تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

فيديو السؤال: إيجاد ارتفاع مخروط بمعلومية محيط قاعدته وراسم مخروطه الرياضيات

قطعة ورق على شكل قطاع دائري نصف قطره ٢٩ سم ومساحته ٢٠٣‏𝜋‏ سم^٢، طويت لتصبح على شكل مخروط قائم، عن طريق لصق نصفي القطر؛ القطعة المستقيمة ﺃﺏ، والقطعة المستقيمة ﺃﺟ. ما ارتفاع المخروط؟ تذكر أن مساحة القطاع الدائري تساوي نصف حاصل ضرب نصف قطره في طول قوسه.

٠٨:٢٩

‏نسخة الفيديو النصية

قطعة ورق على شكل قطاع دائري نصف قطره ٢٩ سنتيمترًا ومساحته ٢٠٣‏𝜋‏ سنتيمتر مربع، طويت لتصبح على شكل مخروط قائم، عن طريق لصق نصفي القطر: القطعة المستقيمة ﺃﺏ، والقطعة المستقيمة ﺃﺟ. ما ارتفاع المخروط؟ تذكر أن مساحة القطاع الدائري تساوي نصف حاصل ضرب نصف قطره في طول قوسه.

لدينا هنا في المعطيات شكل سيساعدنا كثيرًا في الحل، وعلينا أن نتذكر أن السطح المنحني للمخروط هو الذي تساوي مساحته ٢٠٣‏𝜋‏ سنتيمتر مربع. يطلب منا السؤال إيجاد ارتفاع المخروط. ويمكن تمثيل ارتفاع المخروط بهذا الخط الموضح باللون البرتقالي، ونحن نعلم أنه سيصل إلى مركز الدائرة عند قاعدة المخروط؛ وذلك لأنه ورد في المعطيات أن المخروط قائم الشكل. دعونا نرمز إلى طول ارتفاع المخروط بـ ﻉ سنتيمتر.

قد نعتقد أنه بما أن نصف قطر هذا القطاع يساوي ٢٩ سنتيمترًا، فلا بد أن ارتفاع المخروط أيضًا يساوي ٢٩ سنتيمترًا. لكن في الواقع، طول راسم المخروط هو الذي يساوي ٢٩ سنتيمترًا. ومن ثم، لإيجاد طول الارتفاع ﻉ سنتيمتر، يمكننا تكوين هذا المثلث داخل المخروط. هذا المثلث سيكون مثلثًا قائم الزاوية؛ لأن الارتفاع هو الارتفاع العمودي. وبما أن لدينا مثلثًا قائم الزاوية نعلم طول أحد أضلاعه ونريد إيجاد طول ضلع آخر، علينا إذن إيجاد طول الضلع الثالث في المثلث إذا أردنا تطبيق نظرية فيثاغورس.

لكن، ما الذي يمثله هذا الطول؟ نعلم أنه يمثل نصف قطر هذه الدائرة الموجودة عند قاعدة المخروط. ويمكننا أن نرمز إليه بالحرف نق. إذن، قبل أن نتمكن من تطبيق نظرية فيثاغورس، علينا إيجاد هذا الطول، أي نصف قطر هذه الدائرة عند قاعدة المخروط. لاحظ أن هذه الدائرة تختلف عن الدائرة التي كونت هذا القطاع. لاحظ أن نصف قطر هذه الدائرة أصغر ولن يساوي ٢٩ سنتيمترًا. يمكننا إيجاد نصف قطر هذه الدائرة إذا علمنا قيمة محيط الدائرة، وهي المسافة حول الحافة الخارجية.

طول محيط هذه الدائرة سيساوي طول القوس في هذا القطاع. وذلك لأنه عند تشكيل هذا المخروط، طوينا هذا القطاع لتكوين المخروط. ولذا، إذا عرفنا طول قوس هذا القطاع، فإنه سيساوي طول محيط الدائرة الأصغر. لحسن الحظ، تضمن رأس السؤال تذكيرًا بأن مساحة القطاع تساوي نصف حاصل ضرب نصف قطره في طول قوسه. ويمكننا استخدام الحرف ﻝ ليشير إلى طول القوس في هذه الصيغة.

