصة.

٢٧:٠٢

‏نسخة الفيديو النصية

عدد أويلر في صورة نهاية.

في هذا الفيديو، سوف نناقش كيف يمكننا تعريف عدد أويلر في صورة نهاية، وكيف يمكننا استخدام هذه النهاية لمساعدتنا في إيجاد قيم نهايات أخرى.

لتعريف عدد أويلر في صورة نهاية، علينا أولًا تذكر بعض المعلومات. أول شيء علينا تذكره هو أنه إذا كانت لدينا الدالة ﺩ لـ ﺱ، التي تساوي اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ، فإن ﺩ شرطة لـ ﺱ هي دالة المقلوب واحد على ﺱ. وقد رأينا أن هذا صحيح من تعريف المشتقة. ثمة شيء جدير بالذكر هنا فيما يتعلق بأن اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ معرف فقط لقيم ﺱ الموجبة. فنظرًا لذلك، تعريف ﺩ شرطة لـ ﺱ لا يكون صحيحًا أيضًا إلا عندما يكون ﺱ موجبًا. وعلى الرغم من أن هذا لن يؤثر في كيفية استخدامنا لها، فمن الجيد أن نضعه في اعتبارنا.

المعلومة التالية التي علينا معرفتها هي أن قيمة ﺩ شرطة عند واحد تساوي واحدًا. يمكننا إيجاد ذلك بالتعويض بـ ﺱ يساوي واحدًا في تعبير ﺩ شرطة لـ ﺱ. وهذه، في الواقع، طريقة الحصول على النهاية المستنتجة. تذكر أن ﺩ شرطة لـ ﺱ هي مشتقة ﺩ لـ ﺱ بالنسبة إلى ﺱ. ونحن نعرف كيف نوجد مشتقة عند نقطة معينة باستخدام النهايات. علينا هنا تذكر التعريف التالي للمشتقة باستخدام النهايات. بالنسبة إلى أي ثابت ﺃ وأي دالة قابلة للاشتقاق ﺭ لـ ﺱ، نعرف ﺭ شرطة لـ ﺃ بأنها تساوي النهاية عندما يقترب ﻫ من صفر لـ ﺭ عند ﺃ زائد ﻫ ناقص ﺭ عند ﺃ الكل مقسوم على ﻫ، بشرط أن تكون هذه النهاية موجودة. ونحن نعرف أن هذا هو ما نعنيه بقولنا إن الدالة ﺭ قابلة للاشتقاق عند قيمة ﺃ. سنطبق ذلك على دالة اللوغاريتم الطبيعي عند واحد. نحن نعلم بالفعل أن قيمة هذه النهاية تتقارب، وأنها تساوي واحدًا. إذن، سنبدأ بواحد يساوي مشتقة اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ بالنسبة لـ ﺱ عند ﺱ يساوي واحدًا.

بعد ذلك، سنستخدم تعريف المشتقة بدلالة النهايات لنكتب ﺩ شرطة لواحد في صورة نهاية. وهي تساوي النهاية عندما يقترب ﻫ من صفر لـ ﺩ عند واحد زائد ﻫ ناقص ﺩ عند واحد الكل مقسوم على ﻫ. ونحن نعرف أن هذه النهاية موجودة وقيمتها تتقارب؛ فهي تساوي واحدًا. ما سنفعله الآن هو إعادة كتابة هذه النهاية في صورة مفيدة جدًّا. أولًا، سنكتب المتغير ﺱ بدلًا من المتغير ﻫ. وعلى الرغم من أن هذه الخطوة ليست ضرورية، فإن معظم الدوال التي سنستخدم فيها هذه النهاية المستنتجة ستكون بدلالة ﺱ. من المنطقي إذن أن نعيد كتابة النهاية المستنتجة بدلالة ﺱ. وهذا يعطينا النهاية عندما يقترب ﺱ من الصفر لـ ﺩ لواحد زائد ﺱ ناقص ﺩ لواحد الكل مقسوم على ﺱ.

