فيديو السؤال: ضرب وقسمة الأعداد المركبة التي تتضمن الصورتين القطبية والأسية الرياضيات

إذا كان ﻉ_١ = ٨(جتا ٢٤٠° + ﺕ جا ٢٤٠°)، ﻉ_٢ = ٤(جتا (٥‏𝜋‏‏/‏٤) + ﺕ جا (٥‏𝜋‏‏/‏٤))، ﻉ_٣ = ٨(جتا ٤٥° + ﺕ جا ٤٥°)، فأوجد (ﻉ_١ﻉ_(٢) ^(٦))‏/‏(ﻉ_(٣) ^(٤)) على الصورة الأسية.

١٠:٤٣

‏نسخة الفيديو النصية

إذا كان ﻉ واحد يساوي ثمانية في جتا ٢٤٠ درجة زائد ﺕ جا ٢٤٠ درجة. وﻉ اثنان يساوي أربعة في جتا خمسة 𝜋 على أربعة زائد ﺕ جا خمسة 𝜋 على أربعة. وﻉ ثلاثة يساوي ثمانية في جتا ٤٥ درجة زائد ﺕ جا ٤٥ درجة. فأوجد ﻉ واحد في ﻉ اثنين أس ستة على ﻉ ثلاثة أس أربعة على الصورة الأسية.

في هذه المسألة، لدينا ثلاثة أعداد مركبة. وعلينا إجراء عمليات مختلفة، مثل الضرب والقسمة والرفع لقوى ما. يمكننا استخدام نظرية ديموافر لحل هذه المسألة. ومع ذلك، قد تلاحظ أنه مطلوب في المسألة إعطاء الإجابة على الصورة الأسية. لهذا السبب، فإن الطريقة التي سنتبعها ستشمل أولًا تحويل الأعداد المركبة إلى الصورة الأسية، وبعدئذ فقط يمكن إجراء العمليات.

دعونا نتذكر أولًا الصورتين المثلثية والأسية للعدد المركب. سنلاحظ في هاتين الصورتين، أن العدد المركب ﻉ يعبر عنه بدلالة بارامترين أساسيين: المقدار ﻝ والزاوية 𝜃. يمكننا التحويل بين الصورتين المثلثية والأسية عن طريق حساب قيمتي ﻝ و𝜃 في أحد التعبيرين والتعويض بهما في التعبير الآخر.

قبل أن نفعل ذلك، دعونا أولًا نوحد وحدة قياس 𝜃. بالنظر إلى الأعداد المركبة، سنلاحظ أن 𝜃 معبر عنها بالدرجات في ﻉ واحد وﻉ ثلاثة، ومعبر عنها بالراديان في ﻉ اثنين. يمكننا تحويل جميع قيم الدرجات إلى الراديان بتذكر العلاقة التالية. ‏‏٣٦٠ درجة تساوي اثنين 𝜋 راديان. وبالتالي، يمكننا حساب أن ٢٤٠ درجة تساوي أربعة 𝜋 على ثلاثة راديان. و٩٠ درجة تساوي 𝜋 على أربعة راديان.

والآن بعد أن توصلنا إلى هاتين القيمتين، سنعيد كتابة الأعداد المركبة مع مراعاة التعبير عن 𝜃 بالراديان. ‏‏ﻉ واحد يساوي ثمانية في جتا أربعة 𝜋 على ثلاثة زائد ﺕ جا أربعة 𝜋 على ثلاثة. يظل ﻉ اثنان كما هو دون تغيير، حيث لدينا بالفعل 𝜃 بوحدة الراديان. وﻉ ثلاثة يساوي ثمانية في جتا 𝜋 على أربعة زائد ﺕ جا 𝜋 على أربعة.

والآن بعد الانتهاء من هذه الخطوة، سنعمل على تحويل الأعداد المركبة الثلاثة من الصورة المثلثية إلى الصورة الأسية. تذكر أنه يمكن تحقيق ذلك عن طريق إيجاد قيم البارامترين ﻝ و𝜃 والتعويض بها في هذا التعبير. سنبدأ بـ ﻉ واحد، ونلاحظ أن قيمة ﻝ تساوي ثمانية، وأن قيمة 𝜃 تساوي أربعة 𝜋 على ثلاثة. إذن، ﻉ واحد يساوي ثمانية في ﻫ أس أربعة 𝜋 على ثلاثة في ﺕ.

