فيديو الدرس: إيجاد قيمة المقادير: الأسس الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتدرب على حساب قيم المقادير الجبرية التي تتضمن أسسًا مكونة من متغيرات. أولًا، ربما علينا أن نذكر أنفسنا بمعنى كلمة مقدار. يتكون المقدار من أعداد ورموز وعمليات حسابية مجتمعة معًا لتوضيح قيمة شيء ما. على سبيل المثال، إذا كان لدينا المعادلة: ثلاثة زائد خمسة أس ﺱ يساوي ١٢٨، فإن ثلاثة زائد خمسة أس ﺱ مقدار. وفي هذا المقدار، لدينا خمسة أس ﺱ. ولدينا قيمة مجهولة وهي الأس. في هذا الفيديو، سنتناول على وجه التحديد المقادير الجبرية التي يتضمن حلها إيجاد قيمة متغير يمثل الأس؛ حيث تكون قيمة الأس مجهولة.

لكن قبل أن نصل إلى هذا، علينا أن نراجع سريعًا قواعد الأسس والتعامل معها. عند ضرب الأسس، فإن ﺱ أس ﺃ في ﺱ أس ﺏ يساوي ﺱ أس ﺃ زائد ﺏ. أما عند قسمة الأسس، فإن ﺱ أس ﺃ مقسومًا على ﺱ أس ﺏ يساوي ﺱ أس ﺃ ناقص ﺏ. وفي حالة رفع قوة لأس آخر، فإن ﺱ أس ﺃ أس ﺏ يساوي ﺱ أس ﺃ في ﺏ. ثم لدينا قاعدة القوة لحاصل الضرب؛ وهي أن: ﺱ في ﺹ أس ﺃ يساوي ﺱ أس ﺃ في ﺹ أس ﺃ.

ثم لدينا قاعدة القوة التي أساسها كسر. إذا كان لدينا ﺱ مقسومًا على ﺹ أس ﺃ، فسيساوي ذلك ﺱ أس ﺃ مقسومًا على ﺹ أس ﺃ. بعد ذلك، لدينا قاعدة الأس صفر. ‏ﺱ أس صفر يساوي واحدًا. أي شيء أس صفر يساوي واحدًا. وبالنسبة للأسس السالبة، ﺱ أس سالب ﺃ يساوي واحدًا على ﺱ أس ﺃ. وأخيرًا لدينا الأس الكسري، الذي يسمى أحيانًا الأس النسبي، وهو: ﺱ أس واحد على ﻥ. ويساوي الجذر ﻥ لـ ﺱ. باستخدام هذه القواعد، سنتمكن من تبسيط الأسس المكونة من متغيرات، وإيجاد قيمتها. لنلق نظرة على بعض الأمثلة.

أوجد قيمة ثلاثة زائد خمسة أس ﺱ إذا كان ﺱ يساوي اثنين.

في هذه الحالة، لدينا المقدار: ثلاثة زائد خمسة أس ﺱ. ولإيجاد قيمة هذا المقدار، سنعوض بالعدد اثنين عن ﺱ، فيصبح لدينا ثلاثة زائد خمسة تربيع. خمسة تربيع يساوي خمسة في خمسة، أي ٢٥. نجمع ثلاثة و٢٥ لنحصل على ٢٨، وهو ما يعني أن ثلاثة زائد خمسة أس ﺱ يساوي ٢٨ عند ﺱ يساوي اثنين.

في المثال التالي، سنتناول حالة نتعامل فيها مع متغيرين مختلفين.

أوجد قيمة ﺱ أس ﻉ ناقص ﻉ أس ﺱ؛ حيث ﺱ يساوي أربعة، وﻉ يساوي ثلاثة.

لدينا المقدار الجبري: ﺱ أس ﻉ ناقص ﻉ أس ﺱ. قد تعتقد هنا أن ﺱ أس ﻉ ناقص ﻉ أس ﺱ لا بد أن يساوي صفرًا. لكن هذا غير صحيح. ‏ﺱ أس ﻉ لا يساوي ﻉ أس ﺱ. فهما لا يمثلان معكوسًا جمعيًّا لأحدهما الآخر. ويمكننا التأكد من ذلك بالتعويض بقيمتي ﺱ وﻉ المعطاتين. وبما أننا نعلم أن ﺱ يساوي أربعة وﻉ يساوي ثلاثة؛ فإن الحد الأول سيكون أربعة تكعيب، والحد الثاني سيكون ثلاثة أس أربعة. أربعة تكعيب يساوي ٦٤، وثلاثة أس أربعة يساوي ٨١. ومن ثم سيكون هذا المقدار ٦٤ ناقص ٨١، وهو ما يساوي سالب ١٧. نرى بذلك أن أربعة تكعيب، أو ﺱ أس ﻉ، لا يساوي ثلاثة أس أربعة، أو ﻉ أس ﺱ.

في المثال الثالث، سنتناول ضرب قيمتين كسريتين عندما يكون لهما أسان مختلفان مكونان من متغيرات.