لكن تذكر أننا نعلم أن ﺩ في ﺱ هي دالة اللوغاريتم الطبيعي، لذا يمكننا إيجاد قيمة ﺩ عند واحد زائد ﺱ وقيمة ﺩ عند واحد. وعندما نفعل بذلك، نحصل على النهاية عندما يقترب ﺱ من صفر للوغاريتم الطبيعي لواحد زائد ﺱ ناقص اللوغاريتم الطبيعي لواحد مقسومًا على ﺱ. وبالطبع، يمكننا تبسيط ذلك. فيمكننا إيجاد قيمة اللوغاريتم الطبيعي لواحد. نعلم أن 𝑒 أس صفر يساوي واحدًا. وهذا يعني أن اللوغاريتم الطبيعي لواحد يساوي صفرًا. إذن، في الواقع، يمكننا حذف هذا الجزء من النهاية. وهناك شيء آخر سنفعله لتبسيط هذه النهاية. بدلًا من القسمة على ﺱ، سنضرب في واحد على ﺱ.

بذلك نكون قد أعدنا كتابة هذه النهاية لتصبح النهاية عندما يقترب ﺱ من الصفر لواحد على ﺱ في اللوغاريتم الطبيعي لواحد زائد ﺱ. ويمكننا تبسيط هذه النهاية أكثر. علينا ملاحظة شيء ما هنا، وهو أننا نضرب دالة لوغاريتمية في دالة أخرى. ويجب أن يذكرنا ذلك بقاعدة القوى الخاصة باللوغاريتمات. بالنسبة للوغاريتم الطبيعي، تخبرنا هذه القاعدة بأن ﺃ في اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺏ يساوي اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺏ مرفوعًا للقوة ﺃ. إذن، في هذه النهاية، بدلًا من الضرب في واحد على ﺱ داخل اللوغاريتم، يمكننا رفع واحد زائد ﺱ للقوة واحد على ﺱ. بذلك نكون قد أعدنا كتابة هذه النهاية لتصبح النهاية عندما يقترب ﺱ من صفر للوغاريتم الطبيعي لواحد زائد ﺱ الكل مرفوع للقوة واحد على ﺱ. يمكن أن نضيف مجموعة أخرى من الأقواس هنا لنتذكر أن واحد زائد ﺱ مرفوع للقوة واحد على ﺱ.

نحتاج إلى إجراء تبسيط آخر لنحصل على النهاية المستنتجة. نلاحظ هنا أننا نأخذ اللوغاريتم الطبيعي لقيمة ما داخل النهاية. لكننا نعرف شيئًا مهمًّا جدًّا حول دالة اللوغاريتم الطبيعي. وهو أن دالة اللوغاريتم الطبيعي دالة متصلة. في الواقع، هي متصلة لجميع قيم ﺱ الأكبر من صفر. إذن، لدينا نهاية اللوغاريتم الطبيعي لدالة ما عندما يقترب ﺱ من صفر تساوي واحدًا. تذكر أننا نعلم أن قيمة هذه النهاية تتقارب. إذن، بما أن دالة اللوغاريتم الطبيعي متصلة وقيمة هذه النهاية تساوي واحدًا، يمكننا أن نكتب اللوغاريتم الطبيعي خارج النهاية. وبذلك، يصبح لدينا الآن اللوغاريتم الطبيعي للنهاية عندما يقترب ﺱ من صفر لواحد زائد ﺱ الكل مرفوع للقوة واحد على ﺱ. وتذكر أننا أوضحنا أن هذا يساوي ﺩ شرطة لواحد، وهو ما يساوي واحدًا.

وبالطبع، يمكننا تبسيط هذا المقدار. فيمكننا رفع الطرفين ليصبحا أسًّا لـ ﻫ. وإذا كان هذان المقداران متساويين، فإن ﻫ أس واحد يجب أن يساوي ﻫ مرفوعًا للوغاريتم الطبيعي للنهاية عندما يقترب ﺱ من صفر لواحد زائد ﺱ الكل مرفوع للقوة واحد على ﺱ. ونعرف، بالطبع، أن ﻫ ودالة اللوغاريتم الطبيعي دالتان عكسيتان. إذن، بتبسيط هذا نحصل على النهاية. وبما أن ﻫ أس واحد يساوي ﻫ، فقد أوضحنا أن ﻫ يساوي النهاية عندما يقترب ﺱ من صفر لواحد زائد ﺱ الكل مرفوع للقوة واحد على ﺱ. هذه النهاية المستنتجة مفيدة للغاية.