نعلم من المعطيات أن المساحة تساوي ٢٠٣‏𝜋‏ سنتيمتر مربع. كما نعلم أن نصف قطر الدائرة الأكبر يساوي ٢٩ سنتيمترًا. ونحن نريد إيجاد طول القوس ﻝ. إذن يمكننا ضرب كلا الطرفين في اثنين لنحصل على ٤٠٦‏𝜋‏ يساوي ٢٩ﻝ. وبقسمة الطرفين على ٢٩، نحصل على ٤٠٦ على ٢٩‏𝜋‏ يساوي ﻝ. وعندما نحسب ٤٠٦ على ٢٩، نحصل على قيمة تساوي ١٤. وبالطبع يمكننا إضافة الوحدات هنا، فيصبح طول القوس يساوي ١٤‏𝜋‏ سنتيمترًا.

وهكذا، نعلم الآن أن طول قوس هذا القطاع الكبير يساوي ١٤‏𝜋‏ سنتيمتر، وهو نفسه محيط الدائرة الأصغر. وهذا سيمكننا من إيجاد نصف قطر الدائرة الأصغر. دعونا نفرغ بعض المساحة لإجراء مزيد من العمليات الحسابية. لعلنا نتذكر أن محيط الدائرة ونصف قطرها تربط بينهما الصيغة: المحيط ﺡ يساوي اثنين في ‏𝜋‏ في نصف القطر. وبالتعويض بقيمة المحيط التي تساوي ١٤‏𝜋‏ في هذه الصيغة، نحصل على ١٤‏𝜋‏ يساوي اثنين ‏𝜋‏نق. وبقسمة كلا الطرفين على ‏𝜋‏ نحصل على ١٤ يساوي اثنين نق. يمكننا بعد ذلك قسمة كلا الطرفين على اثنين، ونجد أن نصف القطر نق يساوي سبعة سنتيمترات.

تذكر أننا لم ننته بعد من الإجابة عن هذا السؤال. لقد وجدنا أن نصف القطر يساوي سبعة سنتيمترات، وبذلك يمكننا أخيرًا حساب ارتفاع هذا المخروط. علينا استخدام صيغة أخيرة، وهي نظرية فيثاغورس. تنص هذه النظرية على أنه في المثلث القائم الزاوية، يكون مربع طول الوتر مساويًا لمجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين. في المثلث الموجود داخل المخروط، لدينا طول الوتر ﺟ يساوي ٢٩ سنتيمترًا. والقيمتان ﺃ وﺏ هما طولا الضلعين الآخرين. أحدهما يساوي الارتفاع الذي طوله ﻉ سنتيمتر، وطول الضلع الآخر يساوي سبعة سنتيمترات.

بالتعويض بهذه القيم في نظرية فيثاغورس، نحصل على ﻉ تربيع زائد سبعة تربيع يساوي ٢٩ تربيع. وبحساب مربعي القيمتين، نجد أن سبعة تربيع يساوي ٤٩، و٢٩ تربيع يساوي ٨٤١. يمكننا بعد ذلك طرح ٤٩ من طرفي المعادلة، ومن ثم نحصل على ﻉ تربيع يساوي ٧٩٢. بعد ذلك، نحسب الجذر التربيعي لكلا الطرفين، مع تجاهل القيمة السالبة؛ لأن قيمة الارتفاع ﻉ تمثل طولًا.

وهنا، يمكننا إيجاد هذه القيمة بالتقريب العشري أو تركها على صورة الجذر التربيعي. ومع ذلك، إذا تركناها على هذه الصورة، فيمكننا تبسيطها أكثر من ذلك. نلاحظ أن لدينا عاملًا مربعًا يساوي ٣٦، والذي عند ضربه في ٢٢ نحصل على ٧٩٢. وبإيجاد قيمة الجذر التربيعي لـ ٣٦، نحصل على ستة مضروبًا في جذر ٢٢. وبذلك، نحصل على الإجابة وهي أن ارتفاع المخروط يساوي ستة جذر ٢٢ سنتيمترًا. أو إذا أردنا ترك الإجابة في صورة عدد عشري، فارتفاع المخروط سيساوي ٢٨٫١٤ سنتيمترًا لأقرب جزء من مائة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.