فيديو السؤال: حساب الفترة المدارية لكوكب وطول مداره بمعلومية نصف قطر المدار وسرعة الكوكب الفيزياء

نسخة الفيديو النصية

يدور الكوكبان ‪A‬‏ و‪B‬‏ حول نجم. كل من الكوكبين له مدار دائري. يدور الكوكب ‪A‬‏ حول النجم على مسافة 1.5 في 10 أس ثمانية كيلومتر منه بسرعة 30 كيلومترًا لكل ثانية. يدور الكوكب ‪B‬‏ حول النجم على مسافة 4.8 في 10 أس ثمانية كيلومترات منه بسرعة 17 كيلومترًا لكل ثانية. كم مرة يزيد طول مدار الكوكب ‪B‬‏ عن طول مدار الكوكب ‪A‬‏؟

نعلم من المعطيات أن لدينا كوكبين، هما ‪A‬‏ و‪B‬‏، وهما يدوران حول نجم واحد. ونعلم أيضًا أن كل كوكب له مدار دائري. لنفترض أن هذه النقطة البرتقالية هي النجم. وأن الدائرة الزرقاء تمثل مدار الكوكب ‪A‬‏، وأن الكوكب هو هذه النقطة الزرقاء. وأن الدائرة الوردية تمثل مدار الكوكب ‪B‬‏، والكوكب هو هذه النقطة الوردية.

كل من الكوكبين له مدار دائري. وقد علمنا من السؤال أن هذه المسافة، أي نصف قطر مدار الكوكب ‪A‬‏، يساوي 1.5 في 10 أس ثمانية كيلومتر؛ لأننا نعلم من السؤال أن الكوكب ‪A‬‏ يدور حول النجم على مسافة تبعد عن النجم بمقدار 1.5 في 10 أس ثمانية كيلومتر. ونصف قطر مدار الكوكب ‪B‬‏ يساوي 4.8 في 10 أس ثمانية كيلومتر؛ لأن هذه هي المسافة من النجم إلى الكوكب ‪B‬‏. وهو يدور في مدار دائري.

بالإضافة إلى ذلك، نعلم سرعتي الكوكبين. نعلم أن الكوكب ‪A‬‏ يدور بسرعة 30 كيلومترًا لكل ثانية. ويدور الكوكب ‪B‬‏ بسرعة 17 كيلومترًا لكل ثانية. والآن، المطلوب منا في الجزء الأول من السؤال هو: كم مرة يزيد طول مدار الكوكب ‪B‬‏ عن طول مدار الكوكب ‪A‬‏؟ للإجابة عن هذا السؤال، علينا أولًا التفكير في طول مدار الكوكب ‪B‬‏ وطول مدار الكوكب ‪A‬‏. في كلتا الحالتين، سيكون طول المدار هو المسافة التي يقطعها كل كوكب لإكمال دورة واحدة في مداره، أي المسافة حول هذه الدائرة. أو على الأقل، هذا هو الحال بالنسبة إلى الكوكب ‪A‬‏. وبالنسبة إلى الكوكب ‪B‬‏، طول المدار هو المسافة التي يقطعها الكوكب حول هذه الدائرة.

بعبارة أخرى، سنحاول إيجاد محيط كلتا الدائرتين. لعلنا نتذكر أن محيط الدائرة ‪𝐶‬‏ يساوي حاصل ضرب اثنين في ‪𝜋‬‏ في نصف قطر الدائرة ‪𝑟‬‏. وعليه، يمكننا أولًا إيجاد طول مدار الكوكب ‪A‬‏ بالقول إن محيط الدائرة، أي مدار الكوكب ‪A‬‏، يساوي اثنين ‪𝜋‬‏ في نصف قطر مدار ‪A‬‏. وثانيًا، محيط مدار الكوكب ‪B‬‏ يساوي اثنين ‪𝜋‬‏ في نصف قطر مدار ‪B‬‏، وقد ذكرنا أن المسافة من النجم إلى مدار الكوكب ‪A‬‏ هي ‪𝑟𝐴‬‏. والمسافة من النجم إلى مدار الكوكب ‪B‬‏ هي ‪𝑟𝐵‬‏.

والآن، نريد معرفة كم مرة يزيد مدار الكوكب ‪B‬‏ عن طول مدار الكوكب ‪A‬‏؟ بعبارة أخرى، هذا يعني أن طول مدار الكوكب ‪B‬‏، أي ‪𝐶𝐵‬‏، يساوي ‪𝑛‬‏ مرة طول مدار الكوكب ‪A‬‏، حيث إن قيمة ‪𝑛‬‏ هي ما نحاول إيجاده. كم مرة يزيد طول مدار الكوكب ‪B‬‏ عن طول مدار الكوكب ‪A‬‏؟ لإيجاد قيمة ‪𝑛‬‏، نقسم كلا طرفي المعادلة على ‪𝐶𝐴‬‏. عند القيام بذلك، يحذف ‪𝐶𝐴‬‏ من الطرف الأيمن. ويتبقى لدينا ‪𝑛‬‏ فقط في الطرف الأيمن.