على سبيل المثال، إذا حاولنا إيجاد قيمة النهاية مباشرة، فسنرى أنه عندما يقترب ﺱ من الصفر، فإن واحدًا زائد ﺱ يقترب من واحد. لكن واحدًا على ﺱ يقترب من ما لا نهاية. إذن، عندما نحاول إيجاد قيمة هذه النهاية مباشرة، نحصل على واحد أس ما لا نهاية، وهي صيغة غير معينة كما نعلم. إذن، بدلًا من ذلك، عندما تكون لدينا نهايات بهذا الشكل، نحاول إعادة كتابتها بدلالة هذه النهاية بحيث يكون الناتج بدلالة ﻫ.

قبل أن نتناول كيف يمكننا استخدام هذه النهاية المستنتجة، يمكننا إعادة كتابة هذه النهاية في صورة أخرى مفيدة. سنفرغ بعض المساحة ونبدأ بالنهاية المستنتجة ﻫ يساوي النهاية عندما يقترب ﺱ من الصفر لواحد زائد ﺱ الكل مرفوع للقوة واحد على ﺱ. للحصول على النهاية المستنتجة المفيدة الجديدة، علينا إجراء تعويض. نريد أن نجعل ﺱ يساوي واحدًا على ﻥ. إذا فعلنا ذلك، فيمكننا كتابة ﺱ داخل القوسين في صورة واحد على ﻥ لنحصل بذلك على النهاية عندما يقترب ﺱ من صفر لواحد زائد واحد على ﻥ الكل مرفوع لواحد على ﺱ. لكننا نريد إعادة كتابة هذه النهاية بالكامل بدلالة ﻥ.

بعد ذلك، علينا إعادة كتابة الأس واحد على ﺱ. لفعل ذلك، علينا إيجاد مقدار يعبر عن واحد على ﺱ. يمكننا إيجاد مقلوب كلا طرفي المعادلة. إذا كان ﺱ يساوي واحدًا على ﻥ، فلا بد أن واحدًا على ﺱ يساوي ﻥ. بالتالي، يمكننا التعويض عن واحد على ﺱ في الأس بـ ﻥ لنحصل على النهاية عندما يقترب ﺱ من الصفر لواحد زائد واحد على ﻥ الكل مرفوع للقوة ﻥ. لكن النهاية لا تزال مكتوبة بدلالة اقتراب ﺱ من الصفر، لذا علينا إعادة كتابة النهاية بدلالة ﻥ. وهنا نواجه عقبة صغيرة. فنريد معرفة ما يحدث لقيمة ﻥ عندما يقترب ﺱ من الصفر. إذن، علينا استخدام المعادلة واحد على ﺱ يساوي ﻥ.

لكن عندما يقترب ﺱ من الصفر، يصبح لدينا عدة خيارات لما يمكن أن يحدث لواحد على ﺱ. على سبيل المثال، النهاية عندما يقترب ﺱ من الصفر من جهة اليمين لواحد على ﺱ ستساوي موجب ما لا نهاية. نقسم هنا عددًا موجبًا على عدد موجب أصغر. سيكون هذا بلا حدود. لكن العكس صحيح أيضًا. فيمكن أن يقترب ﺱ من الصفر من جهة اليسار. وعلى ذلك، فإن النهاية عندما يقترب ﺱ من الصفر من جهة اليسار لواحد على ﺱ ستساوي سالب ما لا نهاية. لذا، يبدو أننا لا نعرف ما سيحدث لقيمة ﻥ عند اقتراب ﺱ من الصفر. لكن يمكننا في الواقع تجنب هذه المشكلة تمامًا.

