تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.

فيديو: حل نظام من معادلتين خطيتين بيانيًا

محمد فوزي

يوضح الفيديو مفهوم النظام المكون من معادلتين خطيتين، وكيفية حلِّه عن طريق تمثيل كلتا المعادلتين بيانيًّا.

٠٨:٣٥

‏نسخة الفيديو النصية

حل نظام من معادلتين خطيتين بيانيًّا.

في الفيديو ده هنشرح يعني إيه نظام من معادلتين، وإزاي نقدر نحلّه بيانيًّا، مع حل أمثلة لتوضيح طريقة الحل.

معنى نظام أي أكثر من معادلة واحدة. والنظام اللي في الفيديو ده بنتكلم عنه هو نظام مكوّن من معادلتين خطيتين. ولحل هذا النظام بيانيًّا يتمّ الآتي.

حل النظام بالتمثيل البياني. بيتمّ عن طريق تمثيل المعادلتين بيانيًّا في نفس المستوى البياني. وإيجاد النقطة التي يتقاطع عندها المستقيمان. وتمثّل حل النظام. محتاجين طبعًا مثال توضيحي؛ عشان يوضح لنا حل النظام بالتمثيل البياني بيكون إزاي. نفتح صفحة جديدة.

بنكمّل ونشوف مثال توضيحي لفظي يوضّح حل نظام مكوّن من معادلتين خطيتين بيانيًّا. في المثال اللي قدامنا بنلاقي فيه مصنع ينتج ألعاب للأطفال، وكان مدير الإنتاج يرغب في معرفة عدد الألعاب التي عليه بيعها حتى يحقق ربحًا. وإذا كانت ص تساوي أربعة س زائد ألف وخمسمية تعبّر عن تكاليف الإنتاج الكلية. وكانت ص تمثّل تكلفة الإنتاج. وَ س عدد الألعاب المنتَجة. والمعادلة ص تساوي عشرة س تعبر عن القيمة الكلية للمبيعات وكانت ص تمثّل القيمة الكلية للمبيعات. وَ س عدد الألعاب.

بنلاقي إن عندنا معادلتين خطيتين هنا. الأولى هي ص تساوي أربعة س زائد ألف وخمسمية، وتمثّل تكاليف الإنتاج الكلية، وَ س هي عبارة عن عدد الألعاب. وبنلاقي معادلة خطية أخرى. ص تساوي عشرة س، وتعبر عن القيمة الكلية للمبيعات، وَ س تعبر عن عدد الألعاب. يبقى في كلتا المعادلتين س تعبر عن عدد الألعاب.

وبالتالي حل هذا النظام هيكون عبارة عن معرفة عدد الألعاب التي يجب أن يبيعها المصنع حتى يحقق ربحًا. أو مطلوب إيجاد قيمة س التي تحقّق المعادلتين، وتمثّل عدد الألعاب التي يجب أن يبيعها المصنع حتى يغطي تكلفة الإنتاج، ولو باع أكثر منها هيحقق ربحًا.

بنلاحظ على الشمال التمثيل البياني لكلتا المعادلتين. بنلاقي أن هذه المعادلة باللون البرتقالي عبارة عن ص تساوي عشرة س. والمعادلة باللون الأزرق تمثّل ص تساوي أربعة س زائد ألف وخمسمية. بنلاحظ التمثيل البياني لكلتا المعادلتين إن نقطة تقاطع المستقيمان اللي إحنا شايفينها دي، هذه النقطة، تمثّل حلّ النظام.

بنلاحظ إن المحور الأفقي بيمثّل عدد الألعاب، والمحور الرأسي يمثّل التكلفة بالجنيه. إذن حل هذا النظام هي نقطة تقاطع المستقيمان. وبنلاقي إن قيمة س عندها تساوي ميتين وخمسين. أي يجب على المصنع أن يبيع أكثر من ميتين وخمسين لعبة؛ حتى يحقق ربحًا.

بنلاقي إن حل نظام مكوّن من معادلتين خطيتين يكون عبارة عن زوج مرتب. وبالتالي بنقول إن حل هذا النظام هو الزوج المرتب: ميتين وخمسين، وألفين وخمسمية. وبكده عدد الألعاب التي يجب إنتاجها لتحقيق ربح أكثر من ميتين وخمسين لعبة.

نكمل ونحل مثال بإيدينا. نفتح صفحة جديدة.

مطلوب في المثال حل النظام ص تساوي سالب اتنين س ناقص تلاتة، وَ ص تساوي اتنين س زائد خمسة؛ برسم كل معادلة بيانيًّا في المستوى البياني نفسه.

من الواضح إن كل معادلة هي معادلة خطية. وبالتالي هذا النظام نظام مكوّن من معادلتين خطيتين مطلوب حله بيانيًّا. من خلال التمثيل البياني للدالتين بنلاقي إن نقطة تقاطع المستقيمين هي النقطة سالب اتنين وواحد. وبالتالي النقطة سالب اتنين وواحد تمثّل حل هذا النظام. يمكن أيضًا التأكد من هذا الحل عن طريق التعويض بيه في المعادلتين. ونشوف هل فعلًا النقطة سالب اتنين وواحد تمثّل حل هذا النظام وتحقق المعادلتين أم لا. بيتمّ التعويض بالنقطة سالب اتنين وواحد في المعادلتين؛ للتأكد من صحة الحل. بنلاقي عندنا في أول معادلة ص تساوي سالب اتنين س ناقص تلاتة. بنعوّض عن قيمة ص بواحد وقيمة س بسالب اتنين. وبنسأل هل الطرف اليمين يساوي الطرف الشمال عند التعويض أم لا. أي بنسأل هل النقطة تحقق المعادلة أم لا. بنلاقي إن الطرف اليمين لسّه واحد، والطرف الشمال سالب اتنين في سالب اتنين، بأربعة، ناقص تلاتة … بنسأل برضو هل الواحد يساوي أربعة ناقص تلاتة. بنلاقي فعلًا إن الطرف اليمين بواحد والطرف الشمال بواحد. وبالتالي الحل الذي عبارة عن النقطة سالب اتنين وواحد، يحقق المعادلة الأولى، وهو حل للمعادلة الأولى.

بنلاقي في المعادلة التانية ص تساوي اتنين س زائد خمسة. بنعوّض عن قيمة ص بواحد، وعن قيمة س بسالب اتنين. وبنسأل هل الطرف اليمين يساوي الطرف الشمال أم لا. بنلاقي لسّه الطرف اليمين بواحد. والطرف الشمال عبارة عن اتنين في سالب اتنين بسالب أربعة زائد خمسة. بنلاقي إن الطرف اليمين بواحد. والطرف الشمال سالب أربعة زائد خمسة تساوي واحد. وبالتالي لقينا إن الطرف اليمين يساوي الطرف الشمال. أي أن النقطة سالب اتنين وواحد التي تمثّل حل هذا النظام تحقق المعادلة الثانية. وبكده حل النظام مظبوط لأنه بيحقق المعادلتين.

يبقى إحنا في الفيديو ده شرحنا يعني إيه نظام مكوّن من معادلتين خطيتين. وإزاي نقدر نحله بيانيًّا عن طريق تمثيل كلا المعادلتين بيانيًّا، وإيجاد نقطة تقاطع المستقيمان. ويكون حل النظام على شكل زوج مرتّب زي ما شُفنا كده في المثال.