في هذه الخطوة، يمكننا التعويض بمقداري ‪𝐶𝐴‬‏ و‪𝐶𝐵‬‏ في الطرف الأيسر. وبذلك نحصل على اثنين ‪𝜋𝑟𝐵‬‏ على اثنين ‪𝜋𝑟𝐴‬‏. في هذه الخطوة، يحذف اثنان ‪𝜋‬‏ في البسط والمقام، ويتبقى لدينا ‪𝑟𝐵‬‏ على ‪𝑟𝐴‬‏. بعد ذلك، يمكننا أن نعوض بقيمتي ‪𝑟𝐵‬‏ و‪𝑟𝐴‬‏، وهذه هي قيمة ‪𝑟𝐵‬‏ وقيمة ‪𝑟𝐴‬‏، ثم نوجد قيمة المقدار الموجود في الطرف الأيسر من المعادلة، الذي عند تبسيطه يصبح 3.2. ومن ثم، فإن إجابة هذا الجزء من السؤال هي أن طول مدار الكوكب ‪B‬‏ يساوي 3.2 مرة طول مدار الكوكب ‪A‬‏.

لننتقل إلى التفكير في سرعتي الكوكبين في مداريهما. كم مرة يزيد الزمن الذي يستغرقه الكوكب ‪B‬‏ في الدوران حول النجم عن الزمن الذي يستغرقه الكوكب ‪A‬‏؟ قرب إجابتك لأقرب منزلة عشرية. حسنًا، هذه المرة، بدلًا من التفكير في طولي مداري الكوكبين فقط، سنفكر في الفترة المدارية لكليهما. بعبارة أخرى، كم يبلغ الزمن الذي يستغرقه الكوكب ‪A‬‏ لإكمال دورة واحدة في مداره مقارنة بالزمن الذي يستغرقه الكوكب ‪B‬‏ لإكمال دورة واحدة في مداره. ولإيجاد ذلك، علينا أن نتذكر أن سرعة الجسم تعرف بأنها المسافة التي يقطعها هذا الجسم مقسومة على الزمن الذي يستغرقه الجسم في قطع هذه المسافة.

وقد علمنا بالفعل المسافتين اللتين قطعهما الكوكبان حول النجم. وهما طولا المدارين. لكننا الآن سنتناول أيضًا سرعة كل كوكب. نعلم من معطيات السؤال أن الكوكب ‪A‬‏ يتحرك بسرعة 30 كيلومترًا لكل ثانية. والكوكب ‪B‬‏ يتحرك بسرعة 17 كيلومترًا لكل ثانية. إذن، في حالة الكوكبين، نعلم السرعة التي يتحرك بها كل كوكب. كما نعلم المسافة التي يقطعها كل كوكب. وهي محيط كل دائرة، وهو ما أوجدناه بالفعل. وبذلك، فإننا نعلم السرعة والمسافة. ومن ثم، يمكننا إيجاد الزمن الذي يستغرقه كل كوكب لإكمال دورة واحدة في مداره حول النجم.

يمكننا فعل ذلك بإعادة ترتيب المعادلة. نضرب كلا طرفي المعادلة في الزمن على السرعة. وبهذه الطريقة، في الطرف الأيسر، تحذف السرعة. وفي الطرف الأيمن، يحذف الزمن. في النهاية، يتبقى لدينا الزمن المستغرق لإكمال دورة واحدة في المدار يساوي المسافة المقطوعة خلال هذه الدورة على السرعة التي يتحرك بها الكوكب. إذن، بالنسبة إلى الكوكب ‪A‬‏، يمكننا القول إن الزمن المستغرق لإكمال دورة واحدة في المدار يساوي المسافة التي يقطعها الكوكب ‪A‬‏ مقسومة على سرعة الكوكب ‪A‬‏. وبالنسبة إلى الكوكب ‪B‬‏، يمكننا القول إن الزمن المستغرق لإكمال دورة واحدة في المدار يساوي المسافة التي يقطعها الكوكب ‪B‬‏ لإكمال دورة واحدة مقسومة على سرعة الكوكب ‪B‬‏.