إذا رجعنا إلى النهاية المستنتجة الأصلية، فسنجد أننا قد أثبتنا ذلك بالفعل. ‏ﻫ يساوي النهاية عندما يقترب ﺱ من الصفر لواحد زائد ﺱ الكل مرفوع للقوة واحد على ﺱ. وإذا كانت قيمة هذه النهاية تساوي ﻫ، فيجب أن تكون قيمتا النهايتين من جهتي اليسار واليمين متساويتين وكلتاهما تساوي ﻫ. بعبارة أخرى، ﻫ يساوي أيضًا النهاية عندما يقترب ﺱ من صفر من جهة اليمين لواحد زائد ﺱ الكل مرفوع للقوة واحد على ﺱ.

إذن، عند إجراء هذه العمليات الحسابية، بدلًا من كتابة عندما يقترب ﺱ من الصفر، يمكننا أن نقول عندما يقترب ﺱ من الصفر من جهة اليمين. وعندما يقترب ﺱ من الصفر من جهة اليمين، تقترب قيم ﻥ من ما لا نهاية. إذن، عندما يقترب ﺱ من الصفر من جهة اليمين، يقترب ﻥ من ما لا نهاية. بذلك نكون قد أوضحنا أن النهاية عندما يقترب ﻥ من ما لا نهاية لواحد زائد واحد على ﻥ الكل مرفوع للقوة ﻥ تساوي ﻫ أيضًا. وهذا يعطينا النهاية المستنتجة الثانية ﻫ يساوي النهاية عندما يقترب ﻥ من ما لا نهاية لواحد زائد واحد على ﻥ الكل مرفوع للقوة ﻥ. في الواقع، نتائج النهاية هذه ما هي إلا إعادة صياغة بعضها لبعض، لكن كتابتها بصور مختلفة يمكن أن تفيد في المواقف المختلفة. وتجدر الإشارة أيضًا إلى أنك سترى أحيانًا النهاية المستنتجة الأولى مكتوبة بدلالة ﻥ، وأحيانًا سترى النهاية المستنتجة الثانية مكتوبة بدلالة ﺱ. إنها مجرد متغيرات، ولا يهم ما نسميها به.

قبل أن ننتقل لرؤية كيف يمكننا استخدام هذه النهاية المستنتجة، سنرسم تمثيلًا بيانيًّا لـ ﺹ يساوي واحدًا زائد ﺱ الكل مرفوع للقوة واحد على ﺱ. إذا رسمنا هذا المنحنى لقيم ﺱ الأكبر من سالب واحد، فسيبدو الشكل كما يلي. لدينا خط تقارب رأسي عند ﺱ يساوي سالب واحد، وخط تقارب أفقي عند ﺹ يساوي واحدًا. ونعلم أن المنحنى غير معرف عند ﺱ يساوي صفرًا، حيث سيكون لدينا واحد على الصفر في الدالة. ونعبر عن ذلك بالدائرة المفرغة الموضحة في التمثيل البياني. إذا رسمنا هذه الدائرة بدقة، فسنجد أنها تقع عند ﻫ. هيا ننتقل الآن إلى بعض الأمثلة لنرى كيف سنستخدم النهايتين المستنتجتين.

أوجد قيمة النهاية عندما يقترب ﺱ من ما لا نهاية لواحد زائد واحد على ﺱ الكل مرفوع للقوة أربعة ﺱ.

لدينا النهاية وعلينا إيجاد قيمتها. أولًا، سنجرب إيجاد قيمة هذه النهاية مباشرة. لدينا النهاية عندما يقترب ﺱ من ما لا نهاية. ونعلم أنه عندما يقترب ﺱ من ما لا نهاية، تقترب قيمة دالة المقلوب واحد على ﺱ من الصفر. إذن، يقترب الجزء الموجود داخل القوسين من الصفر. لكن عندما يقترب ﺱ من ما لا نهاية، يقترب أربعة ﺱ من ما لا نهاية. إذن، عند محاولة إيجاد قيمة هذه النهاية مباشرة، نحصل على واحد أس ما لا نهاية، وهذه صيغة غير معينة. لذا، علينا تجربة طريقة أخرى لإيجاد قيمة هذه النهاية. نلاحظ أن النهاية المعطاة لنا في المسألة مشابهة جدًّا للنهاية في تعريف عدد أويلر. إذن، علينا تذكر النهاية المستنتجة التالية.

