فيديو السؤال: حساب حاصل الضرب الاتجاهي لمتجهين موضحين على شبكة رسم ثلاثية الأبعاد الفيزياء

نسخة الفيديو النصية

يوضح الشكل المتجهين ‪𝐂‬‏ و‪𝐃‬‏ في فضاء ثلاثي الأبعاد. يقع كلا المتجهين في المستوى ‪𝑥𝑦‬‏. طول ضلع كل مربع في شبكة الرسم يساوي واحدًا. احسب ‪𝐂‬‏ مضروبًا ضربًا اتجاهيًّا في ‪𝐃‬‏.

يتمحور هذا السؤال حول حاصل الضرب الاتجاهي. ومطلوب منا تحديدًا حساب حاصل الضرب الاتجاهي لـ ‪𝐂‬‏ في ‪𝐃‬‏؛ حيث المتجهان ‪𝐂‬‏ و‪𝐃‬‏ معطيان في صورة سهمين على الشكل. لنبدأ بتذكر تعريف حاصل الضرب الاتجاهي. سنتناول متجهين عامين ‪𝐀‬‏ و‪𝐁‬‏، ونفترض أنهما يقعان في المستوى ‪𝑥𝑦‬‏. بعد ذلك، يمكننا كتابة هذين المتجهين في الصورة المركبة على صورة مركبة ‪𝑥‬‏، سميناها ‪𝑥‬‏، مضروبة في ‪𝐢‬‏ هات زائد مركبة ‪𝑦‬‏، سميناها ‪𝑦‬‏، مضروبة في ‪𝐣‬‏ هات.

تذكر أن ‪𝐢‬‏ هات هو متجه الوحدة في الاتجاه ‪𝑥‬‏، وأن ‪𝐣‬‏ هات هو متجه الوحدة في الاتجاه ‪𝑦‬‏. ومن ثم، فإن حاصل الضرب الاتجاهي لـ ‪𝐀‬‏ في ‪𝐁‬‏ يساوي المركبة ‪𝑥‬‏ للمتجه ‪𝐀‬‏ مضروبة في المركبة ‪𝑦‬‏ للمتجه ‪𝐁‬‏ ناقص المركبة ‪𝑦‬‏ للمتجه ‪𝐀‬‏ مضروبة في المركبة ‪𝑥‬‏ للمتجه ‪𝐁‬‏. وكل هذا مضروب في ‪𝐤‬‏ هات، وهو متجه وحدة في الاتجاه ‪𝑧‬‏. يخبرنا هذا التعبير أنه لحساب حاصل الضرب الاتجاهي لـ ‪𝐂‬‏ في ‪𝐃‬‏، علينا إيجاد المركبتين ‪𝑥‬‏ و‪𝑦‬‏ للمتجهين ‪𝐂‬‏ و‪𝐃‬‏.

علمنا من السؤال أن طول ضلع كل مربع من مربعات الشبكة في الشكل يساوي واحدًا. إذن للحصول على المركبتين ‪𝑥‬‏ و‪𝑦‬‏ لكل متجه، علينا ببساطة عد المربعات التي يمتدها المتجه في كل من الاتجاهين ‪𝑥‬‏ و‪𝑦‬‏. سنبدأ بالمتجه ‪𝐂‬‏. يمتد المتجه ‪𝐂‬‏ بمقدار واحد، اثنين، ثلاث، أربع وحدات في الاتجاه ‪𝑥‬‏، وبمقدار واحد، اثنين، ثلاث، أربع، خمس وحدات في الاتجاه ‪𝑦‬‏. إذن، يمكننا كتابة المتجه ‪𝐂‬‏ على صورة المركبة ‪𝑥‬‏ التي تساوي أربعة مضروبة في ‪𝐢‬‏ هات زائد المركبة ‪𝑦‬‏ التي تساوي خمسة مضروبة في ‪𝐣‬‏ هات.

بعد ذلك، لنلق نظرة على المتجه ‪𝐃‬‏. نلاحظ أن ‪𝐃‬‏ يمتد بمقدار واحد، اثنين، ثلاث، أربع وحدات في الاتجاه السالب لـ ‪𝑥‬‏، وبمقدار واحد، اثنين، ثلاث، أربع، خمس وحدات في الاتجاه السالب لـ ‪𝑦‬‏. إذن، يمكننا كتابة المتجه ‪𝐃‬‏ على صورة سالب أربعة ‪𝐢‬‏ هات ناقص خمسة ‪𝐣‬‏ هات.

والآن بعد أن أصبح لدينا المتجهان ‪𝐂‬‏ و‪𝐃‬‏ في الصورة المركبة، أصبحنا مستعدين لحساب حاصل الضرب الاتجاهي لـ ‪𝐂‬‏ في ‪𝐃‬‏. بالنظر إلى التعبير العام لحاصل الضرب الاتجاهي، نلاحظ أن الحد الأول هو المركبة ‪𝑥‬‏ للمتجه الأول في حاصل الضرب مضروبة في المركبة ‪𝑦‬‏ للمتجه الثاني في حاصل الضرب. في هذه الحالة، المتجه الأول في حاصل الضرب هو ‪𝐂‬‏، والمتجه الثاني هو ‪𝐃‬‏. إذن، هذا يعني أن علينا ضرب المركبة ‪𝑥‬‏ للمتجه ‪𝐂‬‏، التي تساوي أربعة، في المركبة ‪𝑦‬‏ للمتجه ‪𝐃‬‏، التي تساوي سالب خمسة.

وبعد ذلك، سنطرح حدًّا ثانيًا من حاصل الضرب هذا. الحد الثاني هو المركبة ‪𝑦‬‏ للمتجه الأول في حاصل الضرب مضروبة في المركبة ‪𝑥‬‏ للمتجه الثاني في حاصل الضرب. إذن، في هذه الحالة، هذا الحد هو المركبة ‪𝑦‬‏ للمتجه ‪𝐂‬‏، التي تساوي خمسة، مضروبة في المركبة ‪𝑥‬‏ للمتجه ‪𝐃‬‏، التي تساوي سالب أربعة. وأخيرًا، سنضرب الكل في متجه الوحدة ‪𝐤‬‏ هات.

كل ما تبقى علينا فعله الآن هو إيجاد قيمة هذا التعبير هنا. عندما نفعل ذلك، سنجد أن الحد الأول، وهو أربعة مضروبًا في سالب خمسة، يعطينا سالب 20. والحد الثاني، وهو خمسة مضروبًا في سالب أربعة، يعطينا أيضًا سالب 20. وبذلك نجد أن حاصل الضرب الاتجاهي لـ ‪𝐂‬‏ في ‪𝐃‬‏ يساوي سالب 20 ناقص سالب 20 مضروبًا في ‪𝐤‬‏ هات. عندما نطرح سالب 20 من سالب 20، نحصل على صفر. إذن، الإجابة النهائية هي أن حاصل الضرب الاتجاهي لـ ‪𝐂‬‏ في ‪𝐃‬‏ يساوي صفر ‪𝐤‬‏ هات.