احسب القيمة العددية لخمسة أرباع أس ﺹ في خمسة أرباع أس ﺱ عند ﺱ يساوي سالب سبعة، وﺹ يساوي أربعة.

لدينا المقدار: خمسة أرباع أس ﺹ في خمسة أرباع أس ﺱ. عندما ننظر إلى هذا المقدار، نلاحظ أن الأساس في كلا الحدين هو خمسة أرباع. وهما مضروبان معًا. ينبغي أن يجعلنا هذا نفكر في قاعدة الأسس التي تنص على أن: ﺱ أس ﺃ في ﺱ أس ﺏ يساوي ﺱ أس ﺃ زائد ﺏ. هذا يعني أنه يمكننا إعادة كتابة المقدار بالأساس خمسة أرباع والأس الجديد ﺹ زائد ﺱ. من شأن هذه الخطوة تبسيط المقدار إلى حد واحد. وبعدها، سنعوض بسالب سبعة عن ﺱ، وبأربعة عن ﺹ. ومن ثم يصبح لدينا: خمسة أرباع أس أربعة زائد سالب سبعة، وهو ما يمكن تبسيطه بحيث يصبح الأس أربعة ناقص سبعة.

لكن أربعة ناقص سبعة يساوي سالب ثلاثة، وهو ما يعطينا خمسة أرباع أس سالب ثلاثة. نتذكر قاعدة القوة التي أساسها كسر، والتي تنص على أن: ﺱ على ﺹ أس ﺃ يساوي ﺱ أس ﺃ على ﺹ أس ﺃ. عند توزيع الأس سالب ثلاثة، نحصل على: خمسة أس سالب ثلاثة على أربعة أس سالب ثلاثة. نعرف أيضًا أن ﺱ أس سالب ﺃ يساوي واحدًا على ﺱ أس ﺃ. ونتيجة لذلك، واحد على ﺱ أس سالب ﺃ يساوي ﺱ أس ﺃ، وهو ما يعني أنه إذا كان لدينا أس سالب في المقام، فيمكننا نقله إلى البسط وجعله موجبًا. ومن ثم يمكن كتابة خمسة أس سالب ثلاثة على أربعة أس سالب ثلاثة بالصورة: أربعة تكعيب على خمسة تكعيب، وهو ما يساوي ٦٤ على ١٢٥.

في المثال الرابع، ستكون قيم الأسس غير معلومة لنا من المعطيات. وسيكون علينا استخدام المعلومات المعطاة لحساب قيم المتغيرات في الأس.

إذا كان اثنان أس ﺱ يساوي ثمانية أس ﺹ يساوي ٥١٢، فأوجد قيمة ﺱ ناقص ﺹ.

قبل أن نحاول إيجاد قيمة ﺱ ناقص ﺹ، علينا إيجاد قيمة كل من ﺱ وﺹ. تخبرنا العبارة أن اثنين أس ﺱ يساوي ٥١٢، وثمانية أس ﺹ يساوي ٥١٢ أيضًا. يمكننا تقسيم هذه العبارة إلى عبارتين منفصلتين هكذا. وبالتفكير في حل كل منهما، نجد أنه إذا كان ٥١٢ يساوي اثنين أس عدد ما وثمانية أس عدد ما، فإن ٥١٢ يقبل القسمة على كل من اثنين وثمانية. وبما أن ثمانية هو أكبر العاملين، سنجرب قسمة ٥١٢ على ثمانية. عندما نفعل ذلك، نجد أن ثمانية في ٦٤ يساوي ٥١٢. ونحن نعرف أن ٦٤ يساوي ثمانية في ثمانية.

يوضح لنا ذلك أن ٥١٢ يساوي ثمانية تكعيب. ومن ثم في هذه العبارة التي تتضمن العدد ٥١٢، يمكننا التعويض عنه بثمانية تكعيب نظرًا لأن ٥١٢ يساوي ثمانية تكعيب. ويصبح لدينا بذلك عبارة جديدة. وهي: ثمانية أس ﺹ يساوي ثمانية تكعيب. وبناء على هذه المعلومة، يمكننا القول إن ﺹ لا بد أن يساوي ثلاثة. بذلك نكون قد وجدنا أن ٥١٢ يساوي ثمانية تكعيب. لكن بالرغم من معرفتنا أن اثنين ﺱ يساوي ثمانية تكعيب، فما زلنا غير قادرين على إيجاد قيمة ﺱ. لكن يمكننا التفكير في أن ثمانية يقبل القسمة على اثنين. ونعلم أن اثنين في أربعة يساوي ثمانية. واثنان في اثنين يساوي أربعة. وهذا يعني أنه يمكننا إعادة كتابة القيمة ثمانية بالصورة اثنين تكعيب، وهو ما يعني أن ٥١٢ يساوي اثنين تكعيب تكعيب.

