فيديو السؤال: حل المتباينات التربيعية الرياضيات

حل المتباينة (ﺱ + ٩)(ﺱ − ٢) ≤ ٢٢ﺱ − ٧٤.

٠٦:٣٤

‏نسخة الفيديو النصية

حل المتباينة ‪ﺱ‬‏ زائد تسعة في ‪ﺱ‬‏ ناقص اثنين أقل من أو يساوي ٢٢ﺱ ناقص ٧٤. سنحل هذه المتباينة في ثلاث خطوات.

أولًا، سنعيد ترتيب المتباينة التي لدينا في السؤال، بحيث نكتبها على الصورة ﺩﺱ أقل من أو يساوي صفرًا. ثم سنرسم تمثيلًا بيانيًّا لـ ﺩﺱ. وبعد الانتهاء من تمثيل ﺩﺱ بيانيًّا، سنتمكن من استنتاج الحل.

سنبدأ، بطبيعة الحال، بالخطوة الأولى. نكتب المتباينة الموضحة. ثم نفك الأقواس في الطرف الأيمن، بحيث ‪ﺱ‬‏ زائد تسعة في ‪ﺱ‬‏ ناقص اثنين تصبح ‪ﺱ‬‏ تربيع زائد سبعة ‪ﺱ‬‏ ناقص ١٨. نضيف ٧٤ إلى كلا الطرفين، فنحصل على ‪ﺱ‬‏ تربيع زائد سبعة ‪ﺱ‬‏ زائد ٥٦ في الطرف الأيمن، و٢٢ﺱ فقط في الطرف الأيسر.

وأخيرًا نطرح ٢٢ﺱ من كلا الطرفين لنحصل على ‪ﺱ‬‏ تربيع ناقص ١٥ﺱ زائد ٥٦ أقل من أو يساوي صفرًا. وهكذا، طبقنا الخطوة الأولى بكتابة المتباينة على الصورة المطلوبة، وبهذا نكون جاهزين للانتقال إلى الخطوة الثانية.

علينا الآن، إذن، تمثيل ﺩﺱ بيانيًّا. ما هو ﺩﺱ؟ إنه الطرف الأيمن من المتباينة الذي حصلنا عليه بعد الانتهاء من الخطوة الأولى. يمكننا أن نلاحظ أن ﺩﺱ دالة تربيعية. وبالطبع لتمثيل الدالة التربيعية بيانيًّا، سيساعدنا كثيرًا تحديد العوامل لأنها توضح مواضع تقاطع المنحنى مع المحور ‪ﺱ‬‏.

لنحاول إذن تحليل ﺩﺱ. نحن نبحث عن عددين مجموعهما سالب ١٥ وحاصل ضربهما ٥٦. العددان اللذان يحققان هذين الشرطين هما سالب سبعة وسالب ثمانية.

ومن ثم، نجد أن ﺩﺱ عند تحليلها تساوي ‪ﺱ‬‏ ناقص سبعة في ‪ﺱ‬‏ ناقص ثمانية. فلنحاول، إذن، تمثيل ذلك بيانيًّا. يمكننا أن نلاحظ أن ﺩﺱ لها صفران عند ‪ﺱ‬‏ يساوي سبعة و‪ﺱ‬‏ يساوي ثمانية، لذا لا بد أن يمر المنحنى عند النقطتين سبعة، صفر، وثمانية، صفر، الموضحتين على الرسم.

نعلم أيضًا أنه بما أن ﺩﺱ دالة تربيعية، فإن منحنى الدالة سيكون قطعًا مكافئًا. السؤال الآن عما إذا كان القطع المكافئ مفتوحًا لأعلى أو لأسفل. كيف يتسنى لنا تحديد ذلك؟ للتمثيل البياني لـ ﺩﺱ يساوي ‪ﺃﺱ‬‏ تربيع زائد ‪ﺏﺱ‬‏ زائد ‪ﺟ‬‏، إذا كان معامل ‪ﺱ‬‏ تربيع، أي ‪ﺃ‬‏، أكبر من صفر، فسيكون القطع المكافئ مفتوحًا لأعلى؛ وإذا كان ‪ﺃ‬‏ أقل من صفر، فسيكون القطع المكافئ مفتوحًا لأسفل. أي الحالتين لدينا هنا؟

معامل ‪ﺱ‬‏ تربيع يساوي واحدًا صحيحًا، أي إنه أكبر من صفر، وبذلك يكون لدينا قطع مكافئ مفتوح لأعلى. ونتيجة لذلك، يبدو منحنى الدالة ﺩﺱ بهذا الشكل تقريبًا. لدينا الآن رسم لمنحنى الدالة ﺩﺱ. إنه ليس دقيقًا للغاية، لكنه سيفي بالغرض المطلوب.