باتباع الخطوة نفسها مع ﻉ اثنين، نجد أنه يساوي أربعة في ﻫ أس خمسة 𝜋 على أربعة في ﺕ. وأخيرًا، نجد أن ﻉ ثلاثة يساوي ثمانية في ﻫ أس 𝜋 على أربعة في ﺕ.

والآن بعد أن أصبحت لدينا الأعداد المركبة الثلاثة على الصورة الأسية، هيا نتناول العمليات التي سنقوم بها. نلاحظ هنا أن لدينا ﻉ واحد في ﻉ اثنين أس ستة على ﻉ ثلاثة أس أربعة. يمكننا أن نجعل العمليات الحسابية التالية أسهل قليلًا بتذكر أن واحدًا على عدد ما ﺱ أس ﺃ يساوي ﺱ أس سالب ﺃ. وبهذا نتمكن من إعادة كتابة المسألة على الصورة ﻉ واحد في ﻉ اثنين أس ستة في ﻉ ثلاثة أس سالب أربعة.

أولًا، دعونا ننظم الأمور بأن نستبعد الصورة المثلثية للأعداد المركبة. سنترك بعض الفراغات لإفساح المجال لإجراء العمليات الحسابية التالية. والآن سنبدأ في كتابة قوى الأعداد المركبة.

العدد المركب الأول، ﻉ واحد، ليس له قوة. لكننا سنختار التعبير عن مضاعف العدد ثمانية بدلالة قوى العدد اثنين. وسوف تتضح أسباب ذلك لاحقًا. ثمانية يساوي اثنين أس ثلاثة. يمكننا أيضًا فعل الشيء نفسه مع ﻉ اثنين وﻉ ثلاثة، وسنحصل على أربعة يساوي اثنين تربيع، وثمانية مرة أخرى تساوي اثنين أس ثلاثة.

هيا نعوض بهذه القيم. علينا الآن رفع ﻉ اثنين إلى القوة ستة. ويمكن إجراء ذلك برفع اثنين تربيع إلى القوة ستة، مضروبًا في ﻫ أس خمسة 𝜋 على أربعة في ﺕ، الكل مرفوع للقوة ستة. يمكننا تبسيط ذلك باستخدام العلاقة التالية. العدد ﺱ أس ﺃ مرفوعًا للقوة ﺏ يساوي ﺱ أس ﺃ في ﺏ.

بتطبيق هذه العلاقة، نجد أن ﻉ اثنين أس ستة يساوي اثنين أس اثنين في ستة في ﻫ أس خمسة 𝜋 على أربعة في ستة في ﺕ. وبتبسيط ذلك أكثر، نحصل على اثنين في ستة يساوي ١٢ بالطبع. وخمسة 𝜋 على أربعة في ستة يساوي ١٥‏𝜋‏ على اثنين. لنعوض بهذه القيم المبسطة.

يمكننا الآن اتباع الخطوة نفسها مع ﻉ ثلاثة، المرفوع للقوة سالب أربعة. كما فعلنا مع العدد المركب السابق، يمكننا العمل على تبسيط الأسس. لدينا هنا اثنان أس ثلاثة في سالب أربعة، وهو ما يساوي سالب ١٢. وبين هذين القوسين، لدينا 𝜋 على أربعة في سالب أربعة، وهو ما يساوي سالب أربعة 𝜋 على أربعة، أو سالب 𝜋. لنعوض بهذه القيم المبسطة.

وبذلك، نكون قد رفعنا ﻉ اثنين وﻉ ثلاثة إلى القوى المناسبة. لكن قبل المتابعة، سنجري تبسيطًا أخيرًا. قد تلاحظ أن الأعداد المركبة تحتوي على قوى كسرية مختلفة لـ ﻫ. بتجاهل مضاعف ﺕ، يتبقى لدينا أربعة 𝜋 على ثلاثة، و١٥‏𝜋‏ على اثنين، وسالب 𝜋.

ستكون الخطوة التالية من العملية الحسابية أسهل كثيرًا إذا عبرنا عن هذه القوى الكسرية بدلالة كسر له المقام نفسه. بما أن ثلاثة واثنين وواحدًا جميعها مضاعفات لستة، فسنختاره في المقام. أربعة 𝜋 على ثلاثة يساوي ثمانية 𝜋 على ستة. و١٥‏𝜋‏ على اثنين يساوي ٤٥‏𝜋‏ على ستة. وسالب 𝜋 يساوي سالب ستة 𝜋 على ستة.