نعلم أن النهاية عندما يقترب ﺱ من ما لا نهاية لواحد زائد واحد على ﺱ الكل مرفوع للقوة ﺱ تساوي ثابت أويلر ﻫ، ومن المهم أن تتذكر هذه النهاية جيدًا. جدير بالذكر هنا أن النهاية تكون مكتوبة أحيانًا بدلالة المتغير ﻥ. لكن النهاية هنا بدلالة ﺱ، لذا فقد أعدنا كتابة ذلك بدلالة ﺱ. نلاحظ أن النهاية المعطاة لنا في السؤال مكتوبة تقريبًا على نفس هذه الصورة. لكن في الأس لدينا أربعة ﺱ، بدلًا من ﺱ. لذا علينا إعادة كتابة هذه النهاية في صورة نتمكن من خلالها من استخدام النهاية المستنتجة لدينا. ولفعل ذلك، علينا استخدام قوانين الأسس.

أولًا، علينا أن نتذكر أن ﺃ أس ﺏ في ﺟ يساوي ﺃ أس ﺏ الكل أس ﺟ. فنحتاج إلى استخدام ذلك لإعادة كتابة النهاية في صورة نتمكن من خلالها من استخدام النهاية المستنتجة لدينا. هذا يعني أن علينا أولًا إعادة ترتيب العاملين في الأس. بفعل ذلك وباستخدام ﺃ يساوي واحدًا زائد واحد على ﺱ، وﺏ يساوي ﺱ، وﺟ يساوي أربعة، يمكن أن نعيد كتابة النهاية لتصبح النهاية عندما يقترب ﺱ من ما لا نهاية لواحد زائد واحد على ﺱ الكل مرفوع للقوة ﺱ الكل أس أربعة.

لكن لا يمكننا استخدام النهاية المستنتجة الآن؛ لأن المقدار بالكامل مرفوع للقوة أربعة. لذا، سنستخدم قاعدة القوى للنهايات. تخبرنا إحدى الصور المشابهة أنه بالنسبة لأي عدد صحيح ﻥ وثابت حقيقي ﺃ، حيث تكون النهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ لـ ﺩ لـ ﺱ موجودة، تكون النهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ لـ ﺩ لـ ﺱ مرفوعة للقوة ﻥ تساوي النهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ لـ ﺩ لـ ﺱ الكل مرفوع للقوة ﻥ. وجدير بالذكر هنا أن هذا ينطبق أيضًا على إيجاد النهايات عند ما لا نهاية. نريد تطبيق ذلك مع وضع ﻥ يساوي أربعة، وﺃ يساوي ما لا نهاية، وﺩ لـ ﺱ يساوي واحدًا زائد واحد على ﺱ الكل مرفوع للقوة ﺱ.

ونحن نعرف أن النهاية عندما يقترب ﺱ من ما لا نهاية لـ ﺩ لـ ﺱ موجودة لأنها تساوي ﻫ. إذن، وفقًا لقاعدة القوى للنهايات، يمكننا إعادة كتابة النهاية باعتبارها النهاية عندما يقترب ﺱ من ما لا نهاية لواحد زائد واحد على ﺱ الكل مرفوع للقوة ﺱ، ثم نرفع هذه النهاية المستنتجة إلى القوة أربعة.

والآن، يمكننا إيجاد قيمة النهاية الداخلية. نحن نعلم أنها تساوي ثابت أويلر ﻫ. إذن، بالتعويض عن هذه النهاية بـ ﻫ، نحصل على ﻫ أس أربعة، وهو الحل النهائي. بذلك نكون قد استطعنا توضيح أن قيمة النهاية عندما يقترب ﺱ من ما لا نهاية لواحد زائد واحد على ﺱ الكل مرفوع للقوة أربعة ﺱ يساوي ﻫ أس أربعة.