لكننا رأينا سابقًا أن المسافة التي يقطعها كوكب ما تساوي محيط الدائرة وهو يساوي اثنين في ‪𝜋‬‏ في نصف قطر الدائرة. إذن، يمكننا التعويض عن ‪𝑑𝐴‬‏، باثنين ‪𝜋𝑟𝐴‬‏. والتعويض عن ‪𝑑𝐵‬‏ باثنين ‪𝜋𝑟𝐵‬‏. مرة أخرى، نحن نحاول معرفة عدد المرات التي يزيد بها أحد الزمنين عن الآخر. إذن، يمكننا القول إن الزمن الذي يستغرقه الكوكب ‪B‬‏ للدوران حول النجم يساوي ‪𝑚‬‏ مرة الزمن الذي يستغرقه الكوكب ‪A‬‏ للدوران حول النجم. إذا أردنا إيجاد قيمة ‪𝑚‬‏ هذه، فإننا نقسم كلا طرفي المعادلة على ‪𝑡𝐴‬‏. وبهذه الطريقة، يحذف ‪𝑡𝐴‬‏ من الطرف الأيمن. ويتبقى لدينا ‪𝑚‬‏.

ومن ثم يمكننا القول إن ‪𝑚‬‏ يساوي ‪𝑡𝐵‬‏ على ‪t𝐴‬‏. لكن بدلًا من ‪𝑡𝐵‬‏ و‪𝑡𝐴‬‏، نعوض عنهما بالطرف الأيمن في كل من هاتين المعادلتين. والآن يمكننا ملاحظة أن لدينا كسرًا مقسومًا على كسر آخر. وهذا يكافئ ضرب الكسر الذي كان في البسط في مقلوب الكسر الذي كان في المقام في البداية. وبهذا يمكننا ملاحظة أن لدينا اثنين ‪𝜋‬‏ في البسط واثنين ‪𝜋‬‏ في المقام عند ضرب هذين الكسرين. نحذف هاتين القيمتين معًا. ومن ثم، يتبقى لدينا ‪𝑟𝐵‬‏، وهو ‪𝑟𝐵‬‏ هنا، في ‪𝑆𝐴‬‏، وهو ‪𝑆𝐴‬‏ هنا، في البسط. وفي المقام، لدينا ‪𝑆𝐵‬‏ في ‪𝑟𝐴‬‏. إذن، هذا الكسر يساوي قيمة ‪𝑚‬‏.

ومن ثم، عند التعويض بالقيم، تكون لدينا قيمة ‪𝑟𝐵‬‏، أي نصف قطر الكوكب ‪B‬‏، وهو يساوي 4.8 في 10 أس ثمانية كيلومتر، في سرعة الكوكب ‪A‬‏، وهي تساوي 30 كيلومتر لكل ثانية. ونقسم ذلك على سرعة الكوكب ‪B‬‏، وهي تساوي 17 كيلومترًا لكل ثانية، في نصف قطر الكوكب ‪A‬‏، وهو يساوي 1.5 في 10 أس ثمانية كيلومتر.

يمكننا بعد ذلك ملاحظة أن جميع الوحدات متماثلة. يمكننا أن نلاحظ، على سبيل المثال، أن وحدة الكيلومتر هذه ستحذف مع وحدة الكيلومتر هذه، ووحدة الكيلومتر لكل ثانية هذه ستحذف مع وحدة الكيلومتر لكل ثانية هذه. إذن، لم يتبق لدينا سوى أعداد في الكسر. أي لن تكون هناك وحدات في الإجابة، وذلك منطقي لأن الإجابة ستكون قيمة ‪𝑚‬‏. وبالطبع، ‪𝑚‬‏ هي القيمة التي تعطينا عدد المرات التي يزيد بها الزمن الذي يستغرقه الكوكب ‪B‬‏ في الدوران حول النجم عن الزمن الذي يستغرقه الكوكب ‪A‬‏.

إذن، عند حساب هذه القيمة، نجد أن ‪𝑚‬‏ يساوي 5.64 إلى آخر العدد. لكن تذكر أنه مطلوب منا تقريب الناتج لأقرب منزلة عشرية. هذه هي أول منزلة عشرية. المنزلة العشرية التالية، أي أربعة، ستحدد ما يحدث لأول منزلة عشرية. حسنًا، أربعة أقل من خمسة. إذن، ستظل هذه القيمة كما هي. لن نقربها لأعلى. إذن، بالتقريب إلى أقرب منزلة عشرية، تكون إجابتنا هي 5.6. ومن ثم يمكننا القول إنه لأقرب منزلة عشرية، يزيد الزمن الذي يستغرقه الكوكب ‪B‬‏ عن الزمن الذي يستغرقه ‪A‬‏ في الدوران حول النجم بمقدار 5.6 مرات.