هيا نعد كتابة كل من هذه الأعداد المركبة، مع التعويض بقوى ﻫ. دعونا نر الآن لماذا فعلنا ذلك بالانتقال إلى خطوة الضرب. بما أننا حسبنا مقادير ﻉ واحد وﻉ اثنين وﻉ ثلاثة بالرفع إلى القوى المناسبة، فيمكننا التعويض بها في المعادلة. عوضنا هنا في الأعداد المركبة الثلاثة.

لكن يمكننا اختصار العملية الحسابية بتذكر العلاقة التالية. العدد ﺱ مرفوع للقوة ﺃ مضروبًا في نفس العدد ﺱ مرفوعًا لقوة أخرى ﺏ يساوي ﺱ أس ﺃ زائد ﺏ. تتيح لنا هذه العلاقة الجمع بين قوى العدد اثنين وقوى ﻫ. ولهذا السبب تحديدًا اخترنا التعبير عن جميع المضاعفات بدلالة قوى العدد اثنين. وتغيير جميع القوى الكسرية لـ ﻫ ليصبح لدينا نفس المقام.

بتبسيط الجمع، سنحصل على الإجابة التالية. ويمكننا الآن تحويل اثنين أس ثلاثة إلى ثمانية مرة أخرى. بإجراء ذلك، نجد أن ﻉ واحدًا في ﻉ اثنين أس ستة على ﻉ ثلاثة أس أربعة يساوي ثمانية ﻫ أس ٤٧‏𝜋‏ على ستة في ﺕ.

على الرغم من أنه يبدو أننا توصلنا إلى إجابة المسألة، فلا يزال لدينا خطوة أخرى علينا إجراؤها. يمكننا أن نلاحظ بسهولة أن الإجابة على الصورة الأسية، حيث إن قيمة ﻝ تساوي ثمانية، وقيمة 𝜃 تساوي ٤٧‏𝜋‏ على ستة. وعلى الرغم من أن الإجابة صحيحة، فبوجه عام عند التعامل مع الأعداد المركبة على الصورة الأسية أو المثلثية، نريد أن تكون قيمة 𝜃 أكبر من أو تساوي صفرًا وأقل من اثنين 𝜋.

وبالنظر إلى هذا المدى بدلالة السدس، يتضح لنا قيمة 𝜃 أكبر من ١٢‏𝜋‏ على ستة. لحل هذه المشكلة، يمكننا استخدام العلاقة التالية، التي تستفيد من خاصية دورة الزوايا التي تحدث في المستوى المركب. في المستوى المركب، ﻫ أس ﺕ𝜃 يساوي ﻫ أس ﺕ في 𝜃 زائد اثنين ‏𝜋‏ﻥ، حيث ﻥ قيمة صحيحة.

بالنسبة إلى العدد المركب الذي لدينا، قيمة 𝜃 هي ٤٧‏𝜋‏ على ستة. وباستخدام قيمة سالبة لـ ﻥ، في هذه الحالة ﻥ يساوي سالب ثلاثة، يمكننا اختزال قيمة 𝜃 لتقع ضمن المدى المطلوب. ‏‏𝜃 زائد اثنين 𝜋 في سالب ثلاثة يساوي التالي. بإجراء هذه العملية الحسابية، نجد أن الناتج يساوي ١١‏𝜋‏ على ستة، الذي يقع بالفعل ضمن المدى المطلوب.

خلاصة القول، باستخدام هذه العلاقة مع ﻫ، وجدنا أن في المستوى المركب قيمة 𝜃 التي تساوي ٤٧‏𝜋‏ على ستة تكافئ قيمة 𝜃 التي تساوي ١١‏𝜋‏ على ستة. وبهذا، نستطيع التعويض بقيمة 𝜃 في الإجابة. بما أن قيمة 𝜃 تقع الآن في المدى المطلوب، فقد وصلنا إلى الإجابة النهائية. وقد وجدنا أن ﻉ واحد في ﻉ اثنين أس ستة على ﻉ ثلاثة أس أربعة يساوي ثمانية ﻫ أس ١١‏𝜋‏ على ستة في ﺕ.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.