هيا نر الآن كيف يمكننا استخدام النهاية المستنتجة الأخرى لإيجاد قيمة نهاية مختلفة.

أوجد قيمة النهاية عندما يقترب ﺱ من الصفر لـ ﺱ زائد واحد الكل مرفوع للقوة ١١ على ١٠ﺱ.

مطلوب منا هنا إيجاد قيمة النهاية، ويمكننا محاولة إجراء ذلك مباشرة. أولًا، نلاحظ أن قيم ﺱ تقترب من الصفر. هذا يعني أنه داخل القوس، يقترب واحد زائد ﺱ من واحد زائد صفر، أي واحد. لكننا نواجه مشكلة عندما نحاول إيجاد قيمة الأس. فيظل البسط ثابتًا. لكن مع اقتراب ﺱ من الصفر، يقترب المقام من الصفر، ومن ثم فإن قيمة الأس تزداد بلا حدود. وهذا يعني أنه عند محاولة إيجاد قيمة النهاية، سنحصل على صيغة غير معينة. وبالتالي، سنحتاج إلى تجربة طريقة أخرى لإيجاد قيمة هذه النهاية.

لفعل ذلك، يمكننا إلقاء نظرة فاحصة على النهاية الواردة في المسألة. إنها تشبه نهاية نعرف كيف نوجد قيمتها. نلاحظ أن النهاية المعطاة لنا في المسألة تشبه إلى حد كبير نهاية مستنتجة مفيدة، وهي النهاية عندما يقترب ﺱ من الصفر لواحد زائد ﺱ الكل مرفوع للقوة واحد على ﺱ تساوي ثابت أويلر ﻫ. سنحتاج إذن إلى إعادة كتابة النهاية المعطاة في المسألة لتصبح في صورة تمكننا من استخدام هذه النهاية المستنتجة.

أول شيء علينا فعله هو إعادة ترتيب الحدين داخل القوس. وذلك لكي يتطابق مع النهاية المستخدمة التي استخدمناها. وبذلك نحصل على النهاية عندما يقترب ﺱ من الصفر لواحد زائد ﺱ الكل مرفوع للقوة ١١ على ١٠ﺱ. والآن، يمكننا ملاحظة أن هذه النهاية تشبه إلى حد كبير هذه النهاية المستنتجة. لكن في النهاية المستنتجة، الأس هو واحد على ﺱ. وفي هذه النهاية، الأس هو ١١ على ١٠ﺱ. علينا إذن إعادة كتابة الأس بدلالة واحد على ﺱ. لفعل ذلك، سنكتب ١١ على ١٠ﺱ في صورة واحد على ﺱ مضروبًا في ١١ على ١٠. وهذا يعطينا النهاية عندما يقترب ﺱ من صفر لواحد زائد ﺱ الكل مرفوع للقوة واحد على ﺱ في ١١ على ١٠.

والآن، نريد أن نكتب ذلك بدلالة النهاية المستنتجة. لفعل بذلك، علينا اتباع خطوتين. أولًا، علينا استخدام قوانين الأسس. فنتذكر أنه يمكن إعادة كتابة ﺃ أس ﺏ في ﺟ ليصبح بالصورة ﺃ أس ﺏ الكل مرفوع للقوة ﺟ. ويمكننا استخدام ذلك لإعادة كتابة النهاية حيث ﺃ يساوي واحدًا زائد ﺱ، وﺏ يساوي واحدًا على ﺱ، وﺟ يساوي ١١ على ١٠. بفعل بذلك، نحصل على النهاية عندما يقترب ﺱ من الصفر لواحد زائد ﺱ الكل مرفوع للقوة واحد على ﺱ الكل أس ١١ على ١٠. لكننا ما زلنا لا نستطيع استخدام النهاية المستنتجة لأن التعبير مرفوع للقوة ١١ على ١٠. علينا أخذ هذا خارج النهاية.