يمكننا الآن استنتاج الحل. المتباينة التي نحاول حلها الآن هي ﺩﺱ أقل من أو تساوي صفرًا. وﺩﺱ أقل من أو تساوي صفرًا عندما يكون منحنى الدالة أسفل المحور ‪ﺱ‬‏، وهذا يحدث بين ‪ﺱ‬‏ يساوي سبعة و‪ﺱ‬‏ يساوي ثمانية.

هذا هو حل المتباينة بطريقة مبسطة، لكن علينا حلها بطريقة رياضية. أولًا، علينا توضيح ما نعنيه بقول إن «هذا يحدث بين»؛ أي إن جميع القيم التي تقع بين ‪ﺱ‬‏ يساوي سبعة و‪ﺱ‬‏ يساوي ثمانية تندرج ضمن مجموعة حلول هذه المتباينة.

بالنظر إلى التمثيل البياني، نتذكر أن ‪ﺩ‬‏ لسبعة تساوي صفرًا، ومن ثم فهي أقل من أو تساوي صفرًا؛ وبالمثل، ‪ﺩ‬‏ لثمانية تساوي صفرًا، ومن ثم يتحقق أن ﺩﺱ أقل من أو تساوي صفرًا. إذن ‪ﺱ‬‏ يساوي سبعة و‪ﺱ‬‏ يساوي ثمانية هما ضمن مجموعة الحلول.

وإحدى طرق التعبير عن ذلك رياضيًّا أن نقول إن سبعة أقل من أو يساوي ‪ﺱ‬‏، و‪ﺱ‬‏ أقل من أو يساوي ثمانية. واستخدام علامتي أقل من أو يساوي، بدلًا من علامة أقل من فقط، يوضح لنا أن سبعة وثمانية قيمتان يمكن أن تأخذهما ‪ﺱ‬‏.

ويمكننا أيضًا التعبير عن هذا باستخدام رمز المجموعة ورمز الفترة. ومن ثم نقول إن ‪ﺱ‬‏ يقع في الفترة من سبعة إلى ثمانية. واستخدام قوسين مربعين مغلقين بدلًا من الأقواس المفتوحة، يوضح لنا أن طرفي الفترة، أي سبعة وثمانية، يقعان ضمن هذه الفترة.

هيا نلخص الخطوات التي اتبعناها في الحل. لقد أعدنا ترتيب هذه المتباينة لتصبح ﺩﺱ أقل من أو تساوي صفرًا، وتلك كانت الخطوة الأولى. لو كانت علامة المتباينة أقل من فقط، لكنا بالطبع سنعيد ترتيبها لتصبح ﺩﺱ أقل من صفر. ما يهم هو أنه في الطرف الأيسر من علامة المتباينة أيًّا كانت، يوجد صفر للدالة.

ثم، رسمنا تمثيلًا بيانيًّا لـ ﺩﺱ، لكن حللناها أولًا حتى نتمكن من فعل ذلك. وأخيرًا، استنتجنا الحل من التمثيل البياني.

استعنا بالتمثيل البياني مرتين حتى يتسنى لنا استنتاج الحل؛ حددنا الجزأين المقطوعين من المحور ‪ﺱ‬‏، وهما سبعة وثمانية، وعرفنا اتجاه القطع المكافئ الذي يمر عند هاتين النقطتين.

لو كنا رسمنا قطعًا مكافئًا مفتوحًا لأسفل، لكنا سنحصل على الإجابة الخطأ. للتحقق من صحة الإجابة، يمكنك التأكد من أن القيم الواقعة داخل الفترة تحقق بالفعل المتباينة الأصلية: ‪ﺱ‬‏ زائد تسعة في ‪ﺱ‬‏ ناقص اثنين أقل من أو يساوي ٢٢ﺱ ناقص ٧٤. كما يمكنك التأكد من أن القيم التي تقع خارج هذه الفترة لا تحقق المتباينة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.