نطبق ما نعرفه عن رفع قوة لأس آخر، وهو أن ﺱ أس ﺃ أس ﺏ يساوي ﺱ أس ﺃ مضروبًا في ﺏ. ثلاثة في ثلاثة يساوي تسعة، وهو ما يعني أن ٥١٢ يساوي اثنين أس تسعة. تنص العبارة الجديدة على أن اثنين أس ﺱ يساوي اثنين أس تسعة. وعليه، فإن ﺱ يساوي تسعة. نحن الآن على استعداد لحساب المقدار: ﺱ ناقص ﺹ. نعلم أن ﺱ يساوي تسعة، وﺹ يساوي ثلاثة. إذن يمكننا القول إن ﺱ ناقص ﺹ يساوي ستة، وهو ما يعني أن تسعة ناقص ثلاثة يساوي ستة.

في المثال الأخير، علينا إيجاد قيمة أس مجهول مرة أخرى. وبعدها، سنستخدم هذه المعلومة لتحديد قيمة مقدار.

إذا كان اثنان أس ﺱ يساوي أربعة، فأوجد قيمة ثمانية أس ﺱ ناقص واحد في اثنين أس اثنين ﺱ زائد ستة في نصف أس اثنين ﺱ.

لدينا في هذه المسألة عبارة، ومطلوب منا إيجاد قيمة مقدار معين. لإيجاد قيمة هذا المقدار، سنكتب العبارة: اثنان أس ﺱ يساوي أربعة. وباستخدام هذه المعلومة، يمكننا إيجاد قيمة ﺱ. نريد إعادة كتابة أربعة بالأساس اثنين. وبما أننا نعلم أن أربعة يساوي اثنين تربيع، يمكننا التعويض عن أربعة باثنين تربيع في هذه العبارة، ومن هنا نجد أن اثنين أس ﺱ يساوي اثنين تربيع. إذن ﺱ يساوي اثنين. بعد أن عرفنا ذلك، صرنا مستعدين للتفكير في المقدار: ثمانية أس ﺱ ناقص واحد في اثنين أس اثنين ﺱ زائد ستة في نصف أس اثنين ﺱ.

في هذا المقدار، كل مرة يظهر فيها المتغير ﺱ، سنعوض عنه باثنين. ثمانية أس اثنين ناقص واحد يساوي ثمانية أس واحد، أي ثمانية. ولدينا بعد ذلك اثنان أس اثنين في اثنين زائد ستة — اثنان في اثنين يساوي أربعة، وأربعة زائد ستة يساوي ١٠. فيصبح لدينا اثنان أس ١٠. ونصف أس اثنين في اثنين يساوي نصفًا أس أربعة. والآن يمكننا إدخال هذا المقدار على الآلة الحاسبة أو محاولة إيجاد كل هذه القيم.

لكن هناك طريقة لتبسيط المقدار أولًا إذا لاحظنا أنه يمكن إعادة كتابة كل هذه العوامل الثلاثة بحيث يكون الأساس اثنين. مثلما أعدنا كتابة أربعة بالصورة اثنين تربيع، يمكننا إعادة كتابة ثمانية في صورة اثنين تكعيب. اثنان في اثنين في اثنين يساوي ثمانية. واثنان أس عشرة له الأساس اثنان بالفعل. والآن قد تتساءل: «كيف سنكتب نصفًا بحيث يكون الأساس اثنين؟» تذكر أن ﺱ أس سالب ﺃ يساوي واحدًا على ﺱ أس ﺃ. يمكننا إذن أن نفكر في أن واحدًا على اثنين يساوي واحدًا على اثنين أس واحد. ويمكننا إعادة كتابة ذلك بالصورة اثنين أس سالب واحد.

ومن ثم بدلًا من نصف أس أربعة، سيصبح لدينا اثنان أس سالب واحد أس أربعة. وبما أننا نعلم قاعدة رفع قوة لأس آخر، التي تنص على أن: ﺱ أس ﺃ أس ﺏ يساوي ﺱ أس ﺃ في ﺏ، يمكننا كتابة اثنين أس سالب واحد أس أربعة بالصورة اثنين أس سالب أربعة. وفي الخطوة الأخيرة للتبسيط، سنستخدم ﺱ أس ﺃ في ﺱ أس ﺏ يساوي ﺱ أس ﺃ زائد ﺏ. بما أن أساس جميع العوامل هو اثنان، ونضرب هذه العوامل معًا، فسنأخذ الأساس اثنين ثم نجمع جميع الأسس معًا. وبذلك يصبح لدينا: اثنان أس ثلاثة زائد ١٠ زائد سالب أربعة. ثلاثة زائد ١٠ يساوي ١٣، ناقص أربعة يساوي تسعة، وهو ما يعني أن الناتج هو اثنان أس تسعة. واثنان أس تسعة يساوي ٥١٢.

قبل أن ننهي حديثنا، دعونا نتذكر بعض النقاط الأساسية لإيجاد قيم المقادير ذات الأسس المكونة من متغيرات. عند إيجاد قيم المقادير الجبرية ذات الأسس المكونة من متغيرات، نستخدم قواعد الأسس لتبسيط المقدار قدر الإمكان. بالإضافة إلى ذلك، نعيد كتابة القيم بحيث تكون بالأساس نفسه كلما أمكن. وبعد ذلك، نستخدم قاعدة رفع قوة لأس آخر لنتمكن من إيجاد قيمة المقدار.