وفي الواقع، يمكننا فعل ذلك في هذه الحالة باستخدام قاعدة القوى للنهايات. تنص هذه القاعدة على أنه بالنسبة للعدد الثابت ﺃ، والعدد النسبي ﻥ، وأي دالة ﺩ(ﺱ)، تكون النهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ لـ ﺩ(ﺱ) مرفوعة للقوة ﻥ تساوي النهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ لـ ﺩ(ﺱ) الكل مرفوع للقوة ﻥ. ويمكن استخدام هذه الصورة من قاعدة القوى للنهايات، بشرط أن تكون النهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ لـ ﺩ(ﺱ) موجودة وقيمتها تساوي عددًا غير سالب.

وفي الواقع، هذه بالضبط هي الحالة التي لدينا. نعلم أن قيمة النهاية عندما يقترب ﺱ من صفر لواحد زائد ﺱ الكل مرفوع للقوة واحد على ﺱ تساوي ثابت أويلر ﻫ. إذن، باستخدام قاعدة القوى للنهايات، يمكننا أخذ ١١ على ١٠ خارج النهاية. وهذا يعني أنه يمكننا إيجاد قيمة النهاية الموجودة داخل القوسين. نعرف أنها تساوي ثابت أويلر ﻫ. إذن بكتابة قيمة هذه النهاية على أنها ﻫ، نكون قد أوضحنا أن قيمة النهاية عندما يقترب ﺱ من الصفر لـ ﺱ زائد واحد الكل مرفوع للقوة ١١ على ١٠ﺱ تساوي ﻫ أس ١١ على ١٠.

لنلق نظرة الآن على مثال نحتاج فيه إلى إجراء مزيد من العمليات ليصبح في صورة تمكننا من حساب الحل.

أوجد قيمة النهاية عندما يقترب ﺱ من ما لا نهاية لواحد ناقص سبعة على ﺱ الكل مرفوع للقوة خمسة ﺱ.

مطلوب منا في هذه المسألة إيجاد قيمة نهاية. قد نميل إلى محاولة فعل ذلك مباشرة. لكننا إذا حاولنا ذلك، فسنواجه مشكلة. سالب سبعة على ﺱ عندما يقترب ﺱ من ما لا نهاية يقترب من صفر، وخمسة ﺱ يقترب من ما لا نهاية. إذن، تقترب قيمة هذه النهاية من واحد أس ما لا نهاية، وهي صيغة غير معينة كما نعلم. لذا، علينا تجربة طريقة أخرى لحساب قيمة هذه النهاية. في الواقع، هناك طريقتان مختلفتان لإيجاد قيمة هذه النهاية. سنستعرض إحداهما فقط.

نعلم أن النهاية المعطاة لنا في المسألة مشابهة جدًّا للنهايتين اللتين تتضمنان عدد أويلر ﻫ. وفي الواقع، يمكننا استخدام أي من هذين التعريفين لإيجاد قيمة النهاية. واختيار أي منهما يرجع إلى تفضيلك الشخصي. لكن عادة تكون إحدى النهايتين أسهل من الأخرى. ومن الصعب للغاية أن تحدد أيًّا منهما ستستخدم بناء على النهاية المعطاة. لذا إذا تعثرت في استخدام أحد التعريفين، فجرب استخدام التعريف الآخر. الآن، علينا إعادة كتابة النهاية في الصورة الآتية. وبالطبع يمكننا رؤية بعض المشكلات هنا.

أولًا، داخل القوسين، بدلًا من أن يكون لدينا ﻥ، لدينا سالب سبعة على ﺱ. لحل هذه المشكلة، سنجعل ﻥ يساوي سالب سبعة على ﺱ. ونستخدم، بعد ذلك، هذا التعويض لإعادة كتابة النهاية. سنبدأ بإعادة كتابة سالب سبعة على ﺱ بأن نكتب ﻥ بدلًا منه. هذا يعطينا النهاية عندما يقترب ﺱ من ما لا نهاية لواحد زائد ﻥ الكل مرفوع للقوة خمسة ﺱ. وبالطبع، نريد إعادة كتابة هذه النهاية بدلالة ﻥ. لذا، دعونا نوجد مقدارًا يعبر عن خمسة ﺱ. لفعل ذلك، نعيد ترتيب التعبير ﻥ يساوي سالب سبعة على ﺱ. يمكننا ضرب طرفي هذه المعادلة في ﺱ ثم قسمة الطرفين على ﻥ. فنحصل على ﺱ يساوي سالب سبعة على ﻥ. ثم يمكننا التعويض بذلك في النهاية.

وهذا يعطينا النهاية عندما يقترب ﺱ من ما لا نهاية لواحد زائد ﻥ الكل مرفوع للقوة خمسة في سالب سبعة على ﻥ. ويمكننا تبسيط الأس. فهو يساوي سالب ٣٥ على ﻥ. علينا الآن إيجاد قيمة النهاية عندما يقترب ﺱ من ما لا نهاية لواحد زائد ﻥ الكل مرفوع للقوة سالب ٣٥ على ﻥ. لكن هذه مشكلة. فلدينا ﺱ يقترب من ما لا نهاية. ونريد معرفة ما يحدث لـ ﻥ. لمعرفة ذلك، نتذكر أن ﻥ يساوي سالب سبعة على ﺱ. إذن، يمكننا أن نسأل «ماذا يحدث لـ ﻥ عندما يقترب ﺱ من ما لا نهاية؟». عندما يقترب ﺱ من ما لا نهاية، يزداد مقام هذا التعبير بلا حدود. إذن، ﻥ عدد سالب له مقدار يقل شيئًا فشيئًا بحيث يقترب ﻥ من الصفر من جهة اليسار. بالتالي، يمكننا إعادة كتابة هذا في صورة النهاية عندما يقترب ﻥ من الصفر من جهة اليسار لواحد زائد ﻥ الكل مرفوع للقوة سالب ٣٥ على ﻥ.

من الجدير بالذكر هنا أننا لا نحتاج إلى حقيقة أن ﻥ يقترب من الصفر من جهة اليسار. فيمكننا ببساطة كتابة عندما يقترب ﻥ من الصفر. وهذا لا يغير في الواقع قيمة النهاية. والآن، يكاد يكون المقدار في صورة يمكننا إيجاد قيمتها باستخدام النهاية المستنتجة لدينا. كل ما علينا فعله هو كتابة ذلك بدلالة الأس واحد على ﻥ. أولًا، سنعيد كتابة النهاية باستخدام قوانين الأسس. فهي تساوي النهاية عندما يقترب ﻥ من الصفر لواحد زائد ﻥ الكل مرفوع للقوة واحد على ﻥ الكل أس سالب ٣٥.

والآن، كل ما علينا فعله هو أخذ الأس سالب ٣٥ خارج النهاية. ولفعل بذلك، سنستخدم قاعدة القوى للنهايات. النهاية عندما يقترب ﻥ من ﺃ لـ ﺩ لـ ﻥ مرفوعًا للقوة ﻡ تساوي النهاية عندما يقترب ﻥ من ﺃ لـ ﺩ لـ ﻥ الكل مرفوع للقوة ﻡ. وينطبق هذا إذا كان ﻡ عددًا صحيحًا والنهاية عندما يقترب ﻥ من ﺃ لـ ﺩ لـ ﻥ موجودة. نعرف أن هذا ينطبق هنا. فنعرف أنه يساوي ثابت أويلر ﻫ. وبالتالي، يمكننا أخذ الأس سالب ٣٥ خارج النهاية. بعد ذلك، يمكننا إيجاد قيمة هذه النهاية لنحصل على ﻫ. إذن، الإجابة هي ﻫ أس سالب ٣٥. ويمكننا إعادة كتابة ذلك لتكون الإجابة النهائية واحدًا على ﻫ أس ٣٥.

يمكننا الآن تلخيص النقاط الرئيسية التي تناولناها في هذا الفيديو. لقد أوجدنا نهايتين مستنتجتين مفيدتين، وأثبتنا أنه يمكننا استخدامهما لإيجاد قيم نهايات أخرى باستخدام العمليات الجبرية والتعويض وقاعدة القوى للنهايات.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.